Владимир Успенский – Апология математики (сборник статей) (страница 101)
Наша гипотетическая реформа числового ряда должна, конечно, сопровождаться соответствующей реформой числовой прямой; как уже упоминалось, реформированный натуральный ряд в своих удалённых областях как бы станет походить на (реформированную) числовую прямую. И эта «реформированная» числовая прямая должна отличаться от обычной тоже некоторой размытостью своих элементов: сколь угодно точные рациональные приближения вещественных чисел возможны именно потому, что мы пользуемся обычным натуральным рядом, элементы которого определены абсолютно точно, сколь далеко мы ни зашли бы. Но если при удалении по натуральному ряду возникает возрастающая размытость его элементов, она передаётся и дробям с большими знаменателями, и мы доходим до оптимальной возможной точности в оценке (реформированных) вещественных чисел, может быть, раньше, чем знаменатель успеет «устремиться к бесконечности».
Если здесь снова вспомнить о физике, то нам придётся как бы повторить сказанное ранее, но под другим углом зрения. Вещественное число имеет в физике смысл результата измерения. Разумеется, любое измерение производится лишь с какой-то степенью точности, и та «идеальная точность», которую предлагает математика в понятии вещественного числа, физику не требуется. Однако до сих пор не существует иного способа создания физических теорий с математическим аппаратом. Что это – неизбежное, роковое обстоятельство или «просто» результат несуществования математической теории, о которой здесь идёт речь и в которой идея «приближённости» будет заложена органически; в которой «точное» будет в то же время означать в каком-то смысле «оптимально приближённое»?
Если бы такая теория стала реальностью, то можно было бы думать о новой трактовке дуализма «волна – частица» в квантовой механике и даже мечтать об автоматическом исчезновении расходимостей релятивистской квантовой механики, после того как точки пространства-времени утратят свою резкую определённость и приобретут чуть-чуть размытый вид.
Не следует ожидать, что наша гипотетическая теория, если ей когда-нибудь суждено появиться на свет, будет единственной; наоборот, она должна будет зависеть от каких-то «параметров» (по своей роли отдалённо напоминающих радиус пространства Лобачевского, когда мы отказываемся от евклидовой геометрии в пользу геометрии неевклидовой). Можно ожидать, что в предельном случае гипотетическая теория должна будет совпадать с существующей.
Построение подобной теории (если вообще верить в его возможность) будет очень трудным, но не совсем в том смысле, как бывают трудны математические проблемы типа «доказать или опровергнуть данное утверждение». Видимо, сама её логическая структура должна сильно отклоняться от общепринятых схем. Для примера: в обычной математической теории считается, что любой объект, участвуя в конструкции другого объекта, сам от этого не меняется и тем более не исчезает. Так, сопоставляя числам
Возможен и другой вариант сказанного. Обычную точку зрения можно трактовать так: любой объект существует в неограниченном количестве абсолютно одинаковых копий, и, когда одна из них «истрачена» на конструкцию другого объекта, остаётся сколько угодно других. Возможно, в нашей гипотетической теории придётся отказаться от абсолютной одинаковости «копии» и принять, что они «изготовляются» в пределах некоторых «допусков». Кстати, это хорошо соответствует идее «размытости» объектов теории, о чём говорилось ранее.
Заканчивая эту заметку, я понимаю, конечно, что ничего не доказал, да и не пытался что-либо доказать. Я хотел только привлечь внимание к проблематике, которую смог обрисовать – это также нужно признать – лишь весьма туманно. Но обрисовать её более ясно – это уже означало бы продвинуться и в её решении.
Мне неизвестны какие-либо печатные материалы по затронутой теме, но в устной передаче я слышал, что о ней думали; по-видимому, в чём-то родственные соображения относительно натурального ряда высказывал в своё время Н. Н Лузин.
Сведения о предыдущих публикациях статей
Все статьи сборника были в своё время опубликованы. Шесть из них – в книге: Успенский В. А. Труды по нематематике: В 2 т. Т. 1. – М.: ОГИ, 2002. – 580 с. Ниже при ссылках сокращённо обозначается так: [ТпН-1].
Для данного издания все статьи – за исключением, разумеется, не принадлежащих автору и включённых в качестве приложений I и II – перерабатывались, причём в отдельных случаях довольно существенно. Таким образом, указанные ниже предыдущие варианты могут значительно отличаться от публикуемых в этом сборнике.
1. Из предисловия к сборнику переводов «Математика в современном мире»
а. Математика в современном мире / Пер. с англ. Н. Г. Рычковой. – М.: Мир, 1967. – С. 5–11.
