Петр Успенский – Tertium Organum: ключ к загадкам мира, изд. 2-е (страница 57)

Само по себе слово может иметь ещё другое значение, кроме обычно связанного с ним понятия: оно может иметь символическое или аллегорическое значение, может заключать в себе известную музыку или определённый эмоциональный тон. Но всё это войти в логическую систему не может. Какое бы символическое, аллегорическое, музыкальное или эмоциональное значение ни имело слово, в логическое построение оно войдёт только в своём логическом значении, то есть — как понятие.

В то же время мы прекрасно знаем, что не всё может быть выражено в словах. В нашей жизни и в наших чувствах очень много такого, что не укладывается в понятия. Таким образом ясно, что даже в настоящий момент, на настоящей ступени нашего развития, далеко не всё может быть для нас логическим. Есть очень много вещей внелогических по существу. Такова вся область чувств, эмоций, религии. Всё искусство — одна сплошная нелогичность. И, как мы сейчас увидим, совершенно нелогической является математика, самая точная из наук.

Если мы сравним аксиомы логики Аристотеля и Бэкона с аксиомами общеизвестной математики, то мы найдём между ними полное сходство.

Аксиомы логики

«А есть А»,

«А не есть не А»,

«Всякая вещь есть или А, или не А»

вполне соответствуют основным аксиомам математики, аксиомам тождества и противоречия:

Всякая величина равна самой себе; Часть меньше целого; Две величины, равные порознь третьей, равны между собой

и т. д.

Сходство аксиом математики и логики идёт очень глубоко, и это позволяет сделать заключение об их одинаковом происхождении.

Законы математики и законы логики — это законы отражения феноменального мира в нашем сознании.

Как аксиомы логики могут оперировать только с понятиями и относятся только к понятиям, так аксиомы математики могут оперировать только с конечными и постоянными величинами и относятся только к ним.

По отношению к бесконечным и переменным величинам эти аксиомы неверны так же, как аксиомы логики неверны по отношению к эмоциям, к символам, к музыкальности и к скрытому значению слова.

Что это значит?

Это значит, что аксиомы логики и математики выведены нами из наблюдения явлений, то есть феноменального мира, и представляют собой известную условную неправильность, нужную для познания [нашего] нереального мира.

* * *

Раньше было указано, что у нас, собственно, есть две математики. Одна — математика конечных и постоянных чисел, [которая] представляет собой совершенно искусственное построение для решения задач на условных данных. Главное из этих условных данных заключается в том, что в задачах этой математики всегда берётся только t вселенной, то есть берётся только один разрез вселенной, который никогда не смешивается с другим разрезом. Таким образом, математика конечных и постоянных величин изучает искусственную вселенную, и сама по себе есть нечто, специально созданное на основании нашего наблюдения явлений и служащее для облегчения этих наблюдений. Дальше явлений математика конечных и постоянных чисел пойти не может. Она имеет дело с воображаемым миром, с воображаемыми величинами.

Другая — математика бесконечных и переменных величин, представляет собою нечто совершенно реальное, построенное на основании умозаключений о реальном мире.

Первая относится к миру феноменов, который представляет собою ничто иное, как наше неправильное восприятие мира.

Вторая относится к миру ноуменов, который представляет собою мир как он есть.

Первая — нереальна, существует только в нашем сознании, в нашем воображении.

Вторая реальна, выражает отношения реального мира.

* * *

Примером «реальной математики», нарушающей основные аксиомы нашей математики (и логики), являются так называемые трансфинитные числа.

Трансфинитными числами, как показывает их название, называются числа за бесконечностью.

