Владимир Успенский – Апология математики (сборник статей) (страница 56)

Чтобы задать отношение, достаточно, следовательно, задать некоторое исходное множество пар его элементов – «график отношения», состоящий из тех пар, у которых первый член находится в рассматриваемом отношении ко второму. Естественно поэтому само отношение отождествить с парой, составленной из его графика и его области задания. Такое отождествление и принято нами в качестве определения понятия 'отношение'. Отношение, следовательно, есть пара, составленная из двух множеств, причём элементами первого из этих множеств служат некоторые пары элементов второго.

Для простоты мы ограничились здесь двуместными, или бинарными, отношениями. А вот пример трёхместного, или тернарного, отношения: для любой тройки точек осмыслен вопрос, расположена ли вторая из них между первой и третьей; если, например, точки не лежат на одной прямой или две из них совпадают, ответ будет отрицательным.

Из книги «Что такое аксиоматический метод?»

§ 1. Что такое аксиомы?

Аксиоматический метод – это такой способ построения какой-либо математической теории, при котором в основу теории кладутся некоторые исходные положения, называемые аксиомами, а все остальные положения теории, называемые теоремами, доказываются на основе этих аксиом путём чисто логических рассуждений. Те выражения из предыдущей фразы, которые были выделены курсивом, а именно аксиомы, теоремы и чисто логические рассуждения, будут разъяснены далее.

Начнём с аксиом. Возникают естественные вопросы: что такое аксиомы, откуда они взялись, зачем они нужны? Чтобы ответить на них, нам придётся выйти за пределы чистой математики и вступить в области, пограничные между математикой и философией.

В естественных науках многие факты обосновываются экспериментально, т. е. посредством проведения эксперимента (экспериментом называется научно поставленный опыт). Возьмём, например, такой медицинский факт: анальгин производит обезболивающее и жаропонижающее действие. Этот факт обосновывается многочисленными экспериментами: анальгин давали людям, имевшим повышенную температуру или испытывавшим боль, после чего температура у них понижалась, а боль уменьшалась. Или такой ботанический факт: деревья, имеющие хвою, имеют и шишки. Этот факт обосновывается многочисленными наблюдениями над хвойными деревьями. Или растворимость поваренной соли в воде – каждый может убедиться, что эта соль растворима в воде, на собственном опыте. В физике свойство равноускоренности свободного падения неоднократно проверялось открывшим это свойство Галилеем и его современниками.

Другое дело – теоремы геометрии. Предположим, что мы хотим обосновать тот факт, что у двух треугольников, у которых равны две стороны и угол между ними, равны и третьи стороны. Что мы должны делать? Конечно, мы можем поставить опыт: взять какие-либо два треугольника, удовлетворяющие сформулированному требованию, и убедиться в том, что их третьи стороны действительно равны. Однако может ли этот опыт служить достаточным обоснованием интересующего нас факта? А ну как равенство третьих сторон имеет место только для выбранной нами пары треугольников, а для других пар треугольников оно места не имеет? Будем продолжать наши эксперименты и брать всё новые и новые пары треугольников с равными углами, заключёнными между попарно равными сторонами. Каждый раз мы будем убеждаться, что и третьи стороны равны. Но ведь мы всё равно не сможем перебрать все треугольники, а тогда каждый раз будет оставаться сомнение: а вдруг для ещё не рассмотренных нами треугольников равенство третьих сторон не выполняется?!

Наши сомнения совершенно законны, и их законность подкрепляется следующим рассуждением. Изменим условия, изначально налагаемые нами на треугольники, и вместо того, чтобы требовать равенства углов, расположенных между попарно равными сторонами, будем требовать равенства углов, прилежащих к соответствующим сторонам. Более точно, рассмотрим такое утверждение: «Пусть у треугольников ABC и А'В'С' сторона АВ равна стороне А'В', сторона АС равна стороне А'С' и, кроме того, угол В равен углу В'; тогда сторона ВС равна стороне В'С'». Это утверждение неверно, и мы приглашаем читателя убедиться в этом самостоятельно, найдя противоречащий пример, т. е. пару треугольников, для которой выполнены все условия сформулированного утверждения (они перечислены после слова «пусть»), но не выполнено его заключение (оно сформулировано после слова «тогда»). Однако легко может случиться, что такой противоречащий пример будет найден не сразу и у многих испробованных пар треугольников, в которых равны углы, прилежащие к равным сторонам, третьи стороны этих треугольников также окажутся равными. А что, если противоречащий пример (хотя он на самом деле существует) вовсе не будет найден? Ведь тогда можно было бы сделать ошибочный вывод, что наше утверждение истинно! Проведённый анализ показывает, что надо быть очень осторожным при применении неполной индукции, т. е. перехода от частных примеров, не исчерпывающих в своей совокупности всех возможных случаев, к утверждениям общего характера.

