Йэн Стюарт – Это база: Зачем нужна математика в повседневной жизни (страница 29)

Все это чудесным образом продолжало работать в постоянно расширяющемся спектре областей. К XVIII веку математики уже свободно пользовались новыми числами. В 1777 году Эйлер ввел для обозначения квадратного корня из минус единицы стандартный символ i. Комбинация действительных и мнимых чисел привела к созданию красивой и непротиворечивой системы, известной как комплексные числа, то есть «составленные из нескольких частей», а не «сложные». Алгебраически они выглядят как a + bi, где a и b – действительные числа. Комплексные числа можно складывать, вычитать, перемножать, делить, извлекать из них квадратные, кубические и прочие корни, не выходя при этом за пределы системы.

Главный недостаток комплексных чисел – то, что для них трудно подобрать интерпретацию в реальном мире, по крайней мере в то время все так думали. Неясно, при измерении чего и каким образом может быть получен результат, равный, скажем, 3 + 2i. Квазифилософские дебаты о легитимности комплексных чисел бушевали до тех пор, пока математики не поняли, как эти числа можно использовать для решения задач в области математической физики. Поскольку ответы здесь можно проверить другими средствами и они, кажется, всегда верны, споры отошли на задний план, уступив место ажиотажу и поспешному исследованию новых методов.

Долгое время математики пытались оправдать существование мнимых чисел, апеллируя к масштабному, но довольно туманному принципу перманентности, в соответствии с которым любое алгебраическое правило, верное для действительных чисел, должно автоматически распространяться и на комплексные числа. Главным доказательством этого утверждения считался тот факт, что на практике использование комплексных чисел давало правильные ответы, – по существу, триумф надежды над логикой. Короче говоря, они работали, потому что работали, и доказательством служило то… что они работали.

Лишь много позже математики разобрались в том, как можно представлять комплексные числа. Надо сказать, что они, подобно отрицательным числам, имеют несколько «физических» интерпретаций. Мы вскоре увидим, что в электротехнике комплексное число сочетает в себе амплитуду (максимальную величину) переменного сигнала и его фазу в одном компактном и удобном пакете. То же происходит и в квантовой механике. Если взять более прозаический пример, то как действительные числа соответствуют точкам на прямой, так комплексные числа соответствуют точкам на плоскости. Очень просто. И, как многие другие простые идеи, эта идея оставалась незамеченной несколько столетий.

Комплексная числовая плоскость

Первый намек на этот прорыв можно увидеть в «Алгебре» Джона Уоллиса 1685 года. Автор распространил общепринятое представление действительных чисел в виде прямой на комплексные числа. Предположим, что некое число равно a + bi. «Действительная часть» a – это просто действительное число, так что мы можем расположить его на обычной действительной прямой, которую можно представить как фиксированную прямую на плоскости. Второй компонент bi – это мнимое число, поэтому у него нет соответствующей ему точки на числовой прямой. Однако коэффициент b – действительное число, так что мы можем провести отрезок длиной b на той же плоскости, под прямым углом к действительной прямой. Точка на этой плоскости, полученная таким образом, представляет число a + bi. Сегодня мы сразу же видим, что это число представлено на плоскости точкой с координатами (a, b), но в то время предложение Уоллиса не встретило понимания. Исторически честь изобретения комплексной плоскости чаще всего достается Жан-Роберу Аргану, который опубликовал свое предложение в 1806 году, но на самом деле малоизвестный датский топограф Каспар Вессель чуть-чуть опередил его, опубликовав аналогичную идею в 1797 году. Однако статья Весселя была написана по-датски и оставалась никем не замеченной, пока столетие спустя не был сделан ее перевод на французский. Оба автора привели в своих статьях геометрические построения в евклидовом стиле, показывающие, как следует складывать и перемножать любые два комплексных числа.

Наконец в 1837 году ирландский математик Уильям Роуэн Гамильтон прямо указал, что можно представить любое комплексное число в виде пары действительных чисел – координат точки на плоскости:

комплексное число = (первое действительное число, второе действительное число).

Затем он записал геометрические построения в виде двух формул для сложения и перемножения таких пар. Я покажу их здесь, потому что они довольно просты и элегантны:

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d);

(a, b) ∙ (c, d) = (ac – bd, ad + bc).

