Ярослав Суков – Спектральный анализ на финансовых рынках (страница 5)

Математически это выражается через преобразование Фурье:

P^{^}(f)=∫_−∞ ^+∞P(t)e^−2πiftdt

Здесь P(t) — цена во времени, P^(f) — её частотное представление (спектр). Формула выглядит сложно, но идея элегантна: мы как бы «просвечиваем» временной ряд синусоидами разной частоты и смотрим, насколько каждая синусоида «резонирует» с сигналом.

На практике мы работаем с дискретными данными, поэтому используем дискретное преобразование Фурье (DFT) или быстрое преобразование Фурье (FFT) — алгоритм, который делает вычисления эффективными.

Но самое важное — не формулы, а изменение перспективы.

Когда вы смотрите на график цены во времени, вы видите запутанную линию. Вы видите, что цена то растёт, то падает, но вам трудно понять, есть ли в этом движении система. Когда же вы переходите в частотную область, вы видите спектр — набор пиков на определённых частотах. Высокий пик означает, что на этой частоте есть сильное устойчивое колебание. Низкий пик — что колебание слабое или отсутствует.

Это похоже на то, как если бы вы слушали музыку, не зная нот, и вдруг увидели бы спектрограмму: вы сразу поняли бы, что есть басовая линия, есть мелодия, есть ритм-секция. Точно так же, увидев спектр рынка, вы сразу поймёте, какие циклы сейчас доминируют, а какие затухают, есть ли устойчивый тренд (который соответствует очень низкой частоте) или рынок находится в шумовом режиме.

Чтобы сделать эту идею совсем наглядной, давайте проведём несколько мысленных экспериментов.

Эксперимент 1: Один цикл.

Представьте, что цена идеально описывается синусоидой с периодом 20 дней. То есть каждые 20 дней цена возвращается в ту же точку, совершая полный цикл. Если вы посмотрите на график во времени, вы увидите красивые волны. Если вы построите спектр, вы увидите единственный острый пик на частоте f=1/20f=1/20 (в единицах «циклов в день»). Это идеальный случай: рынок полностью детерминирован и цикличен. На практике таких идеальных циклов не бывает, но пики в спектре указывают на доминирующие периоды.

Эксперимент 2: Случайное блуждание.

Теперь представьте, что цена — это случайное блуждание (геометрическое броуновское движение). Его спектр будет не иметь выраженных пиков. Вместо этого энергия будет распределена по всем частотам, но с преобладанием низких частот. Спектр будет гладким, без резких выбросов. Это и есть спектральная сигнатура «чистой случайности» (с учётом нестационарности). Если вы видите такой спектр на рынке, это означает, что в данный момент нет доминирующих циклов, и лучше всего либо не торговать, либо использовать стратегии, основанные на волатильности (например, продажа опционов).

Эксперимент 3: Наложение двух циклов.

Пусть цена состоит из двух синусоид: с периодом 20 дней (амплитуда 10) и с периодом 5 дней (амплитуда 3). Временной график будет выглядеть как сложная кривая, в которой трудно сразу выделить две составляющие. Но в спектре вы увидите два чётких пика: один на частоте 1/201/20, другой на 1/51/5. Более того, вы увидите, что низкочастотный цикл (20 дней) имеет большую амплитуду, то есть является более значимым.

Эксперимент 4: Модуляция (изменение спектра во времени).

Теперь представьте, что сначала доминирует 20-дневный цикл, а потом он затухает, и на первый план выходит 5-дневный. В классическом преобразовании Фурье, которое даёт средний спектр за весь период, вы увидите оба пика, но не поймёте, когда какой был активен. Поэтому нам нужны адаптивные методы: кратковременное преобразование Фурье (STFT) или вейвлет-преобразование. Они дают спектрограмму — двумерное изображение (частота vs время), где видно, как меняется спектр.

Эксперимент 5: Реальный рынок.

Возьмём реальные данные, например, дневные цены на золото за последние 10 лет. Построим спектр. Мы увидим не один пик, а целый набор: есть пик, соответствующий годовому циклу (связанный с сезонностью спроса на золото в Индии и Китае), есть пик, соответствующий циклу деловой активности (около 3-5 лет), есть пики, связанные с циклами ликвидности, связанными с действиями ФРС (примерно 7-8 лет), и множество более коротких циклов.

Но самое интересное — это изменчивость спектра. В периоды кризисов (например, 2020 год, начало пандемии) спектр резко меняется: появляются пики на очень низких частотах (долгий тренд падения, затем восстановления) или, наоборот, высокочастотные осцилляции (панические распродажи и отскоки). Спектральный анализ позволяет не только видеть эти изменения, но и строить на них торговые системы.

