Алексей Лосев – Диалектические основы математики (страница 166)

Та ступень, которая дает отношение, пропорцию и ряд, еще оставляет указанные три слоя в том их сыром виде, в каком доставила их нам ставшая сущность. Но уже вторая ступень (делимость, комбинаторика, детерминанты) растворяет первые два слоя один в другом, так что остается только одно непосредственное число, воплощаемое на комбинации чисел. Третья ступень, матрица, сливает и два оставшихся слоя в один, так что ставшая сущность получает ровное и гладкое многомерное строение, когда перед нами целая система разных, но вполне равноправных чисел, данная в виде неподвижной таблицы. Та единица, с которой началась арифметика, расцвела здесь в целую систему разноприродных и разноскомбинированных единиц.

b) Но сущность единицы заключается в единичности, в объединении всего иного, чему она сообщается. И эта разноприродная разноскомбинированная единица переходит еще в дальнейшее инобытие, с тем что[бы] и его превратить в себя, т.е. в эту разноприродную и разноскомбинированную коллективную единичность. Однако везде было так, что бытие, сообщаясь инобытию, отчуждалось от себя самого и снимало с себя план, снимало свой смысл, чтобы передать его инобытию и, таким образом, иметь этот смысл уже общим и для себя, и для своего инобытия. Точно так же и здесь система чисел, передавая свой смысл инобытию, тем самым создает некую общую закономерность, одинаково присутствующую и на ней, и на ее инобытии, т.е. тем самым создается уже несколько систем, объединенных одной общей закономерностью.

c) С одной стороны, общая теория числа (§ 31) и многочисленные ее повторения в отдельных моментах диалектического процесса уже хорошо научили нас переходить от ставшего, наличного, бытия к выражению. Выразительная форма бытия возникает в тот момент, когда все внутреннее в бытии становится внешним и когда по внешнему необходимым образом узнается внутреннее, хотя это и две совершенно различные и несводимые одна на другую сферы. В ставшей сущности мы находим много «внутреннего». Весь тот смысл, который несла с собою чистая единица и который в дальнейшем дал разные типы числа и разные действия над ними, он тут зафиксирован в ставшей сущности как царящие внутри нее числовые отношения. Виднее всего это на ранней ступени наличного бытия (отношение, пропорция, ряд), где отношение пробегает по всему числовому ряду, само оставаясь неизменным. Здесь внутренний смысл ставшего в полном смысле оказывается внутренним, он не переступает границ ставшей сущности и потому не делается внешним. На второй ступени ставшей сущности этот внутренний тип уже менее внутренний. До него легче добраться. Сам он уже только односоставен, он только некое определенное число, данное в своем непосредственном количестве. Еще более внешним этот внутренний смысл ставшего делается на третьей ступени, на стадии матрицы. Здесь он, в сущности, вполне тождествен с внешней структурой; он весь перевоплотился во внешнюю структуру, поскольку матрица и есть система чисел как именно система чисел. Однако этого еще мало для выражения. Это только еще перво-принцип выражения, но не само выражение. Необходимо, чтобы это внутренно-внешнее бытие устремилось вовне, излилось смысловой энергией на иное и из бытия-в-себе (хотя и выразительного) стало бытием-для-иного, и притом для всего иного (хотя и не растворилось в ином, а только смысловым образом открылось ему). Тогда, и только тогда, может идти речь о подлинном выразительном лике арифметической сущности числа.

d) Что же мы имеем в той системе систем, в том ряде рядов, который мы дедуцировали выше? Поскольку каждая система и ряд построены определенным образом, постольку они хранят в себе закономерность, которая для них вполне внутренняя. Но поскольку таких рядов несколько, постольку указанная закономерность, внутренняя для каждого из них, поневоле выходит за пределы каждого ряда, чтобы сообщиться другому ряду, и потому она уже перестает быть внутренней, а становится еще и внешней для всех этих рядов, внешней – ибо общей. Для каждого ряда эта закономерность внутренняя, так что, казалось бы, раз она внешняя для одного и другого, то внешняя она и для всех рядов, входящих в эту общую систему. Но с другой стороны, именно потому, что эта закономерность для всех рядов системы вполне общая, именно поэтому она для всех них и внешняя, так как она действительно осуществлена в каждом ряде, и для каждого ряда, взятого в отдельности, она, как осуществленная в другом ряде, внешняя, а стало быть, и для всех внешняя. Следовательно, закономерность эта есть бытие внутренно-внешнее. Но поскольку указанных рядов несколько и они друг в отношении друга есть инобытие (хотя и тоже связанное определенной закономерностью), постольку наша общая внутренно-внешняя закономерность не покоится на месте, но пребывает в живом становлении, закономерно переходя не только в каждом ряде от одного элемента к другому, но и во всей системе рядов – от одного ряда к другому.

