Роберт Шиллер – Нарративная экономика. Новая наука о влиянии вирусных историй на экономические события (страница 74)

Пример, который иллюстрирует рис. А.1, вытекает из трех упомянутых выше уравнений, где воздействию инфекции изначально подвергается один человек из миллиона (I₀ = 0,0001 %), а показатели c = 0,5 и r = 0,05. В этом случае инфицированной в конечном счете будет практически вся популяция. В ходе эпидемии внимание общественности, как правило, приковано к изменению количества зараженных, которое на рисунке отражает колоколообразная кривая. Кроме того, людей интересует изменение таких показателей, как количество новых зарегистрированных случаев болезни и скорость перехода из группы восприимчивых в группу инфицированных, которые также отражает колоколообразная кривая в том случае, если показатель r ненамного ниже показателя c. Работая с нарративами, мы сравниваем графики, отражающие количество слов и публикаций, с кривой заражения, подобной той, что изображена на рисунке.

Модель SIR предполагает, что от эпидемии к эпидемии небольшое количество случаев заражения на начальном этапе возрастает в соответствии с той же изогнутой графической структурой, а затем идет на спад. Мутация возникшего давно и утратившего свою силу вируса может привести к появлению человека, зараженного новым штаммом. Затем последует некоторая задержка – а если показатель c невысок, она может быть достаточно продолжительной – и продлится она до тех пор, пока не заразится достаточно большое количество людей и болезнь не привлечет к себе внимание масс. Затем эпидемия достигнет своего пика. Прежде чем заразится все население, эпидемия пойдет на спад и завершится, причем показатели интенсивности заражения c и выздоровления r останутся неизменными.

Заразится не каждый. Некоторых людей болезнь не коснется, поскольку они не столкнутся с ее возбудителем. Постепенно окружающая среда будет становиться все более безопасной для таких людей, поскольку количество инфицированных будет сокращаться вследствие выздоровления и приобретения людьми иммунитета к болезни. Новых встреч с возбудителем болезни, провоцирующих новые случаи инфицирования, станет недостаточно для дальнейшего роста заболеваемости. В конце концов инфицированных почти не останется, и популяция будет практически полностью состоять из восприимчивых и выздоровевших. Эта модель применима и к нарративам: поскольку заражается не каждый, после завершения эпидемии экономического нарратива некоторые люди скажут, что даже не слышали о нем, и скептически отнесутся к рассказам о его влиянии на экономику, пусть даже этот нарратив действительно способен определять ход экономических событий.

Какие факторы в комплексе приводят к распространению серьезного заболевания, которое в результате охватывает широкие общественные массы (ту часть населения, которая инфицируется и выздоравливает)? Насколько широко распространится заболевание – определяет соотношение показателей с и r. Поскольку время стремится к бесконечности, доля людей, когда-либо перенесших конкретную болезнь, достигает предельного значения R_∞ (называемого «масштабом эпидемии»), которое всегда строго меньше 1. Непосредственно из первого и третьего уравнений следует, что dS/dR = – (c/r)S. Принимая во внимание исходное условие относительно доли популяции, заразившейся на раннем этапе I₀, заключающееся в том, что S = (1 – I₀)e^—(c/r)R, и поскольку I_∞ = 0,1 = S_∞ + R_∞, мы получаем: c/r = R_∞^–1log(1 – I₀ / 1 – R_∞) – и обнаруживаем взаимосвязь между окончательным числом людей, когда-либо перенесших это заболевание, и соотношением показателей с и r. Если бы мы могли выбирать, какими будут показатели c и r, мы могли бы сделать масштаб эпидемии R_∞ любым, вплоть от отметки I₀ до 100 %. Если «масштаб распространения заразы» мы определим как R_∞ > 1/2, тогда заражение стартует на отметке I₀ близкой к нулю, тогда как c/r > 1,386. Если мы умножим оба показателя c и r на положительную константу a, трем уравнениям, речь о которых шла ранее, будут удовлетворять функции S(at), I(at), R(at).

Высокий показатель c/r соответствует эпидемии большого масштаба R∞, вне зависимости от того, каковы показатели с и r, в то время как высокий показатель с, при котором соотношение с и r остается неизменным, приводит к более стремительному развитию эпидемии. Для того чтобы на начальном этапе эпидемии уровень заражения был очень низким, когда значение S близко к 1, показатель с/r должен быть больше 1. В зависимости от показателей с и r эпидемии могут нарастать стремительно либо, наоборот, медленно, хотя если изменить масштаб графиков таких эпидемий, выглядят они одинаково.

Изменив соотношение c и r, мы можем получить эпидемии, в ходе которых 95 % населения заражается за несколько дней, или те же 95 % населения, но за несколько десятилетий, или лишь 5 % населения за несколько дней, или же 5 % населения за несколько десятилетий. Однако в каждом случае мы получим дугообразный график заражения, который при изменении масштаба будет выглядеть примерно так же, как и жирная линия на рис. А.1.

