Владимир Хаустов – Основы геометрической волновой инженерии: теория псевдопараболоидов 2-го порядка. Монография (страница 4)

Второй принципиальный элемент построения - это выбор оси вращения, не совпадающей с самой линией фокусов, а смещённой относительно неё на величину R > 0. Именно это смещение создаёт новый класс поверхностей. Если бы вращение осуществлялось вокруг исходной оси параболической ветви, получился бы один из стандартных параболоидных объектов классической геометрии. В псевдопараболоиде же вращение происходит вокруг прямой, параллельной оси исходной образующей, но поднятой или ориентированной так, чтобы расстояние от профиля до оси было переменной величиной. В Python-построениях это записано прямо: локальный радиус вращения равен r(x) = R − y(x), то есть разности между фиксированным смещением оси и высотой исходной образующей. Тем самым объект определяется не одной кривой и не одним радиусом, а парой взаимосвязанных геометрических правил: формой исходной ветви и правилом смещённого вращения. Эта пара и образует строгую основу критерия C1 для рассматриваемого семейства.

Из условия моделирования следует естественная граница допустимых значений продольной координаты. Поскольку локальный радиус вращения не может быть отрицательным, необходимо требовать y(x) ≤ R. Подстановка y(x) = √(4 f |x|) даёт |x| ≤ a, где a = R^2/(4f). Параметр a не вводится извне, а выводится непосредственно из геометрии как точка, в которой ветвь впервые касается смещённой оси вращения. Следовательно, a имеет строгий смысл предела геометрии: в вертикальной топологии это полудлина камеры до полярного моделирования, а в горизонтальной топологии - экваториальный радиус готовой фигуры. Это обстоятельство особенно важно для всей монографии, поскольку a затем входит и в нормировки, и в апертурные формулы, и в безразмерные волновые параметры q = a/λ и ka = 2πa/λ.

Именно на этой стадии необходимо устранить одну из главных причин путаницы в прежних редакциях. В плоскости построения используются координаты исходной образующей, где переменная y означает расстояние от линии фокусов до профиля. После вращения основной физически значимой величиной становится уже не сама y, а внутренний радиус поверхности относительно оси симметрии готового тела, который в разных топологиях обозначается через ρ. Эти величины связаны, но не совпадают по смыслу. В вертикальном случае ρ(X) = R − √(4f|X|), а в горизонтальном случае ρ(Z) = (R − |Z|)^2/(4f). Если не различать координату образующей и цилиндрический радиус готовой поверхности, то легко получить ложное ощущение противоречия между формулами, графиками и кодом. Проводится граница между этапом построения профиля и этапом описания уже сформированной поверхности.

Научное значение такого подхода состоит в том, что геометрия псевдопараболоида перестаёт быть наглядной эвристикой и приобретает статус воспроизводимого алгоритма. Имея только два положительных параметра f и R, исследователь может однозначно восстановить исходную образующую, определить предел a, построить тело вращения, получить его нормированные профили и далее перейти к лучевой или волновой задаче. Другими словами, объект задаётся конструктивно, а не описательно. Это особенно важно для дальнейшей полноволновой верификации: Maxwell-, Helmholtz- и Schrödinger-постановки должны быть поставлены на одной и той же геометрии, а не на разных вариантах интерпретации текста. В этом смысле уже сама данная глава выполняет не только объяснительную, но и стандартизирующую функцию для всей монографии.

Рисунок 1. Пример построения псевдопараболоида второго порядка через составную параболическую образующую и смещённую ось вращения.

2.2. Вертикальный псевдопараболоид: каноническое уравнение, геометрический смысл и корректная интерпретация

Для вертикальной топологии естественно выбрать продольную ось X, совпадающую с направлением, вдоль которого исходная образующая протягивается между двумя будущими полюсами. Поперечное расстояние от этой оси до внутренней поверхности обозначается через ρ = √(Y^2 + Z^2). При таком выборе координат каноническое уравнение внутренней поверхности принимает вид ρ(X) = R − √(4f|X|), |X| ≤ a, a = R^2/(4f). Это уравнение полностью согласовано с нашими Python-моделями, где радиус вращения вычисляется как r(x) = R − y(x) при y(x) = √(4f|x|). Тем самым вертикальный псевдопараболоид определяется как осесимметричная поверхность вращения корневого профиля вокруг продольной оси. В геометрическом отношении это вытянутая капсульная или трубчатая полость, у которой максимальный радиус достигается в центре, а в крайних точках X = ±a поверхность замыкается в два полюса.