Таким образом, имея несколько числовых рядов, объединенных в одну общую систему так, что одна-единственная закономерность определяет собою как структуру каждого ряда, так и взаимоотношение всех рядов, имея такую систему рядов чисел, мы имеем подлинную выразительную форму арифметической сущности числа.

Эта закономерность системы систем и есть композиция.

a) Но для изучения диалектической природы композиции будет очень полезно дедуцировать ее из фактического содержания предыдущих категорий арифметики. Если мы знаем, что выражение есть смысловым образом становящаяся, энергийная внутренно-внешняя структура, то это дает нам путь и для конкретно-математической дедукции. Наличное бытие выносит в выражении свое внутреннее наружу. Но где у нас в предыдущем это наличное бытие, или ставшее, и в чем его внутреннее? Последней и наиболее зрелой формой ставшего у нас была матрица. Она несла с собою и определенный внутренний смысл, который мог быть только количественным ее содержанием. Да и вообще числовой смысл в арифметике неотличим от количества. Внутреннее тут – количество. Но оно, конечно, не есть количество вообще, а определенным образом скомбинированное количество. Последним для матрицы является только детерминант. Следовательно, чтобы перейти в сферу выражения, матрица должна вовне выявить свой детерминантовый смысл. А так как выше мы уже пришли к выводу, что в выразительной сфере число оказывается не просто системой, но системой систем чисел, то вот в какой форме ставится теперь диалектическая задача: как проявляет себя детерминант, когда он из внутреннего содержания одной матрицы становится закономерностью для комбинации сразу нескольких матриц в нечто единое? Ответить на этот вопрос – это и значит диалектически дедуцировать новую, выразительную категорию числа в арифметике.

b) Вспомним структуру детерминанта. Это есть «алгебраическая» сумма всевозможных произведений данного числа элементов.

Значит, ряд матриц должны

1) соединиться в одну общую неделимую совокупность и

2) каждая матрица этой совокупности должна быть одним из тех всевозможных произведений, которые допускаются данными элементами.

Но что значит «всевозможные произведения»? Мы знаем, что эта «всевозможность» есть не что иное, как совокупность всех перестановок сомножителей. Следовательно, матрицы, входящие в нашу общую совокупность матриц, должны отличаться одна от другой так, как отличаются одна от другой перестановки некоторого данного числа элементов. Но эти перестановки играли в детерминанте ту роль, что они определяли собою те или иные произведения. Здесь же мы имеем дело не с детерминантами, а с матрицами. Значит, перестановки важны тут не в качестве непосредственно значащих произведений, но в аспекте ставшего, т.е. именно как перестановки. Мы берем все перестановки из данного числа элементов – и получаем ряд числовых комплексов, не прибегая ни к суммированию, ни к умножению, ни вообще к каким-нибудь непосредственно значащим количественным операциям. Также и всю совокупность матриц мы берем не как их сумму, но просто как некую комплексную совокупность, т.е. в чисто матричном же смысле.

Итак, получается совокупность матриц, каждая из которых есть одна из перестановок данного числа элементов, а все они суть все возможные перестановки этих элементов. Здесь внутренняя детерминантовая значимость матрицы вышла наружу и, определивши собою совокупность матриц как целое, стала в отношении к ним внешним принципом. Так рождается новая категория арифметики – группа, прообразом и неизменным образцом которой является эта только что выведенная совокупность всех перестановок данного числа элементов, взятая как целое и представимая матрично. Здесь внутреннее числовое содержание матрицы как наличного бытия стало внешним законом ее взаимоотношений с другими матрицами, законом композиции матриц, а внешняя объединенность и внеположность элементов матрицы превратилась во внутренне самообоснованный ряд комплексов, когда каждый из них не цепенеет на месте как всякая матрица, но энергийно тянет[ся] ко всякому другому комплексу общей совокупности и ко всем им вместе.

c) Таким образом, группа, эта наиболее общая выраженная форма арифметического числа, коренится еще в детерминанте, где она, однако, еще связана непосредственной значимостью единичного числа и не развита в совокупность свободно эманирующих элементов. Так оно и должно быть, потому что если наличное бытие есть осуществление смысла, а всякое осуществление предполагает объединение с инобытием, выражение же есть всегда прежде всего некое такое объединение, то нечто выразительное должно крыться уже в наличном бытии, в ставшем. Но конечно, поскольку здесь инобытие привлечено только лишь как голый принцип и не дана его реальная структура, постольку ставшее есть лишь самое начало выражения, его перво-принцип. Когда же инобытие получает свою свободу, т.е. когда из принципа превратится в становление, тогда и воплощенный на нем смысл станет выразительным по своей структуре. Вот почему детерминант – перво-принцип числовой выразительности, еще запрятанный в глубине ставшей сущности числа, а группа – выразительное арифметическое число, развернутое в своей структуре.