Владимир Успенский – Апология математики (сборник статей) (страница 100)

В начале 1972 г. Пётр Константинович обратился ко мне с просьбой критически посмотреть короткий текст на тему оснований математики, который он собирался опубликовать. Продолжая видеть в нём своего профессора, я был польщён. Текст поразил меня глубиной и оригинальностью мысли. Вскоре он был опубликован в журнале «Успехи математических наук» (1973. Т. 28. Вып. 4 (172). С. 243–246) под заголовком «О догмате натурального ряда».

В качестве эпиграфа к своей статье Рашевский взял знаменитую фразу Леопольда Кронекера, которая перекидывает мост между публикуемым выше в данном сборнике очерком «Апология математики», где эта фраза комментируется, и помещаемой ниже статьёй П. К. Рашевского.

Целые числа создал Господь Бог, остальное – дело рук человеческих.

Конечно, никто в настоящее время не воспринимает слова Л. Кронекера в буквальном смысле, да вряд ли понимал их буквально и он сам. Но если прочесть их в надлежащей транскрипции, то они, пожалуй, выражают в некотором смысле господствующее умонастроение математиков до нашего времени включительно.

Этим я хочу сказать, что натуральный ряд и сейчас является единственной математической идеализацией процессов реального счета[182]. Это монопольное положение осеняет его ореолом некой истины в последней инстанции, абсолютной, единственно возможной, обращение к которой неизбежно во всех случаях, когда математик работает с пересчётом своих объектов. Более того, так как физик использует лишь тот аппарат, который предлагает ему математика, то абсолютная власть натурального ряда распространяется и на физику и – через посредство числовой прямой – предопределяет в значительной степени возможности физических теорий.

Быть может, положение с натуральным рядом в настоящее время имеет смысл сравнить с положением евклидовой геометрии в XVIII в., когда она была единственной геометрической теорией, а потому считалась некой абсолютной истиной, одинаково обязательной и для математиков, и для физиков. Считалось само собой понятным, что физическое пространство должно идеально точно подчиняться евклидовой геометрии (а чему же ещё?). Подобно этому мы считаем сейчас, что пересчёт как угодно больших материальных совокупностей, измерение как угодно больших расстояний в физическом пространстве и т. п. должны подчиняться существующим схемам натурального ряда и числовой прямой (а чему же ещё?).

Разница лишь в том, что на первый вопрос в скобках дало ответ развитие науки в XIX–XX вв. (неевклидова геометрия, а позже теория относительности), а на второй, как мне кажется, ответ предстоит ещё дать.

Я хорошо понимаю, что те соображения на эту тему, которые меня давно занимают, ориентировочны и бездоказательны, но всё же в порядке постановки вопроса решаюсь их высказать.

Процесс реального счёта физических предметов в достаточно простых случаях доводится до конца, приводит к однозначно определённому итогу (число присутствующих в зале, например). Именно эту ситуацию берёт за основу теория натурального ряда и в идеализированном виде распространяет её «до бесконечности». Грубо говоря, совокупности большие предполагаются в каком-то смысле столь же доступными пересчёту, как и малые, и со столь же однозначным итогом, хотя бы реально этот пересчёт и был неосуществим. В этом смысле наше представление о натуральном ряде похоже на зрительное восприятие панорамы, скажем панорамы какого-либо исторического сражения. На первом плане на реальной земле расположены реальные предметы: разбитые пушки, расщеплённые деревья и т. п.; затем всё это незаметно переходит в раскрашенный холст с точным расчётом на обман даже очень внимательного глаза.

В рамках математической теории подобная идеализация процесса счёта, разумеется, вполне законна. Но ввиду единственности теории эта точка зрения автоматически навязывается и физике; однако здесь вопрос поворачивается по-другому. В самом деле, пусть мы хотим узнать, сколько молекул газа заключено в данном сосуде. Должны ли мы искать ответ в виде совершенно точно определённого целого числа? Оставим в стороне вопрос о ненужности такой «точности» для физики, не будем останавливаться и на фактической трудности задачи. Гораздо более важной для нас является её принципиальная неосуществимость: молекулы газа взаимодействуют со стенками сосуда, испытывают различные превращения и т. п., а потому наша задача просто не имеет определённого смысла. Физик вполне удовлетворяется – в этом и в аналогичных случаях – достаточно хорошим приближённым ответом. Из этого примитивного примера можно усмотреть некоторый намёк. А именно: можно думать, что математик предлагает физику не совсем то, что тому нужно. Духу физики более соответствовала бы математическая теория целого числа, в которой числа, когда они становятся очень большими, приобретали бы в каком-то смысле «размытый вид», а не являлись строго определёнными членами натурального ряда, как мы это себе представляем. Существующая теория, так сказать, переуточнена: добавление единицы меняет число – а что меняет для физика добавление одной молекулы в сосуд с газом? Если мы согласимся принять эти соображения хотя бы за отдалённый намёк на возможность математической теории нового типа, то в ней прежде всего пришлось бы отказаться от идеи, что любой член натурального ряда получается последовательным насчитыванием единиц – идеи, которая буквально, конечно, не формулируется в существующей теории, но косвенно провоцируется принципом математической индукции. Вероятно, для «очень больших» чисел присчитывание единицы вообще не должно их менять (возражение, что, присчитывая единицы, можно «присчитать» и любое число, не котируется в силу только что сказанного выше).

