Владимир Успенский – Апология математики (сборник статей) (страница 71)

Для полноты картины приведём индийское доказательство теоремы Пифагора. Это тоже чертёж со словом «Смотри!». Заметим, что

a² + b² = ab + ab + (а – b)².

Поэтому теорему Пифагора, утверждающую, что для прямоугольного треугольника с катетами a и b и гипотенузой c справедливо равенство a² + b² = c², можно доказывать в форме

c² = ab + ab + (a – b)².

Последняя формула и доказывается чертежом, приведенным на рис. 5[142]. Слева на рис. 5 – квадрат с площадью c², составленный из четырёх одинаковых треугольников и квадрата со стороной a − b. Справа – тот же квадрат со стороной a – b, а треугольники уложены так, что образовались два одинаковых прямоугольника со сторонами a и b. Заметим, что, в отличие от предыдущего, это рассуждение полностью приемлемо и сегодня.

Наш рис. 5 с подписью «Смотри!» встречается в трудах индийского астронома и математика XII в. Бхáскары. Можно предположить, что он содержался в ещё более ранних индийских текстах. В пользу такого предположения говорит, в частности, то, что левый чертёж с рис. 5 мы находим в китайском трактате, датируемом не позже чем III в. Китайский автор, однако, не довольствуется призывом «Смотри!», а заменяет его алгебраическим пояснением. В упомянутом трактате предлагалось и другое, пожалуй, ещё более простое и наглядное доказательство теоремы Пифагора. Это второе доказательство иллюстрирует рис. 6. Китайский автор и в этом случае сопровождал чертёж необходимым пояснением; мы же на индийский манер ограничимся призывом «Смотри!». Для точности укажем, что китайский чертёж состоял из наложенных друг на друга чертежей, показанных на рис. 5 и 6, давая таким образом одновременно два доказательства теоремы Пифагора.

В древних египетских текстах описываются приёмы оперирования с простыми дробями – не со всеми, а с некоторыми избранными: аликвотными (так принято называть дроби с числителем единица) и дробью 2/3. Встречаются также способы вычисления простейших площадей. Но все они приводятся без какого бы то ни было обоснования. По-видимому, в то время в нём не ощущалось психологической необходимости. Убедительность способа проистекала из того, что он, во-первых, исходил из авторитетного источника (как правило, от жреца) и, во-вторых, был записан. (Не так ли подчас и мы относимся к медицинским предписаниям?) Жившие в советское время помнят, что любое утверждение считалось полностью доказанным, коль скоро его удавалось обнаружить в каком-либо из текстов Маркса или Ленина; в сталинское же время ещё более неоспоримыми были тексты Сталина. (Так что официальная ментальность того времени недалеко ушла от ментальности Древнего Египта.)

Первые математические доказательства в современном их понимании приписывают древнегреческим мыслителям Фалéсу и Пифагору. Считается, что именно в Древней Греции в VII–VI вв. до н. э. возник новый, до того не встречавшийся обычай сопровождать математический факт его обоснованием. Появилась потребность не просто сообщать факт, но и убеждать слушателя в его истинности, т. е. проводить доказательство. По-видимому, сама идея необходимости убеждать слушателей появилась в дискуссиях на народных собраниях и в судах. (В этом смысле математика – младшая сестра юриспруденции.)

Древнегреческие доказательства были почти безупречны с современной точки зрения. Положение вещей начало меняться с XVII в., когда в математику вошли переменные величины, а вместе с ними представление о предельном переходе. С сегодняшней точки зрения эти понятия и представления не были достаточно чёткими, а потому и относящиеся к ним доказательства XVII–XVIII вв. кажутся теперь нестрогими, вспомним хотя бы приведённые выше цитаты из книги Эйлера. Замечательно, однако, что эти нестрогие доказательства приводили к строгим результатам, прочно вошедшим в арсенал современной математики. Так продолжалось до 20-х гг. XIX в., когда появились работы знаменитого французского математика Луи Огюстена Коши; в его трудах понятие предела и опирающиеся на него понятия впервые стали приобретать ту логическую форму, которую они имеют сегодня. Инициатива Коши была развита затем многими математиками, прежде всего уже во второй половине XIX в. знаменитым немецким математиком Карлом Вейерштрассом. Но новые представления о необходимом уровне математической строгости входили в математику не сразу, о чём свидетельствует открывающее этот раздел высказывание Пуанкаре. Напрашивается предположение, что представления о строгости будут развиваться и впредь и то, что кажется строгим сегодня, не покажется таковым в будущем.

