Владимир Успенский – Апология математики (сборник статей) (страница 70)

Пример 49. Доказать, что все интервалы равномощны. Доказательство ведётся так же, как в примере 48, только t пробегает теперь не отрезок [0;1], а интервал]0; 1[.

Пример 50. Доказать, что всякий интервал равномощен прямой.

Формула y = tg x устанавливает взаимно однозначное соответствие между интервалом] –π/2; + π/2[и прямой. А все интервалы равномощны друг другу. Следовательно, всякий интервал равномощен прямой.

Пример 51. Доказать, что интервал]a; b[и отрезок [a; b] равномощны.

Записываем [a; b] =]a; b[∪ {a; b} и вспоминаем результат примера 46.

Континуальность лучей просим читателя рассмотреть самостоятельно.

Пример 52. Как доказать, что существуют иррациональные числа?

Можно предложить прямое доказательство существования иррациональных чисел. Например, указать число √2 и доказать, что оно иррационально. Выше были приведены два таких доказательства: арифметическое (в примере 11) и геометрическое (в примере 19). Но можно предложить и косвенное доказательство.

Множество всех рациональных чисел счётно, а множество всех действительных чисел несчётно; значит, бывают и числа, не являющиеся рациональными, т. е. иррациональные. Конечно, надо ещё доказать счётность множества рациональных чисел. Счётность множества рациональных чисел вытекает из того, что каждому рациональному числу можно дать имя в виде слова в едином для всех рациональных чисел алфавите.

Изъяснимся подробнее. В качестве единого алфавита выбираем двенадцатибуквенный алфавит {–; /; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}. С каждым рациональным числом взаимно однозначно сопоставляем несократимую дробь, а дробь записываем в виде m/n, если она положительна, и в виде – m/n, если она отрицательна; здесь m и n – десятичные записи натуральных чисел. Эту запись m/n или – m/n объявляем именем соответствующего рационального числа. Множество данных имён счётно как подмножество счётного множества всех слов в данном алфавите, а потому счётно и множество всех рациональных чисел.

В примере 52 косвенное доказательство было не намного проще прямого. Но бывают ситуации, когда косвенное доказательство гораздо проще прямого. Именно так обстоит дело в случае трансцендентных чисел.

Действительное число называется алгебраическим, если оно является корнем ненулевого многочлена с целыми коэффициентами; в противном случае оно называется трансцендентным. Прямое доказательство существования трансцендентных чисел состоит в предъявлении образца таких чисел. Первое такое предъявление было осуществлено в 1844 г., чем и было доказано существование трансцендентных чисел. Впоследствии было доказано, что трансцендентными являются известные числа e (основание натуральных логарифмов) и π (отношение длины окружности к диаметру). Однако доказать, что число e или число π (или какое угодно другое число) является трансцендентным, довольно сложно. В то же время возможно следующее несложное косвенное доказательство существования трансцендентных чисел. Надо сравнить два множества – несчётное множество всех действительных чисел и множество всех алгебраических чисел – и убедиться, что второе счётно. Счётность следует из того, что каждое алгебраическое число можно «назвать», т. е. присвоить ему некоторое имя. В качестве такого имени проще всего взять выражение, состоящее из двух частей: 1) из записи соответствующего многочлена и 2) порядкового номера рассматриваемого числа среди корней этого многочлена (корни берутся в порядке возрастания).

Нетрудно придумать алфавит, в котором все эти имена записывались бы в виде слов. Некоторые имена окажутся «пустыми» в том смысле, что не называют никакого числа. Так случится, если уравнение не имеет действительных корней, а также если уравнение имеет, скажем, десять таких корней, а мы включили в имя номер сотого корня. Такие имена мы отбрасываем. У каждого действительного числа окажется много имён, из них мы выбираем то, которое идёт первым в пересчёте всех слов придуманного нами алфавита; остальные имена отбрасываем. Таким образом, множество имён алгебраических чисел окажется подмножеством всех слов в некотором алфавите и, следовательно, счётным. Вместе с ним счётным окажется и множество всех алгебраических чисел. Раз множество всех алгебраических чисел счётно, а множество всех действительных чисел несчётно, то непременно бывают действительные числа, не являющиеся алгебраическими, т. е. трансцендентные.