б. [ТпН-1]. С. 266–273.
2. Математическое и гуманитарное: преодоление барьера
а. Знамя. 2007. № 12. С. 165–173.
б. Успенский В. А. Предисловие к математике. – СПб.: ООО «Торгово-издательский дом "Амфора"», 2015. – С. 5–51.
3. Апология математики, или О математике как части духовной культуры
а. Новый мир. 2007. № 11. С. 127–149; № 12. С. 123–149. (Приложение к главе 3 публиковалось в качестве отдельной статьи в продолжающемся издании: Историко-математические исследования. Вторая серия. Вып. XIII. – М.: Янус-К, 2009. – С. 273–283.)
б. Успенский В. А. Предисловие к математике. – СПб.: ООО «Торгово-издательский дом "Амфора"», 2015. – С. 52–285.
4. О понятиях 'множество', 'кортеж', 'соответствие', 'функция', 'отношение'
а. Шиханович Ю. А. Введение в современную математику. – М.: Физматлит, 1965. – С. 12–24.
б. [ТпН-1]. С. 163–173.
в. Шиханович Ю. А. Введение в математику. – М.: Научный мир, 2005. – С. 16–27.
г. Успенский В. А. Предисловие к математике. – СПб.: ООО «Торгово-издательский дом "Амфора"», 2015. – С. 286–299.
5. Из книги «Что такое аксиоматический метод?»[183]
а. [ТпН-1]. С. 27–41.
б. Успенский В. А. Предисловие к математике. – СПб.: ООО «Торгово-издательский дом "Амфора"», 2015. – С. 300–322.
6. Простейшие примеры математических доказательств
а. Успенский В. А. Простейшие примеры математических доказательств. – М.: Изд-во МЦНМО, 2009. (Библиотека «Математическое просвещение». Вып. 34.)
б. Успенский В. А. Предисловие к математике. – СПб.: ООО «Торгово-издательский дом «Амфора»», 2015. С. 323–398.
7. Семь размышлений на темы философии математики
а. Закономерности развития современной математики. Методологические аспекты / Отв. ред. М. И. Панов. – М.: Наука, 1987. – С. 106–155.
б. [ТпН-1].С. 63–110.
в. Успенский В. А. Предисловие к математике. – СПб.: ООО «Торгово-издательский дом "Амфора"», 2015. С. 399–470.
8. Опыт применения математики к филологии: анализ фрагментов текстов Гоголя и Достоевского (под названием «К проблеме линейности языка: по поводу одного недоумения князя Л. Н. Мышкина»)
а. Вопросы филологии. 1999. № 3. С. 34–42.
б. [ТпН-1]. С. 562–576.
9. Колмогоров [Статья для философской энциклопедии]
а. Новая философская энциклопедия: В 4 т. Т. 2. – М.: Мысль, 2001. – С. 272–274.
б. [ТпН-1]. С. 21–26.
10. Приложение I. А. Н. Колмогоров. Современные споры о природе математики
а. Научное слово. 1929. № 6. С. 41–54.
б. Проблемы передачи информации. 2006. Т. 42. Вып. 4. С. 146–158. [С комментариями В. А. Успенского, но без комментариев редакции «Научного слова».]
в. Колмогоров А. Н. Избранные труды: В 6 т. Т. 4: Математика и математики. Кн. 1: О математике / Отв. ред. и сост. А. Н. Ширяев. Подготовка текста Т. Б. Толозова, Н. Г. Xимченко. – М.: Наука, 2007. – С. 259–271. [С комментариями редакции «Научного слова», но без комментариев В. А. Успенского.]
11. Приложение II. П. К. Рашевский. О догмате натурального ряда
Успехи математических наук. 1973. Т. 28. Вып. 4 (172). С. 243–246.
12. Математика языка
а. B. H. Partee, A. ter Meulen, R. E. Wall. Mathematical Methods in Linguistics. – Dordrecht; Boston; London: Kluwer Academic Publishers, 1990. – 663 p. (Studies in Linguistics and Philosophy. Vol. 30.)
б. Математическая составляющая / Ред. – сост. Н. Н. Андреев, С. П. Коновалов, Н. М. Панюнин. – М.: Фонд «Математические этюды», 2015. – С. 98–103.
13. О «Лингвистических задачах» А. А. Зализняка
Предисловие / Зализняк А. А. Лингвистические задачи / С предисловием В. А. Успенского. – 2-е изд. – М.: МЦНМО, 2013. – С. 1–5.