Роман Подольный – По образу и подобию (страница 6)

Идеальное родство — абсолютное подобие — увы, вне математики обычно остается чистой абстракцией. Родство ближайшее — полное подобие. Его находят там, где все стороны одного процесса подобны соответствующим сторонам другого. Полное подобие, например, у двух двигателей одного типа.

Неполное подобие — подобие лишь между отдельными сторонами двух процессов (случай с ухом на портрете).

Есть и еще более дальнее родство — приближенное подобие, когда сходство между сторонами явлений оказывается весьма относительным.

Но в родстве-подобии ведется и иной счет — по природе уподобляемых друг другу процессов.

Когда говорят о физическом подобии двух процессов, это означает, что движению воды в трубе в одном из этих процессов соответствует движение воды в другой трубе, работе одного двигателя — работа другого двигателя и так далее.

А вот если речь идет об уподоблении математическом — значит, воду заменяет, скажем, движение электронов, а микроскопические взрывы бензина в моторе представлены рядами цифр. Такое уподобление зовут еще аналогией. Но как возникает, на чем держится родство столь разных вещей? И почему такое подобие называют именно математическим?

Здесь придется обратиться к языку современной науки. Нет, не к Алголу или другим вариантам языка, создающегося сейчас для общения с машинами. Старый язык науки, на котором она говорит со времен Ньютона, пользуется двумя алфавитами — греческим и латинским — и честными арабскими цифрами. Имя этому языку — дифференциальные уравнения. Если вы знакомы уже с ними — очень хорошо. Если нет — лучше, чтобы вам их представил учебник или популярная книга по математике. Здесь же можно ограничиться знакомством чисто шапочным. Для целей этой книжки достаточно напомнить колоссальное значение дифференциальных уравнений в науке. Надо, впрочем, подчеркнуть еще два обстоятельства. Первое — то, что дифференциальные уравнения описывают процессы, происходящие во времени, и учитывают фактор времени. Второе — то, что эти уравнения не просто язык, но язык универсальный для всех точных наук.

На этом-то языке, очищенном от мелких прикладных деталей, вроде обозначений килограммов, вольт да метров, рассказы о совершенно разных событиях начинают звучать совершенно одинаково, иногда буквально неотличимо друг от друга.

Так одними и теми же движениями обнажают шпаги киногерои фильмов, посвященных будто бы разным векам. Так неожиданно оказываются одинаковыми в сумерках два костюма, при ярком свете несхожие благодаря различию в цвете. Так одними и теми же словами описывают своих героев разные, но плохие писатели. Однако то, что минус в искусстве, — неоригинальность, в технике порою оказывается великим достоинством (разумеется, достоинством не человека, а явления). Открытие такого совпадения рассказов о разных вещах, когда они ведутся на языке формул (даже не обязательно на языке именно дифференциальных уравнений), в свое время потрясало ученых.

Посудите сами. Несколько сотен лет победно держалась в науке теория теплорода. Как утверждали ее сторонники (а было время, когда в их ряды входили все ученые Европы), теплота от тела к телу передается с помощью особой жидкости, носительницы ее. Тело остывает, когда теплород покидает его, и нагревается при приливе теплорода.

Были найдены законы, определяющие движение теплорода от тела к телу, выведены формулы этого движения. Ну, а потом выяснилось, что теплороду не находится места в предметах — открытие закона сохранения вещества окончательно покончило с теорией теплорода. Он был выброшен на свалку науки вместе с другими научными идеями-неудачницами. Но законы движения теплорода, сформулированные перед тем, отказались покинуть поле научных битв. Мало того, они вообще так и остались в их формализованном выражении (в виде формул) в науке и технике по сей день и, видимо, навсегда. Только теперь эти формулы описывают порядок перехода в веществе, от молекулы к молекуле, энергии колебаний самих молекул и атомов.

Да, удивление здесь вполне оправдано. Теория зачеркнута, носителя тепла нет, а тепло переносится так, словно он — теплород — на месте вопреки всем новым законам. Однако этот случай можно «промоделировать» таким простым примером. Два яблока и два яблока — четыре яблока. Две груши и две груши — четыре груши. Как, наверное, удивлялся первобытный человек, обнаружив, что и тому набору фруктов и другому соответствуют четыре поджатых пальца. Отделение числа от конкретного предмета было когда-то великим завоеванием человечества. Осознание того, что одни и те же формулы могут характеризовать разные процессы, не такой уж большой успех рядом с тем великим открытием. Но оно уже дело давнее. А тут ученые не только сделали открытие, но и смогли его сравнительно быстро оценить. «Сравнительно» здесь поставлено не зря — на оценку истинного значения этого факта ушло много десятков лет.

