Владимир Успенский – Апология математики (сборник статей) (страница 55)

Первое направление. Именно первое направление отражено, например, в Большой Советской Энциклопедии (3-е изд.), где статья «Функция»[120] начинается со следующей дефиниции: «Функция – одно из основных понятий математики, выражающее зависимость одних переменных величин от других».

В рамках данного направления, в свою очередь, можно выделить два подхода, первый из которых (опять-таки более ранний и, возможно, более распространённый) скорее соответствует точке зрения физиков, второй – точке зрения математиков[121].

Первый подход состоит в истолковании функции как переменной величины. Именно такое истолкование принято в средней школе. «Та переменная величина, числовые значения которой изменяются в зависимости от числовых значений другой, называется зависимой переменной, или функцией этой другой переменной величины»[122]. Подобное определение функции принято и в ряде авторитетных вузовских учебников[123], и в Большой Советской Энциклопедии, где следующая за дефиницией фраза в только что упоминавшейся статье «Функция» гласит: «Если величины x и y связаны так, что каждому значению x ответствует определённое значение y, то y называют (однозначной) функцией аргумента x». Как видно из исторического обзора в конце названной статьи, аналогичные формулировки встречались ещё в XIX в. и восходят к ещё более ранним представлениям.

Второй подход состоит в истолковании функции как закона, но также связанного с понятием переменной величины (и с разделением переменных величин на «зависимые» и «независимые»): «Закон (правило), по которому значениям независимых переменных отвечают (соответствуют) значения рассматриваемой зависимой переменной, называется функцией»[124].

Приведённые формулировки нельзя, конечно, считать отчётливыми. Для их уточнения требуется предварительное создание достаточно нерасплывчатой системы представлений о переменных величинах. Создание такой системы если и возможно, то, по-видимому, лишь на основе использования в качестве исходных таких понятий, как 'величина' и 'изменение во времени'[125], т. е. вне рамок теоретико-множественной концепции.

Второе направление. Принципиально иной путь связан с отказом от переменных величин. Он приводит к более широкому понятию функции, поскольку разрешает рассматривать функции не только от «величин» (заметим вскользь, что попытки уточнить, что такое «величина вообще», приводят к значительным трудностям). В рамках этого второго направления можно опять-таки различить несколько подходов, а точнее, по меньшей мере три. Первый подход определяет не самоё функцию, а лишь, так сказать, «функциональную ситуацию», т. е. ситуацию, при которой разрешено говорить, что имеет место функция; второй подход трактует функцию как правило или закон, третий – как соответствие.

Первый подход характерен для руководств по теории множеств и общей теории функций. Вот, например, что говорит о функции П. С. Александров в уже цитировавшейся нами книге[126]:

Если каким-нибудь образом каждому элементу x некоторого множества X поставлен в соответствие определённый элемент y некоторого множества Y, то мы пишем f: X → Y и говорим, что имеется отображение множества X во множество Y или функция f, аргумент которой пробегает множество X, а значения принадлежат множеству Y.

А. Н. Колмогоров и С. В. Фомин пишут:

В [математическом] анализе понятие функции вводится следующим образом. Пусть X – некоторое множество на числовой прямой. Говорят, что на этом множестве определена функция f, если каждому числу x ∈ X поставлено в соответствие определённое число y = f (x). При этом X называется областью определения данной функции, а Y – совокупность всех значений, принимаемых этой функцией – её областью значений.

Если теперь вместо числовых множеств рассматривать множества какой угодно природы, то мы придём к самому общему понятию функции, а именно: пусть M и N – два произвольных множества. Говорят, что на M определена функция f, принимающая значения из N, если каждому элементу x ∈ M поставлен в соответствие один и только один элемент из N. Для множеств произвольной природы (как, впрочем, и в случае числовых функций) вместо термина «функция» часто пользуются термином «отображение», говоря об отображении одного множества в другое[127].

Как мы уже говорили, приведённые (и широко распространённые подобные им[128]) формулировки оставляют само понятие функции неопределяемым. Здесь определяется не что такое функция, а лишь некоторое правило употребления этого термина. Что же такое функция и когда о двух функциях можно говорить как об одной и той же функции – это остаётся неопределённым. Разумеется, такая точка зрения вполне правомерна[129].

