Терри Пратчетт – Наука плоского мира IV: Судный день (страница 51)

Мы упомянули цилиндр не только потому, что он хорошо известен, но и из-за его двоюродного брата, который играет важную роль и называется плоским тором если что-то и можно назвать оксюмороном, то именно его, потому что тор выглядит как пончик с дыркой, а его кривизна очень приятна на вкус. Тем не менее, его название не лишено смысла. С точки зрения метрики пространство является плоским, не имеет кривизны; однако топологически оно представляет собой тор. Чтобы получить плоский тор, нужно мысленно склеить противоположные стороны квадрата, а квадрат имеет плоскую форму. Это построение аналогично склеиванию противоположных краев экрана в компьютерных играх стоит какому-нибудь монстру или кораблю инопланетян свалиться с одного края, как он тут же снова появляется в той же самой позиции на противоположной стороне. В программировании игр этот метод называется «свертыванием»[78] так это воспринимается на практике, хотя вы и не станете делать этого в прямом смысле, если, конечно, не хотите устроить бардак из разбитых экранов. С точки зрения топологии свертывание вертикальных краев превращает экран в цилиндр. Сворачивая горизонтальные края, мы соединяем два конца цилиндра и получаем тор. Теперь никаких краев нет, и пришельца не смогут сбежать.

Плоский тор это простейший пример более общего метода, применяемого топологами для создания сложных пространств из более простых. Возьмите одну или несколько простых фигур и склейте их, перечислив необходимые правила: куда присоединяется каждая часть. Это напоминает сборно-разборную мебель: целая куча деталей и перечень инструкций типа «вставьте полку A в гнездо B». Однако с точки зрения математики детали и список это все, что вам нужно: нет необходимости собирать мебель на практике. Вместо этого вы просто представляете себе, как бы она себя повела, если бы вы ее собрали.

До изобретения космических полетов мы находились в том же положении, что и муравей, когда дело касалось формы Земли. В отношении формы Вселенной мы находимся в этом положении до сих пор. Но, как и муравей, мы можем вычислить эту форму, сделав нужные наблюдения. Одних лишь наблюдений, тем не менее, недостаточно; нам нужно объяснить их в контексте непротиворечивой теории, касающейся общей природы нашего мира. Если муравей не знает, что он находится на поверхности, формула Гаусса ему мало чем поможет.

В настоящий момент роль такого контекста играет общая теория относительности, объясняющая гравитацию с позиции кривизны пространства-времени. В плоской области пространства-времени частицы движутся по прямой так же, как они бы двигались в ньютоновской физике при отсутствии внешних сил. Если же пространство-время искривлено, частицы движутся вдоль криволинейных траекторий, которые в ньютоновской физике были бы признаком действующий силы такой, как гравитация. Эйнштейн отказался от сил, но оставил искривление. В общей теории относительности массивное тело вроде звезды или планеты искривляет пространство-время; под влиянием этого ускорения а вовсе не из-за воздействия какой-либо внешней силы частицы отклоняются от прямолинейной траектории. Если вы хотите понять гравитацию, говорил Эйнштейн, вам нужно разобраться в геометрии Вселенной.

Когда теория относительности еще только начинала свой путь, специалисты в области космологии открыли подходящую форму Вселенной, которая отвечала требованиям релятивизма гиперсферу. Топологически она похожа на обычную сферу в том смысле, что является лишь поверхностью. У сферы есть два измерения чтобы указать на ней конкретную точку, достаточно двух чисел. Скажем, широты и долготы. У гиперсферы таких измерений три. Математики определяют гиперсферы с помощью геометрии координат. К сожалению, такая фигура не входит в число естественных обитателей привычного нам пространства, поэтому мы не можем сделать ее модель или нарисовать ее на картинке.

Это не просто сплошной шар, то есть сфера вместе со своей внутренностью. У сферы нет границ, а значит, их не должно быть и у гиперсферы. У Плоского Мира, к примеру, граница есть там заканчивается мир, а океаны переливаются через край. Но наш сферический мир устроен иначе у него нет края. Где бы вы ни стояли оглянитесь вокруг и увидите землю или океан. Муравей, путешествующий по своему сферическому миру, никогда не обнаружит то место, где заканчивается Вселенная. То же самое должно быть верно и в отношении гиперсферы. Однако у сплошного шара есть граница его поверхность. Муравей, способный по своему желанию перемещаться внутри шара так же, как мы перемещаемся в космическом пространстве, если на пути не попадается какое-нибудь препятствие столкнется с краем Вселенной, достигнув поверхности на противоположной стороне.

