Владимир Хаустов – Основы геометрической волновой инженерии: теория псевдопараболоидов 2-го порядка. Монография (страница 5)

Особый интерес представляет геометрия экваториальной кромки. Из записи |Z| = R − √(4fρ) видно, что в окрестности максимального радиуса ρ = a поверхность снова переходит в клиновой режим. Но в отличие от вертикального случая корневая особенность не сидит в центре фигуры, а вынесена на периферию и воспринимается как острое кольцевое лезвие. Именно поэтому горизонтальная топология обычно оказывается более естественным кандидатом на широкий захват при объёмном возбуждении: активная зона имеет не точечную и не двуполюсную, а окружную меру. Этот геометрический факт сам по себе ещё не доказывает лучевое или волновое преимущество, но создаёт мощную геометрическую предпосылку, которая затем подтверждается в Monte Carlo-калибровке.

Если сопоставить габариты горизонтальной формы, то её высота равна H_h = 2R, а максимальный диаметр D_h = 2a = R^2/(2f). Следовательно, при малом K = f/R горизонтальный псевдопараболоид не удлиняется по оси, а разрастается в радиальном направлении. В результате одна и та же пара параметров (f, R) порождает две формы с противоположной логикой аспектного отношения: вертикальная топология делает акцент на длине, горизонтальная - на ширине. Это замечание важно не только для геометрического воображения, но и для дальнейшего выбора численных сеток, внешних областей PML и диапазонов апертурного параметра. В практической постановке горизонтальная форма может требовать значительно более широкого вычислительного окна именно из-за роста радиуса a.

С методологической точки зрения горизонтальная топология играет в монографии ещё одну важную роль. Именно на ней наиболее естественно формулируются последующие вопросы об экваториальной кольцевой щели, модах с азимутальным номером m и возможности осевого вывода при доминировании m = 0. Следовательно, строгая запись горизонтального канонического уравнения - это не локальный геометрический результат, а необходимый фундамент для всего Maxwell-блока. Если горизонтальная поверхность задана неточно, то теряют определённость и радиус щели ρ_s, и параметр kρ_s, и сама логика перехода от геометрии к направленности. Поэтому в данной редакции уравнение ρ(Z) = (R − |Z|)^2/(4f) закрепляется как базовая форма, к которой далее должны быть приведены все численные модели и все аналитические оценки открытого режима.

Рисунок 3. Горизонтальный псевдопараболоид: каноническое 2D-сечение, в котором главный геометрический излом вынесен на экваториальное кольцо.

2.4. Универсальные нормированные профили и безразмерное единство семейства

Одним из наиболее сильных результатов всей главы является не просто вывод уравнений двух топологий, а доказательство того, что после естественной нормировки обе поверхности переходят в универсальные безразмерные профили. Именно этот шаг переводит обсуждение из языка отдельных геометрических примеров в язык целого масштабируемого семейства. Для вертикальной формы вводятся переменные x* = X/a и r* = ρ/R. Подстановка канонического уравнения ρ(X) = R − √(4f|X|) с учётом a = R^2/(4f) даёт r*(x*) = 1 − √|x*|, |x*| ≤ 1. Для горизонтальной формы при z* = Z/R и s* = ρ/a получаем s*(z*) = (1 − |z*|)^2, |z*| ≤ 1. Эти два профиля уже не содержат ни абсолютного масштаба, ни частных значений f и R: они выражают чистую внутреннюю форму двух топологий.

Следствие этого факта состоит в том, что параметры f и R играют двойную роль. С одной стороны, они задают конкретную физическую реализацию объекта: реальные размеры, ширину экватора, длину камеры, радиус будущей апертуры и так далее. С другой стороны, после нормировки их влияние концентрируется в одном-единственном безразмерном числе K = f/R, или, эквивалентно, в аспектном отношении a/R = 1/(4K). Именно поэтому псевдопараболоиды второго порядка нельзя рассматривать как набор независимых фигур. Это одно геометрическое семейство, в котором разные масштабные реализации имеют одинаковый нормированный чертёж и различаются тем, насколько этот чертёж растянут по продольной или поперечной координате. Такое устройство семейства чрезвычайно важно для строгого содержания критерия C6, но его аналитическое основание закладывается именно здесь, в главе 2.

Важно подчеркнуть, что универсальность нормированного профиля не означает тождества физического поведения для любых размеров и любых частот. Она означает лишь то, что геометрия подобия формулируется строго и однозначно: если одновременно масштабировать все линейные размеры и длину волны по правилу (R, f, a, λ, Δ) → (sR, sf, sa, sλ, sΔ), то безразмерные комбинации K, χ = Δ/λ, q = a/λ и ka = 2πa/λ сохраняют свою структуру. Следовательно, вопрос об универсальности переносится из пространства абсолютных размеров в пространство безразмерных критериев. Это и есть научно корректный смысл геометрической масштабируемости. Без такого перехода любые заявления об «одной форме для всех волн» превращались бы в физически некорректную риторику.

