Скотт Янг – Супермастерство. 12 принципов усиления навыков и знания (страница 5)

Рис. 2. Два квадрата можно сложить и получить еще один квадрат: 32 + 42 = 52. А вот из двух кубов точный куб не составить. Здесь, например, 63 + 83 = 93 – 1

Утверждение Ферма легко понять, пусть и нелегко доказать. Из теоремы Пифагора нам известно, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: a² + b² = c². Поиграв с этим выражением, можно подобрать целые числа, которые удовлетворяют этому условию. Например, 3, 4 и 5 (9 + 16 = 25) или 5, 12 и 13 (25 + 144 = 169). На самом деле таких «пифагоровых троек» существует бесконечное количество; их так назвали потому, что это доказал еще сам древнегреческий математик. Но что, если изменить выражение и подставить в него вместо квадратов кубы? Получится ли тогда найти три подходящих целых числа? Ферма утверждал, что нельзя. Более того, он считал, что это невозможно для любой степени больше второй. Математическим языком, по словам Ферма, уравнение aⁿ + bⁿ = cⁿ не имеет целочисленных решений для любого n больше 2.

Эндрю Уайлс впервые услышал о загадочной Великой теореме Ферма в десять лет. «Она казалась такой простой, но ее не смог решить никто из великих математиков в истории, – вспоминал он. – В тот момент я понял, что никогда не отступлюсь»[37].

Уайлс отучился в школе, затем в Кембриджском университете, где специализировался на разделе математики, известном как эллиптические кривые. Делая карьеру, Уайлс не выпускал из виду последнюю загадку Ферма. Однако он, как и многие другие математики, тоже не видел никакого пути к доказательству.

Все изменилось в 1984 году. Ученый Герхард Фрей предположил неожиданную связь между Великой теоремой Ферма и знаменитой гипотезой, выдвинутой дуэтом японских ученых[38] Ютакой Таниямой и Горо Шимурой. Они заявили, что две с виду очень далекие друг от друга ветви математического дерева на самом деле тесно переплетены: по их мнению, у любой модулярной формы имелась соответствующая эллиптическая кривая. Это предположение стало настоящей «рабочей лошадкой» для математиков тех лет – во многих научных работах по умолчанию подразумевалось, что она верна. Тем не менее это было лишь подозрение. Фрей же предположил нечто еще более неожиданное: если верна гипотеза Таниямы – Шимуры, то верна и Великая теорема Ферма. Уайлс, уже ставший тогда специалистом по эллиптическим кривым, наконец-то нашел путь к реализации своей детской мечты: нужно было всего лишь доказать, что догадка Таниямы и Шимуры верна.

Он решил работать в обстановке полной секретности. Накопив определенный объем материала, ученый стал публиковать его не спеша, в серии статей, чтобы создать впечатление, будто по-прежнему работает над старыми проектами. Уайлс перестал ездить на конференции и до минимума сократил преподавательские обязанности. Все время на работе и не посвященное семье он работал над доказательством. Также ученый применил рискованную стратегию: полностью изолировался от помощи коллег, утверждая, что одиночество помогает ему лучше сосредоточиться. На самом деле он, скорее всего, отлично осознавал, что, работая над задачей в одиночку, не будет вынужден ни с кем конкурировать, если откроет доказательство.

Первые полтора года Уайлс провел в библиотеке, изучая все математические материалы, как-либо связанные с модулярными формами и эллиптическими кривыми. Словно искатель приключений, входящий в джунгли, которых нет на карте, он решил вооружиться всеми возможными инструментами. Проштудировав основы, он начал самостоятельно исследовать математический аппарат в поисках закономерностей, которые привели бы его к доказательству. После двух лет такой работы он добился прорыва: нашел способ продемонстрировать, что первый элемент каждой модулярной формы связан с первым элементом каждой эллиптической кривой. Оставалось «всего лишь» разобраться с остальной бесконечностью составляющих.

Застряв в тупике, Уайлс обратился за помощью к коллегам, тщательно скрывая природу своего проекта: не слышали ли они о каких-нибудь неопубликованных математических работах, не замеченных им? Тогда его старый наставник Джон Коутс упомянул работу одного из своих учеников, Матиаса Флаха[39], который углубил методику другого математика, Виктора Колывагина. «Я почувствовал: это ровно то, что нужно, – вспоминал позже Уайлс, – хотя и знал, что мне придется дальше разрабатывать этот метод Колывагина – Флаха»[40].

Уайлс был уже близок к разгадке, но ему «пришлось иметь дело с множеством сложных механизмов», с которыми он «не был особенно знаком. Ученый с головой погрузился в алгебру, что вынудило его выучить много нового математического материала»[41]. Тогда он наконец решил нарушить молчание. Доверившись своему другу и коллеге-математику Нику Кацу, Уайлс получил необходимые подсказки, чтобы завершить доказательство. После семи лет работы он добился успеха там, где другие триста лет терпели неудачу.