Уже сейчас видно одно из направлений, по которым может развиваться пересмотр представлений об убедительности математических доказательств. Дело в том, что само понимание того, что такое математическая истина, вызывает серьёзные затруднения. Ведь математические объекты, в отличие от объектов физических, не присутствуют в природе, они существуют лишь в умах людей. Поэтому в применении к математическим истинам говорить, что истина – это то, что соответствует реальному положению вещей, можно лишь с большой натяжкой.

Чтобы закончить этот раздел на оптимистической ноте, подчеркнём, что доказательства, содержащиеся в трудах Евклида и Архимеда, не потеряли своей убедительности за прошедшие тысячи лет.

§ 12. Два аксиоматических метода – неформальный и формальный

Стремление придать бóльшую убедительность математическим доказательствам привело к появлению так называемого аксиоматического метода. Если говорить вкратце, он состоит в следующем. Выбирают основные положения рассматриваемой математической теории, которые принимают без доказательств, а из них уже все остальные положения выводят чисто логическими рассуждениями. Эти основные положения получили название аксиом, а те, которые из них выводятся, – теорем. Ясно, что всякая аксиома также выводится из списка аксиом, поэтому удобно аксиомы рассматривать как частный случай теорем (в противном случае слову «теорема» надо было бы дать такое длинное определение: теорема – это то, что выводится из списка аксиом, однако в этот список не входит).

Первая попытка создать систему аксиом для какой-нибудь теории была предпринята Евклидом в III в. до н. э. Система аксиом из его «Начал» оставалась единственной системой аксиом геометрии вплоть до конца XIX в., когда появились новые системы, отвечающие современным требованиям. Вот как Евклид определяет, что такое точка и что такое прямая: «Точка есть то, что не имеет частей», «Прямая линия есть та, которая равно расположена к точкам на ней». С современных позиций эти определения непонятны и не могут быть использованы в доказательствах.

А как же определяются точка и прямая в современных аксиоматических системах? Ответ может удивить неискушённого читателя (искушённого читателя ничто не может удивить). Эти понятия не определяются никак. Не определяется и значение выражений «точка лежит на прямой», «прямая проходит через точку». Если вдуматься, то чего-то подобного, т. е. предъявления основных понятий без определения, и следовало ожидать, ведь всё определить невозможно: одно определяется через другое, другое – через третье, и где-то приходится остановиться. Уж лучше сделать такую остановку честно и открыто. Спрашивается: а как же в таком случае можно использовать эти понятия в доказательствах? Вот тут на помощь и приходят аксиомы.

В аксиомах вместо определений основных понятий формулируются их главные исходные свойства. На эти свойства и опираются доказательства. Поясним сказанное на примере. Среди основных понятий геометрии присутствуют такие: 'точка', 'прямая', 'лежать на', 'лежать между'. Что такое точки и прямые, не разъясняется, а говорится лишь, что бывают такие объекты: одни называются точками, другие – прямыми. А про лежать на говорится, что это некоторое отношение между точками и прямыми. Это означает следующее: если взять произвольную точку и произвольную прямую, то осмысленно спросить, лежит ли эта точка на этой прямой; точка либо лежит на прямой, либо нет. А вот спрашивать, скажем, лежит ли прямая на прямой, бессмысленно: отношение 'лежать на' для пары прямых не определено, как не определено оно и для пары точек, и для пары (прямая, точка). Лежать между – это некоторое трёхместное отношение между точками; сказанное означает, что если даны три точки A, B, C, то точка B либо лежит между точками A и C, либо нет. Природа предметов 'точка' и 'прямая' и отношений 'лежать на' и 'лежать между' никак не раскрывается. Вместо этого в аксиомах формулируются основные свойства этих объектов и отношений и основные связи между ними. Вот как выглядят некоторые из аксиом:

1. На каждой прямой лежат по меньшей мере две точки.

2. Для двух различных точек не может существовать более одной такой прямой, что обе точки лежат на этой прямой.

3. Если три точки таковы, что одна из них лежит между двумя другими, то все эти три точки различны.

4. Если три точки таковы, что одна из них лежит между двумя другими, то все эти три точки лежат на одной прямой.

5. Для любых двух различных точек A и B существует такая точка С, что B лежит между A и C.

Покажем на примере, как на основе аксиом совершаются доказательства. Докажем, опираясь на выписанные пять аксиом, такую теорему: на каждой прямой лежат по меньшей мере три точки.