Модификации модели SIR

Модель SIR Кермака – Маккендрика стала отправной точкой в истории математического моделирования эпидемий и на протяжении большей части столетия была объектом многочисленных публикаций. В числе различных модификаций базовой камерной модели существует версия, учитывающая вероятность постепенного ослабления иммунной защиты, вследствие чего выздоровевшие вновь постепенно превращаются в восприимчивых (модель SIRS) (4). Модель SIR также может быть преобразована с учетом вероятности встреч восприимчивых с инфицированными, вследствие чего возрастет численность четвертой категории – контактных E, которые заболеют позднее (модель SEIR). Кроме того, модель была модифицирована с учетом таких факторов, как неполный иммунитет, получаемый в результате лечения, рождение новых восприимчивых, появление суперраспространителей, обладающих свойством повышенной заразности, а также географических закономерностей распространения инфекции.

Эти модели, модифицированные в соответствии с особенностями изучаемого заболевания, были полезны при прогнозировании течения эпидемий. Например, модифицированная версия SEIR была создана в попытке объяснить ход географического распространения вируса гриппа с учетом предположения о том, что его латентные носители, не имеющие каких-либо симптомов болезни, могут перемещаться на большие расстояния. Рассмотрев в рамках этой модели данные о заболеваемости гриппом и данные о масштабах междугородних авиаперевозок, Р. Ф. Грэйс и ее соавторы обнаружили, что их модель помогает объяснить закономерности вспышек гриппа в отдельных городах, а также распространения его между городами (5).

Примером другой камерной модели является стохастическое обобщение, которое выражает модель SEIHFR, где S – восприимчивые, E – контактные, I – инфицированные, H – госпитализированные, F – умершие, но еще не похороненные, и R – выздоровевшие либо похороненные. Эта модель была использована при анализе данных об африканской эпидемии вируса Эбола (6), и она учитывает усилия, предпринятые обществом для предотвращения распространения вируса, в числе которых госпитализация заболевших и соблюдение необходимых мер защиты при погребении тел умерших.

Камерная модель SEIHFR включает в себя шесть классов, однако в будущем модели распространения экономических нарративов, вероятно, будут состоять из большего количества категорий. Например, в модели распространения нарративов о безработице, вызванной прогрессом в технологической сфере (см. главу 13), вероятно, к отдельным категориям могут быть отнесены безработные инфицированные, безработные неинфицированные, трудоустроенные инфицированные и трудоустроенные неинфицированные, а кроме того, дополнительно могут быть позаимствованы формулы из традиционных экономических моделей.

Создатели экономических моделей, стремясь встроить в них «заразные» экономические нарративы, могут черпать вдохновение из медицинской литературы о сопутствующих эпидемиях. С точки зрения медицины сопутствующие эпидемии возникают в том случае, когда вспышка одного заболевания совпадает с моментом прогрессирования другого. К примеру, ВИЧ и туберкулез признаны сопутствующими заболеваниями, ведь одновременно от обоих этих заболеваний страдает гораздо большее количество людей, чем можно было бы предположить, изучая две не связанные друг с другом эпидемические модели. Элиза Ф. Лонг с соавторами в 2008 году предложили свой вариант камерной модели на базе модели Кермака – Маккендрика, допускающей, что люди, страдающие от одной из этих болезней, с большой долей вероятности могут подхватить и распространять вторую (7). В форме подобных моделей могли бы быть представлены созвездия нарративов, в которых многочисленные нарративы поддерживают «заразность» друг друга. Такие модели могли бы также отражать взаимосвязь экономических нарративов, таких как нарратив о безработице, возникающей вследствие технологического прогресса, с определенным экономическим аспектом, таким как, к примеру, безработица в целом.

Структурные макроэкономические модели, как правило, включают в себя простые одномерные авторегрессионные интегрированные модели скользящего среднего (ARIMA) для выявления величины погрешности или задающих переменных, которых не охватывает экономическая теория. Первыми к моделям ARIMA в своей книге, опубликованной в 1970 году, обратились Джордж Е. П. Бокс и Гвилим Дженкинс. Хотя Бокс и Дженкинс отмечали их пользу для всех областей научной деятельности, активнее всего их впоследствии стали применять именно экономисты (8). Хорошо разработанная теория прогнозирования временных рядов, о которой можно говорить с точки зрения концепции моделей ARIMA, спровоцировала бум в среде экономистов и привела впоследствии к эпидемической популярности модели рациональных ожиданий. По данным Google Ngram, она достигла пика в 1990-е годы и широко применяется по сей день. Модели ARIMA могут выступать в качестве альтернативы камерным моделям, о которых идет речь в данном Приложении. Однако модели ARIMA формируются, по сути, случайным образом, и в отличие от камерных моделей им не хватает теоретической основы (9).