Здесь у читателя может возникнуть законное недоумение. Ведь упомянутые выше выводы о свойствах анальгина, о наличии шишек у хвойных деревьев, о растворимости соли, о законе свободного падения – все эти выводы сделаны на основе ограниченного числа наблюдений, т. е. на основе той самой неполной индукции, которую мы только что вроде бы отвергли. Да, мы её отвергли – но только как средство для доказательств положений математики. Для естественных наук, таких как медицина, биология, химия, физика, метод неполной индукции считается вполне приемлемым, поскольку им без него не обойтись; впрочем, и здесь положения, установленные методом неполной индукции, подчас приходится пересматривать.

Что же касается математики, то её истины более незыблемы, чем истины медицины или химии, и в математике неполная индукция не работает.

Вернёмся, однако, к теореме о равенстве треугольников по двум сторонам и углу между ними. Что же с нею делать? Перед нами выбор: или пытаться доказывать её, опираясь на ранее доказанные утверждения, или объявить её аксиомой, т. е. утверждением, не нуждающимся в доказательстве. Если раньше читатель был вправе недоумевать, то теперь он вправе возмутиться. Что значит «объявить аксиомой»? Разве это в нашей власти? Да, в значительной степени в нашей власти, и чуть позже мы попытаемся это объяснить. Если же мы будем доказывать нашу теорему с помощью других, ранее доказанных теорем, а те, другие, теоремы – с помощью третьих и т. д., то ведь всё равно этот процесс не может продолжаться бесконечно. Значит, где-то придётся остановиться, т. е. уже не доказывать какие-то предложения, а принять их за аксиомы.

§ 2. Аксиомы Евклида

Необходимость аксиом была осознана ещё древними греками. Самое знаменитое сочинение мировой математики – написанный в III в. до н. э. древнегреческим математиком Евклидом и охватывающий всю современную ему математику трактат «Начала» – начинается так. Сперва идут определения, а сразу вслед за ними – аксиомы. Аксиомы у Евклида разбиты на два списка. Первый список состоит из пяти предложений, второй – из девяти. Лишь аксиомы второго списка названы в русском переводе трактата аксиомами, аксиомы же первого списка названы постулатами. Говоря о древних текстах, всегда надо точно указывать издание; вот издание, на которое мы здесь ссылаемся: Начала Евклида / Пер. с греч. Д. Д. Мордухай-Болтовского. Книги I–VI. – М.; Л.: Гостехиздат, 1948. Приведём полностью постулаты и аксиомы из этого издания. Слова в квадратных скобках добавлены нами для ясности.

Постулаты

Допустим:

1. Что из всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию.

2. И что ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.

3. И что из всякого центра и всяким раствором [циркуля] может быть описан круг.

4. И что все прямые углы равны между собой.

5. И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, [в сумме] меньшие двух прямых [углов], то, неограниченно продолженные, эти прямые встретятся с той стороны, где [внутренние] углы [в сумме] меньше двух прямых [углов].

Аксиомы

1. Равные одному и тому же равны между собой.

2. И если к равным прибавляются равные, то и целые [т. е. суммы] будут равны.

3. И если от равных отнимаются равные, то остатки будут равны.

4. И если к неравным прибавляются равные, то целые будут не равны.

5. И удвоенные одного и того же равны между собой.

6. И половины одного и того же равны между собой.

7. И совмещающиеся друг с другом равны между собой.

8. И целое больше части.

9. И две прямые не содержат пространства.

На современном языке пятый постулат Евклида можно сформулировать так:

При пересечении двух прямых третьей, секущей, образуются четыре внутренних угла. Если сумма двух из них, расположенных по одну сторону от секущей, меньше 180°, то эти две прямые пересекаются и притом по ту же сторону от секущей.

Возникает естественный вопрос, почему одни предложения названы постулатами, а другие – аксиомами. Вопрос этот достаточно сложен. На примере приведённых двух списков можно увидеть некое различие между значениями слов «аксиома» и «постулат», но различие столь тонкое, что нам для целей нашего изложения нет нужды принимать его во внимание; к тому же это различие не всегда ясно прослеживается. В современном языке термины «аксиома» и «постулат» считаются синонимами. Например, пятый постулат Евклида часто называют аксиомой о параллельных. (Строго говоря, аксиомой о параллельных называется в наши дни другое утверждение, а именно: «Дана прямая и точка вне её; не существует двух различных прямых, проходящих через данную точку и параллельных данной прямой». Это утверждение равносильно пятому постулату: приняв это утверждение, можно доказать пятый постулат, а приняв пятый постулат, можно доказать сформулированное утверждение. Поэтому пятый постулат рассматривают как одну из форм аксиомы о параллельных.) Мы тоже будем считать термины «аксиома» и «постулат» синонимами, а если и будем называть одни формулировки Евклида постулатами, а другие – аксиомами, то только потому, что за ними исторически закрепилось такое название.