Мы совершили переход. От наивного восприятия рынка как случайного блуждания мы пришли к пониманию его фрактальной, поведенчески обусловленной природы. А затем сделали следующий шаг: перешли из временной области в частотную, где рыночная структура проявляется в виде спектральных пиков и их эволюции.

В следующей части книги мы вооружимся конкретными математическими инструментами: научимся вычислять спектр, фильтровать шум, выделять значимые циклы. Но уже сейчас важно усвоить главную идею: рынок говорит с нами на языке частот. Наша задача — научиться слушать его на этом языке, отбросив устаревшие представления о случайности и хаосе.

Мы больше не будем смотреть на график как на запутанную линию. Мы будем видеть в нём оркестр, где каждая частота — это свой инструмент, и наша задача — понять, кто сейчас солирует, а кто только настраивается. Тот, кто овладеет этим искусством, получит то самое алгоритмическое преимущество, о котором мечтают профессионалы.

ЧАСТЬ II. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФУНДАМЕНТ

Глава 4. Основы спектрального анализа

Мы переходим к самому сердцу нашей книги — математическому фундаменту, который превращает искусство наблюдения за рынком в строгую инженерию. Но не пугайтесь: мы не будем погружаться в дебри интегральных уравнений, если только это не необходимо для интуиции. Наша цель — сделать так, чтобы вы почувствовали математику, как музыкант чувствует ноты, даже если не умеет выводить волновое уравнение. Каждая формула здесь будет иметь свой смысл, свой образ и, главное, своё применение в анализе финансовых ритмов.

Прежде чем строить здание, нужно заложить фундамент. В нашем случае фундамент — это три кита, на которых стоит спектральный анализ: частота, амплитуда/фаза и спектральная плотность. Без понимания этих понятий все дальнейшие методы (вейвлеты, фильтрация, прогнозирование) останутся набором магических заклинаний. С ними же вы сможете не только применять готовые библиотеки, но и создавать собственные инструменты, адаптированные под ваше видение рынка.

Представьте, что вы учитесь слушать музыку не просто как последовательность приятных звуков, а как структуру, где каждая нота имеет высоту (частоту), громкость (амплитуду) и момент вступления (фазу). Рыночный сигнал — это симфония, которую играет тысячеголосый оркестр участников. И наша задача — научиться различать в этой симфонии отдельные инструменты.

Что такое частота в контексте рынков

Когда мы говорим о частоте в физике, мы подразумеваем количество колебаний в единицу времени. Гц (герц) — это одно колебание в секунду. В финансовых рынках у нас нет секундных колебаний в классическом смысле, но есть повторяющиеся паттерны во времени. Частота в нашем контексте — это количество завершённых циклов за определённый период наблюдения. Если мы работаем с дневными данными, то частота будет измеряться в циклах на день или, удобнее, в периоде — количестве дней на один цикл.

Например, если цена демонстрирует подъём и спад каждые 20 дней, мы говорим о периоде 20 дней, а частота составляет (1/20 = 0.05) циклов в день. В спектральном анализе финансовых временных рядов мы чаще оперируем именно периодами: от внутридневных (минуты, часы) до многолетних (годы, десятилетия). Частота — это просто обратная величина периода, и выбор той или иной формы зависит от контекста.

Но за этим простым определением скрывается глубокая философская проблема: откуда на рынке берутся циклы? В физике частота — это свойство осциллятора: маятник имеет собственную частоту, определяемую его длиной и гравитацией. В экономике и финансах "осцилляторы" имеют иную природу. Вот лишь несколько источников рыночных частот:

1. Календарные циклы: день, неделя, месяц, квартал, год. Они связаны с графиком работы людей, отчётными периодами, налоговыми сроками. Например, эффект января (повышенная доходность в первый месяц года) — это циклическое явление с периодом 1 год. Внутридневные паттерны (низкая волатильность в начале азиатской сессии, высокая — на стыке сессий) — это циклы с периодом 24 часа и его гармониками.

2. Экономические циклы: деловые циклы Китчина (3–5 лет), Жюгляра (7–11 лет), Кондратьева (50–60 лет). Они порождены динамикой инвестиций, технологических укладов, накоплением капитала. Хотя они не строго периодичны, их присутствие можно обнаружить в спектрах макроэкономических показателей и, через них, в ценах фондовых индексов и сырьевых рынков.

3. Циклы ликвидности: действия центральных банков по изменению процентных ставок и объёмов ликвидности создают волны, которые накатывают на все активы. Периоды между заседаниями ФРС (примерно 6–8 недель) часто проявляются как характерные ритмы в поведении рынка.