Владимир Успенский – Апология математики (сборник статей) (страница 25)

При помощи циркуля выполняют такие операции. Разрешается, установив иглу циркуля в одну уже построенную точку, а стило – в другую уже построенную точку, начертить окружность. И даже более общо: разрешается, установив иглу и стило в две уже построенные точки, не меняя раствора циркуля, перенести иглу в третью уже построенную точку и начертить окружность.

Разрешается находить пересечения уже построенных прямых, лучей, отрезков, окружностей и дуг окружностей (но не всяких дуг, а расположенных между двумя уже построенными точками).

Наконец, разрешается совершать так называемый выбор произвольной точки, т. е. нанести стилом точку в любом месте плоскости, а также в любом месте уже построенной фигуры и использовать эту точку в дальнейших построениях. (Термин «фигура» обозначает здесь отрезок, луч, прямую, окружность, дугу окружности, а также участок плоскости, граница которой составлена из перечисленных только что простейших фигур.)

Только теперь, после описания всех разрешённых операций, обретает точный смысл утверждение о нерешимости той или иной задачи на построение, в частности задачи о квадратуре круга. Отсутствие решения означает здесь отсутствие такой цепочки разрешённых операций, которая приводила бы от круга к квадрату той же площади.

Заметим, что сам перечень разрешённых операций в значительной степени обусловлен историческими причинами и, вообще говоря, мог бы быть другим. Например, можно было бы включить в число разрешённых операций построение касательной, о котором говорилось выше. (Заметим, кстати, что это не дало бы ничего принципиально нового, потому что касательную можно построить, подобрав подходящую цепочку разрешённых операций из старого перечня.) Можно было бы включить в число разрешённых операций вычерчивание эллипса, ведь устройство для его вычерчивания лишь немногим сложнее циркуля. (Достаточно вбить два гвоздя в фокусы будущего эллипса и протянуть между ними нить, длина которой больше расстояния между фокусами. Зацепим нить стилом и натянем. Перемещая стило так, чтобы нить оставалась натянутой, получим эллипс.) Да лёгкость выполнения разрешённой операции не должна нас заботить: строго говоря, мы вправе объявить разрешённой любую операцию по нашему усмотрению. Перечень разрешённых операций, с чисто логической точки зрения, достаточно произволен. Однако, будучи выбран, он уже не меняется. Полезная аналогия – свод юридических актов. С чисто логической, опять же, точки зрения законы произвольно устанавливаются законодателем, но будучи принятыми, они уже не подлежат изменению, хотя бы на определённый период. Во всяком случае так должно быть.

Объясним теперь, почему задачам на построение уделено здесь такое внимание. На их примере мы пытались продемонстрировать некоторые математические представления принципиального характера, представления, которые можно отнести к философии математики, а то и к философии вообще:

1. Задача, или проблема, всегда есть требование что-то найти, указать, построить.

2. Необходимо уточнять, в пределах какого класса объектов мы ищем решение задачи.

Иногда этот класс состоит из объектов довольно простой (честнее было бы сказать – довольно привычной) природы: четвёрок чисел в проблеме Ферма (если ставится задача опровергнуть гипотезу Ферма), отрезков в проблеме соизмеримости (если ставится задача найти общую меру). Но случается, что его составляют довольно-таки специфические объекты вроде цепочек операций в задачах на построение.

3. Уточнять особенно необходимо, если задача нерешима.

4. Представление о разрешённой операции в общем виде шире сферы задач на построение.

Оно существенно и для компьютерной науки (computer science), и для компьютерной практики, а именно для программирования. Каждый компьютер имеет свой набор разрешённых операций, а каждая компьютерная программа есть некоторая цепочка операций, выбранных из этого набора.

Именно в силу философского аспекта задачи на построение должны занимать достойное место в школьном курсе геометрии. Мы не имеем в виду сложных задач, требующих зачастую большой изобретательности, – они должны изучаться в специализированных математических классах. Нет, речь идет о самых простых задачах вроде задачи на построение правильного треугольника или задачи на нахождение середины отрезка.

Пусть отрезок AB (см. рисунок) конгруэнтен исходному отрезку. Устанавливаем иглу в точку А, стило – в точку В и проводим окружность с центром в А. Далее переносим иглу в точку В, стило – в точку А и проводим окружность с центром в В. Полученные окружности пересекутся в двух точках. Одну из них обозначим буквой С. Треугольник АВС окажется равносторонним со сторонами, конгруэнтными исходному отрезку.

