Йэн Стюарт – Это база: Зачем нужна математика в повседневной жизни (страница 28)

Следующий шаг – отрицательные числа – несколько сложнее, поскольку мы не можем наглядно продемонстрировать минус четыре апельсина. С деньгами проще, там отрицательное число можно интерпретировать как долг. Все это понимали в Китае около 200 года, о чем свидетельствует первый известный нам письменный источник «Математика в девяти книгах», хотя сама идея, несомненно, намного старше. Когда числа ассоциируют с измерениями, интерпретации отрицательных величин возникают совершенно естественно. Например, отрицательную температуру можно интерпретировать как температуру ниже нуля, тогда как положительная температура выше нуля. В некоторых случаях положительные измерения лежат справа от некоторой точки, тогда как отрицательные – слева, и т. д. Отрицательное противоположно положительному.

В наши дни математики уделяют много внимания различиям между этими типами числовых систем, но для обычного пользователя все они являются вариантами одной темы: это числа. Мы с готовностью принимаем такую довольно наивную договоренность, поскольку во всех этих системах работают одни и те же правила арифметики и каждый новый тип чисел просто расширяет старую систему, ничего не меняя в том, что нам известно. Преимущество расширения концепции числа состоит в том, что каждый раз появляется возможность производить «арифметические действия», недоступные прежде. В натуральных числах мы не можем разделить 2 на 3, в дробях – можем. В натуральных числах мы не можем вычесть 5 из 3, в отрицательных числах – можем. Все это делает математику проще, потому что можно перестать беспокоиться о том, разрешены те или иные арифметические операции или нет.

Дроби позволяют делить разные вещи на сколь угодно мелкие части. Мы можем разделить метр на миллиметры, составляющие одну тысячную долю его длины, или на микрометры, составляющие одну миллионную, или на нанометры (это уже одна миллиардная) и т. д. Названия у нас закончатся намного раньше, чем нули. Практические измерения никогда не обходятся без небольших ошибок, поэтому дробей нам вполне достаточно для всех целей. Мало того, мы можем обойтись только дробями со знаменателем, равным степени десяти, – посмотрите на любой электронный калькулятор. Но для важных теоретических целей, а также для сохранения порядка в математике дробей, как оказалось, не хватает.

Последователи древнегреческого культа пифагорейцев верили, что Вселенная управляется числами (кстати, подобные взгляды до сих пор преобладают в самой передовой физике, хотя и не в столь буквальном виде). Пифагорейцы признавали только натуральные числа и положительные дроби, поэтому их система взглядов была потрясена до основания, когда один из них обнаружил, что длина диагонали квадрата не равна точной доле длины его стороны. Это открытие привело к появлению так называемых иррациональных чисел, в данном случае к квадратному корню из двух. В результате сложной исторической эволюции, начавшейся в Китае в IV веке до н. э. и продолжавшейся до Симона Стевина в 1585 году, такие числа стали представлять в виде десятичных дробей:

√2= 1,414213562373095048…

Поскольку это число иррациональное, оно должно продолжаться бесконечно и не заканчиваться одними только нулями. Оно не может даже повторять одну и ту же группу цифр снова и снова, как 1/3, которая в десятичной записи равна 0,333333333… Это «бесконечная десятичная дробь». Мы не в состоянии записать ее целиком, но теоретически можем делать вид, что это возможно, потому что, в принципе, можно продолжать запись как угодно долго.

Несмотря на необходимость прибегать к бесконечному процессу, бесконечные десятичные дроби обладают очень приятными математическими свойствами, в частности позволяют точно записать геометрические длины, такие как √2, которые в противном случае не имели бы численных значений. Бесконечные десятичные дроби получили название действительных чисел, поскольку представляли собой (идеализированные) измерения реальных величин, таких как длина, площадь, объем и вес. Каждая последовательная цифра в них представляет кратное некоторого базового размера, который на каждом шаге уменьшается в 10 раз. Можно считать, что эта процедура продолжается бесконечно, причем базовые размеры становятся все меньше и меньше. Это позволяет нам представить нужное число с какой угодно точностью. Реальная физика на атомном уровне не такова, да и само пространство, вероятно, тоже не такое, но действительные числа необычайно хорошо представляют реальность в очень многих случаях.