Однако правомерно и стремление определить самоё функцию (причём не используя понятия переменной величины). Попытки определить функцию как правило или закон[130], посредством которого для каждого элемента одного множества указывается некоторый элемент второго, приводят к потребности уточнить, что такое правило или закон. Такие уточнения приводили до сих пор к слишком узким классам функций, как, например, классу вычислимых функций, когда слово «закон» уточняется посредством понятия алгоритма. Попытки же найти слову 'закон' максимально общее уточнение оказываются – и, по-видимому, неизбежно (во всяком случае, при наших сегодняшних представлениях) – связанными с необходимостью максимально широко и одновременно совершенно отчётливо очертить язык (или языки) записи законов, что вряд ли когда-нибудь удастся; считать же понятие «закон» первичным и неопределяемым вряд ли целесообразно.

Наиболее законченное представление о функции заключается в рассмотрении её как соответствия. «Функция… определённая на множестве M, есть не что иное, как просто соответствие f различным элементам множества M некоторых элементов (различных или тождественных) множества N»[131]. Или более точно: «В самом общем смысле (однозначная) функция… это соответствие, в силу которого каждому элементу x некоторого множества X отвечает единственный элемент y некоторого множества Y»[132]. Если понимать соответствие так, как мы условились выше его понимать, и считать, что в приведённой только что формулировке X и Y служат областью отправления и областью прибытия соответствия, то станет очевидным, что эта формулировка выделяет функцию – среди прочих соответствий – посредством следующего требования: каждому элементу области отправления должен соответствовать ровно один элемент области прибытия. Именно такое определение функции – как соответствия (понимаемого как тройка множеств), при котором каждому элементу области отправления соответствует ровно один элемент области прибытия – принято в «Началах математики» Н. Бурбаки[133].

Можно теперь сделать шаг в сторону обобщения, потребовав меньшего, а именно потребовав, чтобы в случае функции каждому элементу области отправления соответствовало не более одного элемента области прибытия. Так, если рассматривать функции действительного переменного, т. е. функции, у которых область отправления и область прибытия совпадают каждая с множеством действительных чисел:

1. Функция y = x² каждому действительному числу a ставит в соответствие ровно одно действительное число a₂;

2. Функция y = √x каждому неотрицательному действительному числу a ставит в соответствие ровно одно действительное число √a, а любому отрицательному действительному числу ничего не ставит в соответствие.

По твёрдому убеждению автора этих строк, именно такие соответствия, в которых каждому элементу области отправления либо соответствует ровно один элемент области прибытия, либо не соответствует ничего, и должны именоваться функциями. Те из функций, у которых каждому элементу области отправления непременно что-то соответствует, надлежит, как это и принято, называть всюду определёнными, или тотальными.

В приведённых выше примерах соответствий лишь пример 3 даёт функцию (если считать, что у каждого нелысого человека вполне определённый цвет волос).

Отношение

Последним из начальных понятий нашего списка является понятие отношения. Начнём с примеров. Говорят об отношении родства среди людей, об отношении 'меньше' среди чисел, об отношении старшинства среди военнослужащих, об отношении синонимии среди слов в лексике, об отношении паразитирования среди животных, об отношении совместимости среди групп крови, об отношении подобия среди геометрических фигур, об отношении согласования и отношении подчинения среди слов в предложении.

Мы видим, что каждый из этих примеров устроен следующим образом: имеется некоторое множество (людей, слов, фигур и т. д.), и для любой пары элементов из этого множества указано, находится ли первый член этой пары в данном отношении ко второму или нет. (Например, для каждой пары военнослужащих указано, является ли первый из них старшим по отношению ко второму. Для каждой пары чисел указано, является ли первое из них меньшим, чем второе.) Причём из рассмотрения не исключаются пары, у которых первый и второй члены совпадают. (Так, для любой пары, составленной из совпадающих чисел, указано, что первый член пары не находится в отношении 'меньше' ко второму. Для любой пары, составленной из совпадающих геометрических фигур, указано, что первый член находится в отношении подобия ко второму.)