Нормированные профили также выполняют ещё одну важную функцию: они являются лучшим инструментом проверки внутренней согласованности текста, кода и иллюстраций. Если вертикальная форма действительно задаётся корневой геометрией, то её безразмерный профиль обязан иметь вид 1 − √|x*|, а не 1 − |x*|. Именно на этом уровне проще всего обнаруживаются скрытые подмены формул. В данной редакции главы этот тест согласованности используется осознанно: окончательно принимаются только те записи, которые одновременно совместимы с исходной образующей, с каноническими уравнениями поверхностей и с Python-кодом построения. Тем самым нормированные профили выступают не только способом визуализации, но и строгим инструментом внутренней верификации геометрии.

Для дальнейшей монографии это имеет прямые последствия. Все будущие карты удержания η(K), все вычисления щелей вывода и все карты робастности ε* должны строиться уже не на случайных наборах размеров, а на координатах безразмерного пространства параметров. Именно поэтому глава 2 должна завершаться не простым сравнением форм, а переходом к языку параметрического семейства. На этом языке вертикальная и горизонтальная топологии оказываются разными ветвями одного и того же конструктивного принципа: одна и та же составная параболическая образующая, один и тот же параметр смещения R, один и тот же предел a = R^2/(4f), но два различных закона распределения геометрической ёмкости и два разных типа активной зоны.

Рисунок 4. Нормированные профили вертикальной и горизонтальной топологий.

2.5. Согласование формул и сравнительная интерпретация

После того как обе топологии выписаны в каноническом виде, необходимо явно зафиксировать правила. Они формулируются следующим образом. Первое: исходная образующая в плоскости построения задаётся формулой y(x) = √(4f|x|). Второе: вертикальная внутренняя поверхность описывается уравнением ρ(X) = R − √(4f|X|). Третье: горизонтальная поверхность описывается уравнением ρ(Z) = (R − |Z|)^2/(4f). Четвёртое: нормированные профили имеют вид r*(x*) = 1 − √|x*| и s*(z*) = (1 − |z*|)^2. Пятое: все Python-процедуры построения, sampling и трассировки должны использовать именно эти выражения. Эти пять правил образуют минимальный стандарт геометрической чистоты для всей монографии. Здесь на первый план выходят различия между двумя топологиями псевдопараболоидов. Вертикальная форма вращается вдоль линии фокусов, имеет экваториальный радиус R и длину 2a = R^2/(2f). Горизонтальная форма вращается поперёк линии фокусов, имеет экваториальный радиус a = R^2/(4f) и высоту 2R. Из этих данных прямо видно, что один и тот же параметр K = f/R по-разному перераспределяет геометрию: уменьшение K удлиняет вертикальную полость и одновременно расширяет горизонтальную.

Вертикальная топология, имея два полюса и центральную корневую особенность, естественно ведёт к постановке о полярных конусах, двуполюсной локализации и полярном выводе. Горизонтальная, напротив, ведёт к постановке об экваториальном кольце, кольцевой щели, азимутальном числе m и условии доминирования m = 0. Иными словами, уже в пределах чистой геометрии становится ясно, что дальнейшие C2, C4 и C5 не могут быть полностью одинаковыми для обеих топологий.

Таким образом критерий C1 для псевдопараболоидов второго порядка считается выполненным только в том случае, если объект задан как семейство двух топологий, построенных из одной составной параболической образующей при смещённом вращении, если предел a выведен из условия моделирования, если канонические уравнения поверхностей записаны в согласованном корневом виде, если нормированные профили являются универсальными, а все численные и графические реализации подчинены этим же формулам. Глава 2 становится геометрическим ядром монографии. Она не просто даёт определения, а фиксирует тот единственный язык, на котором вся последующая физика псевдопараболоидов должна быть поставлена, проверена и, при необходимости, опровергнута.

Таблица 2. Сравнительные характеристики вертикального и горизонтального псевдопараболоидов (номер таблицы сохранён в соответствии с исходной монографией).

2.6. Выводы по главе

Каноническая геометрия псевдопараболоидов зафиксирована в виде единого непротиворечивого конструктивного аппарата. Это означает, что в последующих главах можно без двусмысленности строить локальную асимптотику, вычислять объёмы, запускать Monte Carlo, формулировать апертурные задачи и переходить к полноволновым моделям.