Во второй половине XIX века Максвелл удивлялся, обнаружив сходство уравнений электромагнитных колебаний и колебаний обычного маятника. (Говоря точнее, уравнения процесса колебаний маятника абсолютно совпадают с уравнениями колебаний тока в электрической цепи из емкости и индуктивности.)

Формула закона Ома, характеризующего зависимость силы тока от сопротивления, точно совпадает с формулой определения расхода воды в зависимости от сечения трубопровода.

Великий русский судостроитель, академик А. Н. Крылов с удовольствием отмечал: «Казалось бы, что может быть общего между расчетом движения небесных светил под действием притяжения к солнцу и… качкой корабля на волнении… Между тем, если написать только формулы и уравнения без слов, то нельзя отличить, какой из этих вопросов разрешается: уравнения одни и те же».

Можно привести еще более удивительные примеры, когда люди пяти разных профессий придадут пять разных смыслов одной и той же системе уравнений, поскольку для каждой из их специальностей она описывает другой процесс. Владимир Ильич Ленин не только удивлялся этому обстоятельству, но и делал из него выводы. В таком единообразии формул из отдаленных друг от друга наук он видел глубокий философский смысл.

«Единство природы, — писал он, — обнаруживается в поразительной аналогичности дифференциальных уравнений, относящихся к различным областям явлений».

Разумеется, совпадают уравнения отнюдь не всех областей — совпадение их и есть главный критерий права на подмену одного явления другим.

Движение воды оказалось возможным заменить в модели электрическим током. И ток же оказался способен выполнять роль модели теплопроводности — ведь тепло, как уже говорилось, распространяется по тем же законам, что и жидкость (вот он откуда, мифический теплород!). Можно исследовать теплопроводность фундамента на модели, в которой вместо тепла будет передвигаться самая настоящая жидкость, хотя бы вода, по тонким стеклянным трубочкам — капиллярам.

Тяжелый бетонный брус можно заменить ванночкой с водой — если ванночке дать в плане форму поперечного сечения этого бруса и распределить скорости воды у самой поверхности ванны так, как распределены напряжения по поперечному сечению бруса.

Гуттаперчевый шарик, прыгая по резиновым пластинам, уподобляется электрону, а напряжение в тонких пластиковых пленках — электрическому напряжению.

Наиболее популярны в технике, однако, такие аналогии, где чуть ли не всеобщим заместителем выступает электричество.

Вот несколько примеров той практичности, которую с его помощью проявила теория подобия.

Как вы думаете, что нужно для выяснения вопроса, как распределяется давление в грунте под еще не построенной плотиной? Советский ученый В. П. Фильчаков решил эту проблему с помощью электропроводящей (говоря точнее, полупроводниковой) бумаги, листков станиоля, электрической батарейки и ножниц. Плюс, разумеется, ряд сведений о проекте плотины и условиях ее сооружения. Ножницами ученый вырезал из бумаги контур плотины. Полосками звонкого станиоля обозначил верхний и нижний бьефы — места, где вода соприкасается с плотиной. От батарейки он подвел на полоску станиоля — «верхний бьеф» — напряжение, пропорциональное предполагаемому перепаду воды. На «нижнем бьефе» напряжение оставлено равным нулю. А теперь по бумажному листу начинает двигаться электрощуп. На соединенном с ним вольтметре отмечается напряжение в каждой точке, которую щуп проходит в своем путешествии. Цифра аккуратно переносится на обычную схему плотины. Когда электрощуп закончит свое путешествие, на схеме окажется точное распределение давлений под плотиной, потому что именно их заменяли в этой простой модели напряжения в бумаге.

На схожем принципе создавал свои модели еще до Фильчакова его учитель академик Н. Н. Павловский. Только он в аналогичном случае применил вместо электропроводящей бумаги электропроводящую жидкость (электролит), налитую в сосуд, имеющий форму будущей плотины, и исследовал напряжения в электролите.

Поневоле напрашивается сравнение с древнеегипетским методом определения высоты обелиска. Жители долины Нила умели делать это, не поднимаясь на обелиск. Они просто измеряли тень обелиска и тень палки, длина которой была заранее известна. У них получались два подобных прямоугольных треугольника, образованных: 1) палкой, тенью от нее и мысленно проведенным от вершины палки до конца тени отрезком; 2) точно так же, как в первом случае, если слово «палка» всюду заменить словом «обелиск».