Глава 6

Массовые задачи и алгоритмы

В который уже раз подчеркнем, задача – это всегда требование что-то найти, построить, указать. В школе это «что-то» обычно называют ответом, а систему рассуждений, приводящую к ответу, – решением. Во «взрослой» математике ответ чаще всего тоже называют решением. Таким образом, термин «решение» обозначает сразу и действие, и его результат. Ситуация эта отнюдь не уникальна: слово «пение», например, означает и процесс извлечения звуков, и сами звуки. К путанице подобная многозначность, как правило, не приводит. Всё расставляет по местам контекст. Так что договоримся употреблять «взрослую» терминологию.

В замечательной одноактной пьесе «Урок» Эжена Ионеско есть такой диалог, который мы приведём с купюрами.

Учитель. ‹…› Сколько будет, ну, скажем, если три миллиарда семьсот пятьдесят пять миллионов девятьсот девяносто восемь тысяч двести пятьдесят один умножить на пять миллиардов сто шестьдесят два миллиона триста три тысячи пятьсот восемь?

Ученица (отвечает немедленно). Это будет девятнадцать квинтиллионов триста девяносто квадриллионов два триллиона восемьсот сорок четыре миллиарда двести девятнадцать миллионов сто шестьдесят четыре тысячи пятьсот восемь. ‹…›

Учитель (сосчитав в уме, с нарастающим изумлением). Да… Вы правы… ответ действительно… (невнятно бормочет) квадриллионов… триллионов… миллиардов… миллионов… (разборчиво) сто шестьдесят четыре тысячи пятьсот восемь… (Ошеломлённо.) Но каким образом вы это вычислили, если вам недоступны простейшие приемы арифметического мышления?

Ученица. Очень просто. Поскольку я не могу положиться на своё арифметическое мышление, я взяла и выучила наизусть все результаты умножения, какие только возможны[46].

Всех результатов умножения бесконечно много, так что выучить их наизусть нет никакой возможности. Да это и не нужно: Ионеско справедливо утверждает устами Учителя из своей миниатюры, что «математика – заклятый враг зубрёжки». (Кстати, теоретическая невозможность выучить все результаты получила в приведённом диалоге и экспериментальное подтверждение. Дело в том, что Ученица дала неправильный ответ: правильным ответом является число 19 389 602 947 179 164 508, а ею названо число 19 390 002 844 219 164 508. Не берусь судить, получил ли этот факт должное отражение в ионесковедении[47].)

Но мы ведь умеем умножать. Это потому, что ещё в начальной школе нас учат некоторому общему способу умножения любых целых чисел, а именно умножению столбиком. Любой человек, им овладевший, имеет право заявить, что теперь готов умножить друг на друга любые два натуральных числа – и не потому, что выучил все результаты (что, повторим, невозможно), а именно потому, что указанный способ позволяет найти требуемый результат для любой пары сомножителей.

Пример с умножением даёт представление о массовых задачах. Массовая задача образуется в результате совместного рассмотрения серии однотипных единичных задач. В случае умножения каждая единичная задача состоит в указании пары конкретных чисел (например, тех, которые были названы Ученице Учителем) и требовании найти их произведение. Это произведение является решением предложенной единичной задачи. Массовая же задача состоит здесь в требовании указать некий метод, позволяющий найти произведение для каждой отдельной пары чисел.

Другой простой пример. Требуется решить квадратное уравнение x2 − 13x + 30 = 0. Это единичная задача, и её решением служит пара чисел 3 и 10. А вот изучаемая в средней школе задача решения произвольного квадратного уравнения является массовой, и её решением служит всем известная (по крайней мере она должна быть всем известна) формула, дающая решение для любого конкретного квадратного уравнения.

Остановим свой взгляд на какой-нибудь массовой задаче и посмотрим, чем различаются составляющие её единичные задачи. Мы видим, что они различаются своими исходными данными. Для каждой единичной задачи умножения исходным данным служит конкретная пара чисел. А для каждой единичной задачи на решение квадратного уравнения исходное данное – это конкретное квадратное уравнение. Решением же массовой задачи является общий метод, дающий решение для каждой из составляющих её единичных задач. Если предложенный общий метод состоит в последовательности строго детерминированных операций, ведущих от исходных данных к результату, он называется конструктивным, или эффективным, или алгоритмическим, или, ещё короче, алгоритмом. Таким образом, можно говорить об алгоритме сложения столбиком, об алгоритме умножения столбиком, об алгоритме решения квадратных уравнений и т. п. Алгоритмы играют в математике – да и во всей нашей жизни – большую роль, особенно в связи с развитием компьютерной технологии.