«Это был самый важный момент моей рабочей жизни, – вспоминал Уайлс в документальном фильме о своем триумфе, снятом BBC. – Ничто из моих будущих достижений уже не будет настолько же важным»[42].

Очень немногие задачи настолько же сложны, как Великая теорема Ферма. Тем не менее история Эндрю Уайлса многое говорит о способе мышления, который помогает справляться с трудностями. В 1972 году когнитивные психологи Герберт Саймон и Аллен Ньюэлл издали эпохальную книгу Human Problem Solving (Как человек решает задачи), в которой исследовали эти мыслительные процессы. Они попросили участников своих экспериментов рассказать, о чем те думают, когда решают задачи, а затем, сравнив их результаты с эталоном, скрупулезно описали, как люди справляются со сложными головоломками. Их открытия стали отправной точкой для множества новых исследований и десятилетиями применялись в таких разных областях, как шахматы, литература, наука, математика и медицина.

Центральное место в теории Саймона и Ньюэлла занимает идея, что решение задач – это поиск в задачном пространстве. Оно подобно лабиринту: вы знаете, где находитесь, и можете понять, дошли уже до конца или нет. По пути, однако, вы время от времени заходите в тупики, что ограничивает свободу передвижения. Сложность в том, что вы не можете сразу пройти к финишу – ведущий к нему извилистый путь нужно поискать.

В лабиринте задачное пространство – физическое, хотя обычно они абстрактны. Представьте, что вы собираете кубик Рубика: начальное положение – случайный набор цветов; конечное положение – один оттенок с каждой стороны; доступные вам движения – повороты граней в разных направлениях. Здесь вы имеете дело не с буквальным пространством, а с пространством конфигураций: каждый поворот несколько изменяет состояние задачи, не решая ее. Цель тут, как и в случае с лабиринтом, состоит в том, чтобы сориентироваться в этом абстрактном пространстве и добраться от старта до финиша.

Доказательство Великой теоремы Ферма тоже представляло собой поиск в задачном пространстве. Для Уайлса отправной точкой служили ранее доказанные математические теоремы, а конечной целью было вывод, что уравнение aⁿ + bⁿ = cⁿ не имеет целочисленных решений, если n больше двух. Трудность при этом заключалась в том, что каждое движение в задачном пространстве должно было быть корректным, основанным на предыдущих результатах. Ограничения логики работали для Уайлса как стены лабиринта, не давая ему просто написать то, что хочется. Ученому нужно было проложить сквозь извилистые коридоры математики путь к утверждению, что Ферма был прав.

Привыкнув к существованию задачных пространств, вы начнете замечать их везде. Например, ученые выискивают в них новые законы[43]. Отправная точка для них – непонятный набор данных; конечная точка – теория, которая их объясняет; решение задачи – поиск в пространстве гипотез, которые могут расшифровать данные, и в пространстве возможных экспериментов, которые могут проверить теорию. Так же архитектор, проектирующий здание, ведет поиск в задачном пространстве возможных конструкций, чтобы найти среди них ту, которая вписывается в его ограничения – цену, размер, строительные нормы, – и при этом стремится оптимизировать ее функциональную и эстетическую ценность. Даже написание этой главы тоже было процессом решения задачи: моей отправной точкой был пустой документ, а конечной целью – законченная глава, в которой объяснялись бы идеи, которые я хотел представить.

Формулировка термина «решение задач», предложенное Саймоном и Ньюэллом, имела одно непосредственное следствие: большинство задач не решаемы. Пространство возможностей слишком огромно, чтобы найти ответ, и без использования хитроумных методов случайные догадки просто не сработают. Например, у кубика Рубика более сорока трех квинтиллионов различных комбинаций[44]. Если исследовать их все одну за другой, тратить на каждую всего секунду, это займет время, в пять тысяч раз превышающее возраст Вселенной. А вот перед Эндрю Уайлсом стояла задача проложить курс в куда более необъятных водах: компьютерную программу, которая механически соберет кубик Рубика, написать возможно, но вот создать – даже в принципе – устройство, которое сможет доказать любую математическую гипотезу, нереально. Математик, вооруженный ограниченными знаниями, вынужден ориентироваться в неограниченном море цифр и переменных, не имея гарантии, что сможет безопасно добраться до берега. Сам Уайлс хорошо понимал возможность неудачи: «Методов, которые были необходимы мне для доказательства, еще не изобрели. Поэтому вполне вероятно, что я был на верном пути, просто родился не в то время».