Исторически новые типы чисел, как правило, поначалу встречали сопротивление. Затем, когда их полезность становилась очевидной, а использование – привычным, общее отношение к ним менялось. На протяжении жизни одного поколения сопротивление в основном исчезало: если вы с детства привыкли регулярно чем-то пользоваться, то оно кажется вам совершенно естественным. Философы могли и дальше спорить, является ли нуль числом – у них и сегодня нет единого мнения в этом вопросе, – но обычные люди уже пользовались им при необходимости и перестали гадать, что это на самом деле. Даже математики вели себя так, хотя и испытывая иногда чувство вины. Можно отметить, что терминология выдает эту игру: новые числа называются не как-нибудь, а отрицательными, иррациональными и т. п.

Однако даже у математиков некоторые инновации вызывали головную боль, которая не проходила столетиями. Но что по-настоящему нарушило спокойствие математического сообщества, так это введение так называемых мнимых чисел. Даже название (которое до сих пор используется исключительно по привычке) указывает на вызванную ими степень ошеломления и намекает, что репутация у этих чисел по какой-то причине была довольно сомнительная. Опять же в основе их лежали квадратные корни.

Стоило нам расширить числовую систему так, чтобы она включала в себя бесконечные десятичные дроби, как выяснилось, что у каждого положительного числа есть квадратный корень. Мало того, два квадратных корня: один положительный, другой отрицательный. Например, у числа 25 два квадратных корня: +5 и –5. Этот любопытный факт является следствием правила «минус на минус дает плюс», которое при первом знакомстве часто ставит людей в тупик. Некоторые в принципе не в состоянии его принять. Однако это простое следствие принципа, согласно которому отрицательные числа должны подчиняться тем же арифметическим правилам, что и положительные. Это звучит разумно, но подразумевает, что у отрицательных чисел не бывает квадратных корней. Так, у числа –25 нет квадратных корней. Это кажется несправедливым, если вспомнить, что у его родича, числа +25, таких корней целых два. Поэтому математики долгое время рассуждали о новом цифровом царстве, где у отрицательных чисел тоже имеются квадратные корни. При этом они молчаливо подразумевали, что в нем обычные правила арифметики и алгебры продолжают действовать. Позднее стало очевидно, что для появления такого царства необходимо всего одно принципиально новое число: квадратный корень из минус единицы. Это новое число получило обозначение i, которым и сегодня пользуются все, кроме инженеров (они используют символ j). Воспользовавшись этим обозначением, можно без труда записать его ключевое свойство:

i² = –1.

Теперь в числовом царстве правит справедливость, и каждое число, положительное или отрицательное, имеет два квадратных корня{48}. Исключение составляет нуль, поскольку –0 = +0, но нуль часто становится исключением, поэтому никого это не смущает{49}.

Идею о том, что отрицательное число может, в принципе, иметь осмысленный квадратный корень, можно проследить до древнегреческого математика и механика Герона Александрийского, но первые шаги к разумной реализации этой идеи были сделаны лишь полтора тысячелетия спустя в Италии в эпоху Возрождения. Джероламо Кардано упомянул такую возможность в своем трактате «Великое искусство» (одном из первых алгебраических трудов) в 1545 году, но затем отбросил эту идею как бессмысленную. Прорыв произошел в 1572 году, когда итальянский алгебраист Рафаэль Бомбелли сформулировал правила для вычислений с гипотетическим квадратным корнем из минус единицы и нашел действительные решения одного кубического уравнения с использованием формулы, где складывались два «числа», которые никак не могли быть действительными. Невозможные части успешно сократились друг с другом, оставив вполне корректный – действительный – ответ. Этот дерзкий мудреный фокус заставил математиков спохватиться, потому что полученные решения можно было проверить непосредственно и они работали.

Чтобы подсластить пилюлю, новые числа стали называть мнимыми, в противовес традиционным действительным, которые можно было использовать для измерения реальных объектов. Эта терминология незаслуженно наделяла действительные числа особым статусом и, кроме того, смешивала математическую концепцию и общепринятый способ ее использования. Как мы увидим, у мнимых чисел тоже есть полностью осмысленные применения и интерпретации, но не в качестве измерений привычных физических величин вроде длины или массы. Бомбелли первым продемонстрировал, что мнимые числа – чем бы они ни были – можно использовать для решения совершенно реальных задач. Это как если бы фантастический плотницкий инструмент, даже не существующий в реальности, можно было взять и использовать для изготовления совершенно нормального стула. Конечно, это был концептуальный стул, но сам процесс все равно выглядел непостижимо. Еще более непостижимо выглядели свидетельства того, что все это работает.