Разумеется, числа этой гипотетической теории были бы объектами другой природы, чем числа натурального ряда. Можно предполагать, что почти совпадение имело бы место лишь для начальных отрезков существующего и гипотетического натуральных рядов, а по мере удаления по ним различие их структуры должно возрастать; в гипотетическом натуральном ряде началось бы нечто вроде «принципиального сбивания со счёта», и он (ряд), всё более «размываясь», приобретал бы в каком-то смысле черты непрерывной структуры числовой прямой. Можно догадываться даже, что математическая индукция при этом приняла бы своеобразные черты – промежуточные между индукцией обычной и, например, интегрированием дифференциального уравнения у' = f(x, у) (здесь как бы вместо перехода п → п + 1 мы применяем переход х → х + dх).

Быть может, имеет смысл сделать такое замечание. В современных космологических теориях само собой разумеется, что сколь угодно большие космические протяжённости должны описываться на основе существующих математических представлений о натуральном ряде и числовой прямой. Но так ли это очевидно? Вспомним, что ещё в 1900-х гг. физики обсуждали вопрос о геометрической форме электрона. Считалось вполне осмысленным предположение, что электрон по своей геометрии не отличается от бильярдного шарика очень малого размера. Другими словами, считалось, что наши геометрические представления полностью применимы к обьектам микромира; только последующее появление и развитие квантовой механики показало абсурдность этой «очевидной» точки зрения.

Не следует ли ожидать, что в области очень больших протяжённостей нас ещё ждут сюрпризы, подобные встретившимся в области протяжённостей очень малых (но, конечно, сюрпризы совсем другого стиля). И не исключено, что описание ситуации потребует существенно иных конструкций в самом математическом фундаменте, т. е. наших представлениях об очень больших числах.

Впрочем, возможно, что нам даже не придётся углубляться в космос для проверки того, насколько очень большие материальные совокупности на самом деле подчиняются счёту на основе теории натурального числа. Возможно, что какое-нибудь из следующих поколений ЭВМ достигнет столь гигантских возможностей в смысле количества производимых операций, что соответствующие эксперименты станут реальными.

Ещё одно замечание в сторону. Знаменитые отрицательные результаты Гёделя 1930-х гг. в своём фундаменте исходят из убеждения: сколько бы ни продолжать построение метаматематических формул для данной (полностью формализованной) математической теории, принципы пересчёта и упорядочения формул остаются обычными, т. е. подчинёнными схеме натурального ряда. Разумеется, это убеждение даже не оговаривалось, настолько оно считалось очевидным.

Между тем построение метаматематических формул – это реальный физический процесс, производимый человеком или, как стало возможно в последнее время, машиной.

Если мы откажемся от догмата, что натуральный ряд идеально приспособлен для описания любых сколь угодно больших материальных совокупностей, то становятся сомнительными и результаты Гёделя; точнее, их придётся рассматривать, возможно, как утверждения, относящиеся не к реальному развитию данной формализованной математической теории, а к условному, идеализированному её развитию, когда при пересчёте формул, сколь много бы их ни было, и при описании их структуры, сколь громоздка ни была бы она, мы считаем законным применять схему натурального ряда. На это дополнительное условие, в сущности, и опирается тонкая игра Гёделя с двойным, математическим и метаматематическим, толкованием некоторых сконструированных им соотношений. Не успокаивает и финитность конструкций Гёделя: при полной расшифровке сокращений (что в данном контексте является принципиальным) его конструкции становятся чрезвычайно сложными, явно не выписываются, и сомнения, высказанные раньше насчёт поведения «очень больших» совокупностей, напрашиваются и здесь.