В данном случае нам достаточно знать о гиперсфере лишь то, что она является естественным аналогом сферы, но с одним дополнительным измерением. Чтобы представить более конкретный образ, можно подумать о том, как могла бы выглядеть сфера в воображении муравья, а затем добавить еще одно измерение именно так поступил во Флатландии А. Квадрат. Сфера состоит из двух полусфер, склеенных друг с другом вдоль экватора. Полусферу модно сплющить, превратив в плоский диск, то есть окружность + ее внутренность такая деформация будет непрерывной. Иначе говоря, тополог может представить сферу в виде двух дисков, склеенных по краю наподобие летающей тарелки. В случае трех измерений аналогом диска будет шар. Гиперсферу, таким образом, можно получить путем склеивания двух шаров. Проделать это с круглыми шарами в трехмерном пространстве вы не сможете, зато можно составить математическое правило, которое сопоставит каждой точке на поверхности одного шара соответствующую точку на поверхности другого. Затем мы сделаем вид, что эти точки совпадают почти так же, как мы «склеиваем» края квадрата, чтобы получить плоский тор.

Гиперсфера сыграла важную роль в ранней работе Анри Пуанкаре, одного из основоположников современной топологии. Он трудился приблизительно в конце XIX века и был одним из двух или трех ведущих математиков тех лет. Он едва не опередил Эйнштейна с созданием специальной теории относительности[79]. В начале 1900-х Пуанкаре разработал многие из стандартных инструментов топологии. Он знал, что гиперсферы играют фундаментальную роль в трехмерной топологии, так же, как сферы в двумерной. В частности, у гиперсферы нет дыр, похожих на дыры в бублике, поэтому в определенном смысле она представляет собой простейшее топологическое пространство с тремя измерениями. Пуанкаре предположил без доказательства, что верно и обратное: любое трехмерное топологическое пространство без дыр обязательно окажется гиперсферой.

Однако в 1904 году он обнаружил более сложный объект, додекаэдрическое пространство, которое, несмотря на то, что в нем не было дыр, гиперсферой не являлось. Существование этой конкретной формы свело на нет первоначальное предположение. Эта неожиданная осечка заставила его добавить еще одно условие, которое, как он надеялся, сможет охарактеризовать гиперсферу в полной мере. Двумерная поверхность является сферой тогда и только тогда, когда любую петлю можно расталкивать в стороны вплоть до того момента, когда она целиком не окажется в одном месте. Пуанкаре предположил, что точно такое же свойство характеризует гиперсферу в трех измерениях. Он оказался прав, однако на доказательство этого факта у математиков ушло почти целое столетие. В 2003 году молодой житель России, Григорий Перельман, успешно доказал гипотезу Пуанкаре. За это математик был удостоен приза в миллион долларов, от которого он, как известно, отказался.

Хотя гиперсферическая Вселенная это самый простой и очевидный вариант, она не находит широкого подтверждения с позиции экспериментальных данных. Когда-то самой простой и очевидной формой Земли была плоскость, и только посмотрите, к чему это привело. Так что космологи отказались от неявного допущения о гиперсферической форме Вселенной и стали обдумывать другие варианты. Одна из наиболее известных гипотез в течение недолгого времени привлекала внимание новостных СМИ утверждением о том, что Вселенная имеет форму футбольного мяча. (на заметку американским читателям: это мяч для игры в соккер) Идея полюбилась редакторам, потому что читатели, может быть, и не разбирались в космологии, зато наверняка знали, как выглядит футбольный мяч[80].

Заметьте, это не сфера. Футбольный мяч в тот момент и лишь на короткий срок сменил старую форму, состоявшую из восемнадцати прямоугольных лоскутов, сшитых в некое подобие куба, на более эффектный вид двенадцать пятиугольников и двенадцать шестиугольников, сшитых или склеенных друг с другом в форме усеченного икосаэдра[81]. Это геометрическое тело известно со времен Древней Греции, и нам повезло, что, несмотря на такое название, мы можем говорить о нем, как о футбольном мяче. За одним исключением в общем, на самом деле речь идет вовсе не об усеченном икосаэдре. Это трехмерная гиперповерхность, и к усеченному икосаэдру она имеет лишь отдаленное отношение. Это футбольный мяч из другого измерения.

Точнее, это додекаэдрическое пространство Пуанкаре.

Чтобы получить такое пространство, вначале нужно взять додекаэдр. Это геометрическое тело с двенадцатью гранями в виде правильного пятиугольника; он похож на футбольный мяч без шестиугольников. Затем противоположные грани склеиваются друг с другом с настоящим додекаэдром так не получится. Но с точки зрения математики можно сделать вид, будто различные грани на самом деле совпадают, не сгибая при этом саму фигуру, чтобы соединить их друг с другом, как мы видели на примере плоского тора; топологи, тем не менее, настаивают на термине «склейка».