Терри Пратчетт – Наука плоского мира IV: Судный день (страница 50)
Научные цели Эбботта были достигнуты с помощью метода пространственной аналогии: трехмерное существо, пытающееся осознать четвертое измерение, чувствует примерно то же самое, что и двумерное существо, которое пытается осознать третье. В данном случае мы для удобства имеем в виду вполне конкретное четвертое измерение, но оно вовсе не обязано быть единственным. Впрочем, сама «Флатландия» в свое время была практически уникальной. Помимо нее существовала всего одна история о двумерном мире «Один случай из жизни Флатландии, или как плоский народец открыл третье измерение» за авторством Чарльза Говарда Хинтона. Несмотря на то, что она была опубликована в 1907 году, Хинтон написал несколько статей на тему четвертого измерения и аналогий с двумерным миром незадолго до выхода в свет «Флатландии» Эбботта.
Косвенные факты указывают на то, что эти двое были знакомы, однако ни один не претендовал на первенство и не выражал беспокойства по поводу работ другого. На тот момент идея четвертого измерения едва ли не «витала в воздухе», проявляясь в математических и физических концепциях и привлекая множество людей от охотников за привидениями и спиритуалистов до теологов гиперпространства. Подобно тому, как трехмерные существа могут созерцать плоский лист бумаги, не пересекая его, четвертое измерение служит заманчивым кандидатом на роль местообитания призраков, духовного мира или обители Бога.
В романе Эбботта А. Квадрат упорно отказывается верить в возможность третьего измерения, не говоря уже о реальном существовании такового, пока посетившая их мир Сфера не выталкивает его из плоского мира в трехмерное пространство. Там, где не справились логические рассуждения, помог личный опыт. Эбботт предостерегал своих читателей от чрезмерного влияния поверхностной картины мира, видимой невооруженным взглядом. Не следует полагать, что любой из возможных миров обязательно будет в точности похож на наш или, точнее, на мир, который мы наивно рисуем в своем сознании. С точки зрения классификации Бенфорда мышления, ориентированного на Вселенную или человека, мировоззрение Эбботта было сосредоточено именно на Вселенной.
Пространства, описанные во «Флатландии», подчиняются традиционной евклидовой геометрии с этой темой Эбботт столкнулся в школьные годы, и особой симпатии к ней не питал. Чтобы избавиться от этого ограничения, связанного с формой пространства, нам потребуется более общая модель, автором которой, по-видимому, был выдающийся математик Карл Фридрих Гаусс. Он вывел элегантную математическую формулу, описывающую кривизну поверхности насколько сильно она изогнута вблизи заданной точки. Эту формулу он считал одним из своих величайших открытий и называл theorema egregium, т. е. «замечательной теоремой». Замечательной ее делала одна поразительная особенность формула не зависела от способа вложения поверхности в окружающее пространство. Она отражала внутреннее свойство самой поверхности.
Возможно, этот вывод и не кажется таким уж страшно радикальным, но, тем не менее, дает понять, что пространство может иметь искривленную форму, ничего при этом не огибая. Представьте себе сферу, парящую в пространстве. В вашем воображении она имеет отчетливую кривизну. Такое восприятие кривизны естественно для человеческого воображения, но зависит от наличия окружающего пространства, в котором и будет искривляться сфера. Формула Гаусса разнесла это предположение в пух и прах: она продемонстрировала, что обнаружить кривизну сферы можно, даже не покидая ее поверхность. Окружающее пространство не имеет значения и не является той необходимой составляющей, которая придает изгибам поверхности определенное направление.
По словам его биографа, Сарториуса фон Вальтерсгаузена, Гаусс имел привычку объяснять эту идею с точки зрения муравья, движения которого ограничены данной поверхностью. Если вы муравей, то за пределами этой поверхности ничего нет. Тем не менее, вооружившись рулеткой (на самом деле Гаусс не пользовался этим инструментом, но давайте не будем прибегать к излишнему педантизму) и побродив по поверхности, муравей мог бы прийти к выводу о том, что она искривлена. Не огибает что-либо, а искривлена сама по себе.