Отдельного внимания требует экваториальная область X = 0. Подстановка X = 0 в каноническое уравнение даёт ρ(0) = R, то есть именно в центре вертикальная фигура обладает наибольшим поперечным размером. Однако это не обычный гладкий экватор эллипсоида или цилиндра. Поскольку профиль содержит корневую зависимость от |X|, производная dρ/dX по модулю ведёт себя как 1/√|X| и стремится к бесконечности при приближении к центру. Следовательно, экватор вертикального псевдопараболоида - это не просто точка максимального радиуса, а корневая геометрическая особенность, от которой в дальнейшем зависит механизм резкой переориентации лучей и мод. Именно поэтому данную поверхность нельзя заменять линейным приближением на всём интервале: линейная замена уничтожила бы ключевой локальный признак активной зоны.

Вторая характерная область - полюса X = ±a. Здесь радиус ρ обращается в нуль, и поверхность замыкается в две конечные точки. В отличие от экваториальной особенности, вблизи полюса вертикальная форма допускает линейную асимптотику, из которой затем выводится локальный клин. Поэтому вертикальная топология сочетает в себе два разных геометрических режима: нелинейную корневую структуру в центре и линейно-клиновое замыкание на концах. Такое сочетание делает её существенно отличной от классических тел вращения второго порядка, где обычно доминирует либо гладкая квадратичная кривизна, либо стандартная коническая окрестность. С точки зрения дальнейшей физики это означает, что вертикальный псевдопараболоид является двуполюсной ловушкой, у которой центральная область управляет перестройкой траекторий, а полярные области - локальным режимом удержания и, в открытой постановке, возможным выводом.

В научной редактуре особенно важно устранить подмену, появившуюся в одной из поздних версий текста, где вертикальное уравнение было записано линейно, как ρ(X) = R − |X|/(4f). Такая формула несовместима ни с исходной образующей y(x) = √(4f|x|), ни с Python-функцией F_vertical, ни с нормированным профилем r*(x*) = 1 − √|x*|. Линейное уравнение описывало бы совершенно другую геометрию: без корневой особенности в центре, с иной производной, иной локальной асимптотикой и иным физическим содержанием. Поэтому в данной редакции главы фиксируется окончательное каноническое выражение вертикальной формы исключительно в корневом виде. Это не вопрос стилистики, а вопрос научной корректности всей дальнейшей монографии.

Если теперь перейти к интегральному описанию, то вертикальная топология естественно характеризуется длиной L_v = 2a = R^2/(2f) и максимальным диаметром D_v = 2R. Уже из этих двух величин видно, что при уменьшении безразмерного параметра K = f/R фигура становится всё более вытянутой вдоль продольной оси: длина растёт как 1/K, тогда как максимальный диаметр при фиксированном R не изменяется. Поэтому вертикальный псевдопараболоид можно интерпретировать как геометрический резонатор с регулируемой осевой вытянутостью и фиксированным центральным радиусом. Этот вывод особенно важен для сравнения с горизонтальной топологией: обе формы строятся из одного и того же профиля, но распределяют геометрическую «ёмкость» принципиально по-разному.

Рисунок 2. Вертикальный псевдопараболоид: каноническое 2D-сечение и его геометрическая интерпретация.

2.3. Горизонтальный псевдопараболоид: эквивалентные записи уравнения и перенос активной зоны к экватору

Во второй топологии меняется не исходная образующая, а выбор оси вращения. Теперь естественной продольной координатой служит высота Z, а радиальное расстояние до оси симметрии обозначается через ρ = √(X^2 + Y^2). При таком выборе поверхность задаётся эквивалентными соотношениями |Z| = R − √(4fρ) и ρ(Z) = (R − |Z|)^2/(4f), |Z| ≤ R. Эти записи описывают один и тот же объект: первую удобно использовать для анализа локальной асимптотики по радиусу, вторую - для прямого построения поперечных сечений и численного задания геометрии. Именно эта формула используется в нашем Python-коде для горизонтальной топологии, где радиус сечения вычисляется как r(z) = (R − |z|)^2/(4f). Следовательно, горизонтальная поверхность, как и вертикальная, имеет однозначно фиксированное аналитическое выражение.

В отличие от вертикального случая, максимальный радиус горизонтальной фигуры достигается не в полюсах, а на экваторе Z = 0. Подстановка даёт ρ(0) = a = R^2/(4f). Это означает, что геометрический предел a, который в вертикальной топологии выступал полудлиной, здесь становится внешним радиусом экваториального кольца. При Z = ±R, напротив, получаем ρ = 0, то есть верхний и нижний полюса являются точками гладкого осевого моделирования. Таким образом, горизонтальный псевдопараболоид представляет собой линзоподобную или дискообразную фигуру, у которой главная активная область перенесена с оси к периферийному экватору. Уже это одно различие показывает, почему вертикальная и горизонтальная формы не могут рассматриваться как два тривиальных ракурса одного и того же резонатора: они организуют разные аттракторные механизмы.