Это может показаться немного непонятным, но работает прекрасно. Числа вида (a, 0) ведут себя в точности как действительные числа, а загадочное i соответствует паре (0, 1) – именно Уоллис предложил располагать мнимые числа под прямым углом к действительным и записывать как координаты. Формулы Гамильтона гласят:

i² = (0, 1) ∙ (0, 1) = (–1, 0),

что мы уже распознали как действительное число –1. Дело сделано. Естественно, после этого выяснилось, что Гаусс упоминал эту идею в письме к Вольфгангу Бойяи в 1831 году, но не опубликовал ее.

Если Гаусс, похоже, не понимал до конца, то Гамильтон точно видел возможность доказать с помощью этих двух формул, что комплексные числа подчиняются обычным законам алгебры, таким как перестановочный xy = yx и сочетательный (xy)z = x(yz) законы, которые большинство из нас воспринимает как само собой разумеющиеся при первом знакомстве с алгеброй. Чтобы доказать их справедливость также и для комплексных чисел, замените символы парами действительных чисел, примените формулы Гамильтона и убедитесь, что обе стороны дают одну и ту же пару. Проще простого. По иронии судьбы к тому моменту, когда Гаусс и Гамильтон разобрались во внутренней логике при помощи пар обычных «действительных» чисел, математики успели уже столько сделать с применением комплексных чисел, что практически потеряли интерес к приданию этим числам конкретного логического смысла.

Главными областями их применения были такие сферы физики, как магнитное и электрическое поля, гравитация и гидродинамика. Примечательно, что некоторые базовые уравнения комплексного анализа (дифференциальное и интегральное исчисление с комплексными функциями) точно соответствовали стандартным уравнениям математической физики. Поэтому теперь можно было решать уравнения физики при помощи дифференциального исчисления с комплексными числами. Главным ограничением было то, что комплексные числа лежат на плоскости. Поэтому физические процессы нужно было рассматривать как происходящие на плоскости или эквивалентные какой-то задаче на плоскости.

Комплексные числа придают плоскости систематическую алгебраическую структуру, которая превосходно приспособлена к геометрии, а следовательно, и к работе с движением. Оставшуюся часть этой главы можно рассматривать как двумерный предварительный разбор тех вопросов трехмерной геометрии, которым посвящена следующая глава. Там будет несколько формул – это алгебра, в конце концов, – но я не знаю, как этого избежать, ведь без них все выглядит как-то расплывчато.

Когда мы представляем комплексное число z в виде z = x + iy, где x и y действительные числа, в основе такого представления лежит геометрическая система декартовых координат с двумя осями, расположенными под прямым углом друг к другу: это действительная часть x (горизонтальная ось) и мнимая часть y (вертикальная ось). Однако на плоскости существует еще одна система координат – полярные координаты, в которых точка представляется как пара (r, A), где r – положительное действительное число, а A – угол. Эти две системы тесно взаимосвязаны: r – это расстояние от начала координат 0 до точки z, а A – угол между действительной осью и прямой, соединяющей начало координат с z.

Геометрия комплексной плоскости в декартовых и полярных координатах. Здесь cos и sin – тригонометрические функции косинус и синус. (Рисунок, по существу, определяет эти функции.)

Декартовы координаты идеальны для описания движения невращающихся объектов. Если точка x + iy смещается на a единиц по горизонтали и на b единиц по вертикали, она оказывается в точке (x + iy) + (a + ib). Если распространить эту идею на множество точек со списком значений для x и y, то все множество сдвинется на a единиц по горизонтали и на b единиц по вертикали в случае добавления фиксированного комплексного числа a + ib к каждой его точке. Более того, это жесткое движение: весь объект движется целиком, не меняя ни формы, ни размера.

Еще одним типом жесткого движения является вращение. Здесь объект опять же не меняет ни формы, ни размера, но изменяет ориентацию, поворачиваясь на некоторый угол вокруг центральной точки. Ключевое наблюдение здесь состоит в том, что умножение на i поворачивает точки на 90º вокруг центра в начале координат. Именно поэтому ось y, представляющая мнимую часть y числа z, расположена под прямым углом к оси x, которая представляет действительную часть x. (Несмотря на название, мнимая часть – это действительное число: она становится мнимой, когда мы умножаем ее на i, чтобы получить iy.)

Если мы хотим повернуть множество точек на 90°, то умножаем каждую точку этого множества на i. В более общем случае если мы хотим повернуть множество точек на угол A, то небольшое упражнение в тригонометрии покажет, что нужно умножить все точки множества на комплексное число