Из школьных уроков по евклидовой геометрии мы знаем, что сумма углов в любом треугольнике составляет 180°. Эта теорема верна для плоскости, но не выполняется в случае искривленной поверхности. Скажем, на поверхности сферы можно изобразить такой треугольник: в качестве начальной точки выбрать северный полюс, затем переместиться на юг к экватору, пройти вдоль него четверть диаметра, и снова вернуться на северный полюс. Стороны треугольника это большие круги сферы, которые соответствуют кратчайшим путям на поверхности, соединяющим две заданные точки, и тем самым служат естественной аналогией прямых линий. Все три угла в таком треугольнике являются прямыми: 90°. А значит, их сумма равна 270°, а не 180°. Это вполне логично: сфера все-таки отличается от плоскости. Но этот пример наводит на мысль, что, измеряя треугольники, мы, вероятно, могли бы выяснить, что находимся не на плоскости. Именно в этом и состоит замечательная теорема Гаусса. Метрика Вселенной особое свойство расстояний, которое можно определить путем анализа формы и размеров небольших треугольников может сообщить нам точную кривизну Вселенной. Нужно просто подставить результаты измерений в формулу.
Это открытие произвело на Гаусса невероятное впечатление. Его ассистент Бернхард Риман обобщил формулу на случай пространств с произвольным числом измерений, заложив основу новой математической дисциплины, известной как дифференциальная геометрия. Однако вычисление кривизны в каждой точке пространства требует огромных усилий, и математики стали задаваться вопросом, нельзя ли получить менее подробную информацию каким-нибудь более простым способом. Они попытались ввести более простое в обращении понятие «формы».
То, что они придумали, теперь называется топологией и составляет основу качественного описания формы, не требующего количественных измерений. В этом разделе математики две фигуры считаются одинаковыми, если одну из них можно превратить в другую с помощью непрерывной деформации. Пончик, к примеру (тот, что с дыркой), не отличается от кофейной чашки. Представьте, что чашка состоит из гибкого материала, который легко сгибается, сжимается или растягивается. Для начала можно выровнять углубление чашки, превратив ее в диск; при этом ручка по-прежнему соединяется с его краем. Затем можно сжать диск, чтобы его толщина совпала с толщиной ручки, и получилось кольцо. Остается лишь немного его надуть, и у вас получится пончик. На самом же деле с точки зрения тополога обе фигуры представляют собой деформированный комок, к которому присоединена одна ручка.
Топологическая ипостась «формы» задается вопросом, похожа ли наша Вселенная на сферический комок вроде английского пончика, на тор вроде американского, или на что-то более сложное.
Оказывается, что муравей, знакомый с топологией, может узнать очень многое о форме своего мира, если будет толкать туда-сюда связанную в кольцо нить и наблюдать за тем, как она себя ведет. Если в пространстве есть дырка, муравей сможет продеть сквозь нее петлю, а так как он все время остается на поверхности, то вытащить петлю, не разорвав ее, он не сможет. При наличии нескольких дырок муравей сможет продеть петлю в каждую из них это поможет ему узнать количество дыр и их взаимное расположение. В пространстве без дыр любую петлю, которая никогда не выйдет за пределы поверхности, можно расталкивать сколько угодно, пока она вся не соберется в одном месте.
Требуется некоторое усилие, чтобы привыкнуть к муравьиному мышлению, которое ограничивается внутренними свойствами пространства, однако без него современная космология попросту лишена смысла, так как гравитация, будучи переосмысленной в рамках общей теории относительности Эйнштейна, превратилась в кривизну пространства-времени, основанную на римановом обобщении замечательной теоремы Гаусса.
До этого момента мы понимали слово «кривизна» в достаточно широком смысле: как именно искривляется пространство. Теперь же нам придется быть более осмотрительными, так как с точки зрения муравья кривизна представляет собой более тонкое понятие, смысл которого немного отличается от того, что мы, вероятно, ожидаем. В частности, муравей, живущий на поверхности цилиндра, будет настаивать на том, что его Вселенная не искривлена. Возможно, с точки зрения внешнего наблюдателя цилиндр выглядит как свернутый лист бумаги, однако геометрия маленьких треугольников на поверхности цилиндра в точности совпадает с аналогичной геометрией на евклидовой плоскости. Доказательство: просто разверните бумагу. Длины и углы, измеренные внутри бумаги, остаются без изменений. Таким образом, муравей, живущий на поверхности цилиндра, будет считать его плоским.
Математики и космологи согласны с мнением муравья. Тем не менее, цилиндр в некотором отношении отличается от плоскости. Если муравей начинает движение в какой-нибудь точке цилиндра и движется, строго придерживаясь направления, которое кажется ему прямой линией, то спустя какое-то время он вернется в исходную точку. Его траектория опоясывает цилиндр и возвращается в начало пути. С прямыми на плоскости такого не бывает. Это топологическое различие, и гауссова кривизна не в состоянии его уловить.