замечание. И в примере 52, где доказывалось существование чисел, не являющихся рациональными, и в последующем доказательстве существования чисел, не являющихся алгебраическими, была использована следующая идея: множество «выделенных» чисел (рациональных, алгебраических) допускает пересчёт (поскольку оно счётно), а множество всех чисел не допускает пересчёта (поскольку оно несчётно); следовательно, существуют числа, не являющиеся «выделенными». Более рафинированный вариант этой идеи таков. Имеется множество и подмножество, оба допускают пересчёт. Среди пересчётов выделяются пересчёты специального вида и доказывается, что подмножество допускает такой пересчёт, а объемлющее множество не допускает. Тем самым обнаруживается, что в множестве существуют элементы, не принадлежащие подмножеству. Именно такой рафинированный вариант используется в одном из доказательств знаменитой теоремы Гёделя о неполноте. Множество всех истинных утверждений арифметики не допускает вычислимого пересчёта, тогда как множество всех доказуемых утверждений арифметики такой пересчёт допускает. Отсюда следует существование истинных утверждений, не являющихся доказуемыми. Этот способ доказательства теоремы Гёделя предложил великий математик Андрей Николаевич Колмогоров.

§ 11. Представление о математических доказательствах меняется со временем

Великий французский математик Анри Пуанкаре писал в 1908 г.:

Если мы читаем книгу, написанную 50 лет назад, то рассуждения, которые мы в ней находим, кажутся нам большей частью лишёнными логической строгости.

Для иллюстрации приведём рассуждение из книги «Введение в анализ бесконечных». Правда, она была опубликована в 1748 г., т. е. не за 50, а за 160 лет до высказывания Пуанкаре, зато сам пример очень нагляден. В названной книге встречаются такие странные, по нынешним меркам, утверждения: «e^x = (1 + x/i)ⁱ, где i означает бесконечно большое число»; «так как дуга 2kπ/i бесконечно мала, то cos(2k/i) π = 1 – (2k²/i²)π²»; «член x²/i² может быть опущен без опасения, потому что даже после умножения на i он останется бесконечно малым». Скажи студент такое на экзамене в наши дни, он получил бы двойку. Однако автор книги не кто иной, как великий математик Эйлер, а взятые нами в кавычки цитаты составляют часть доказательства одной из знаменитых формул Эйлера, а именно формулы для разложения синуса в бесконечное произведение:

Формула Эйлера и поныне составляет одну из жемчужин математического анализа. В середине XX в. даже выяснилось, что и процитированным «странным» утверждениям Эйлера можно придать точный смысл на основе так называемого нестандартного анализа, но это уже совсем другая история.

Мы видим, таким образом, что само понимание того, что является, а что не является доказательством, меняется со временем. Если вдуматься, ничего удивительного в этом нет. Ведь понятие доказательства основано на представлении об убедительности, а это представление исторически обусловлено. Для средневековых судов, например, убедительными были весьма своеобразные, с нашей точки зрения, доказательства виновности и невиновности: если человек мог держать в руке раскалённое железо, то он признавался невиновным; если брошенная в воду связанная женщина не тонула, то её объявляли ведьмой. Понятие математического доказательства имеет те же психологические основы, что и понятие доказательства юридического, и потому так же зависимо от исторических обстоятельств.

Для математических текстов средневековой Индии, например, были характерны такие (возможно, восходящие к более древним временам) способы доказывания геометрических утверждений: предлагался чертёж, под которым стояло всего одно слово «Cмотри!». На рис. 4 воспроизведено подобное индийское доказательство формулы, выражающей площадь круга S через длину окружности l и радиус r. Формула эта замечательна тем, что не использует числа π, осознание которого в качестве полноправного числа сталкивается с вполне естественными психологическими трудностями, ведь оно не представимо ни в виде дроби, ни даже в виде выражения с радикалами (т. е. знаками корня), как это имеет место в случае диагонали единичного квадрата. Поэтому данная формула могла быть понятна и в древности. Найти её нетрудно. Поскольку l = 2πr, то в известной формуле площади круга число π можно заменить отношением длины полуокружности к радиусу:

Таким образом, площадь круга равна площади прямоугольника, основанием которого служит отрезок, равный по длине полуокружности этого круга, а высотой – его радиус. Именно это наглядно показывает индийский чертёж, одновременно демонстрируя и доказательство. Сперва круг делится диаметром пополам, а потом каждый полукруг разрезается на большое и одинаковое для каждого полукруга количество равных секторов. Затем каждая из полуокружностей распрямляется, секторы превращаются в треугольники, и возникают две равные фигуры, по форме напоминающие пилу. Наконец, эти «пилы» вставляются друг в друга, так чтобы зубцы одной «пилы» полностью вошли в промежутки между «зубцами» другой. Возникает прямоугольник, равный по площади исходному кругу и имеющий требуемые длины сторон. «Что за чушь?! – скажет педант XXI в. – При распрямлении дуг секторы превратятся бог знает во что и не смогут совпасть с промежутками между "зубцами", да и площади их исказятся. И прямоугольник выйдет кривобокий. Так что никакое это не доказательство». Однако для индийцев это было доказательством. И минувшие века не лишили его убедительности, ведь при разбиении на очень большое количество секторов все справедливо отмеченные педантом искажения будут почти незаметны. Так что при большом желании и готовности потрудиться индийское рассуждение можно облечь в форму, приемлемую сегодня.