Бесконечность, изображённая знаком ∞ есть математическое выражение, с которым, как с таковым, можно производить все действия: делить, множить, возводить в степень. Бесконечность можно возвести в степень бесконечности, будет ∞^∞. Эта величина в бесконечное число раз больше простой бесконечности. И в то же время они равны: ∞ = ∞^∞. Вот это и есть самое замечательное в трансфинитных числах. Вы можете производить с ними какие угодно действия, они будут соответствующим образом изменяться, оставаясь в то же время равными. Это нарушает основные законы математики, принятые для конечных, финитных, чисел. Изменившись, конечное число уже не может быть равно самому себе. А здесь мы видим, как, изменяясь, трансфинитное число остаётся равным самому себе.

При этом трансфинитные числа совершенно реальны. Выражениям ∞ и даже ∞^∞ и ∞^∞^∞ мы можем найти соответствующие примеры в реальном мире.

Возьмём линию, любой отрезок линии. Мы знаем, что число точек в этой линии равно бесконечности, потому что точка измерения не имеет. Если наш отрезок равен вершку, и рядом с ним мы представим себе отрезок в версту, то каждой точке в большом отрезке будет соответствовать точка в малом. Число точек в отрезке, равном вершку, бесконечно. Число точек в версте тоже бесконечно. Получается ∞ = ∞.

Представим теперь себе квадрат, сторону которого составляет данная линия а. Число линий в квадрате бесконечно. Число точке в каждой линии бесконечно. Следовательно, число точек в квадрате равно бесконечности, помноженной сама на себя бесконечное число раз: ∞^∞. Эта величина, несомненно, бесконечно больше первой ∞. И в то же время они равны, как равны все бесконечные величины, потому что, если есть бесконечность, то она одна и не может меняться.

На полученном квадрате а² представим себе куб. Этот куб состоит из бесконечного числа квадратов, так же как квадрат состоит из бесконечного числа линий, а линия — из бесконечного числа точек. Следовательно, число точек в кубе а³ равно ∞^∞^∞; это выражение равно выражению ∞^∞ и ∞, то есть это значит, что бесконечность продолжает возрастать, в то же время оставаясь неизменной.

* * *

Таким образом в трансфинитных числах мы видим, что две величины, равные порознь третьей, могут быть не равны между собою. Вообще мы видим, что основные аксиомы нашей математики здесь не действуют, не применимы сюда. И мы с полным правом устанавливаем закон, что основные аксиомы математики, указанные выше, здесь не применимы, а применимы и действительны только для конечных чисел.

Кроме этого мы можем сказать, что основные аксиомы нашей математики действительны только для постоянных величин. Или, говоря иначе, они требуют единства времени и действующих лиц. Именно: всякая величина равна самой себе в данный момент. Но если мы возьмём величину, которая меняется, и возьмём её в разные моменты, то она не будет равна самой себе. Конечно, можно сказать, что, меняясь, она становится другой величиной, что она есть данная величина, только пока не изменится. Но это как раз и есть то, что я говорю.

Аксиомы нашей обычной математики применимы только к конечным и постоянным величинам.

И как раз обратно обычному взгляду, мы должны признать, что математика конечных и постоянных величин нереальна, т. е. имеет дело с нереальными отношениями нереальных величин, а математика бесконечных и текучих величин реальна, т. е. имеет дело с реальными отношениями реальных величин.

В самом деле, самая большая величина первой математики не имеет никакого измерения, равна нулю или точке в сравнении с любой величиной второй математики, все величины которой при всём их разнообразии равны между собой.

Таким образом и здесь, как в логике, аксиомы новой математики являются в виде абсурдов: «величина может быть неравна самой себе», «часть может быть равна целому или больше его», «из двух равных величин одна может быть бесконечно больше другой», «все разные величины равны между собой».

Между аксиомами математики и логики наблюдается полная аналогия. Логическая единица — понятие — обладает всеми свойствами конечной и постоянной величины. Основные аксиомы математики и логики в сущности одни и те же. И они правильны при одинаковых условиях и при одинаковых условиях перестают быть правильными.

Без всякого преувеличения мы можем сказать, что основные аксиомы логики и математики правильны только до тех пор, пока математика и логика оперируют с искусственными, условными, не существующими в природе единицами.

Дело в том, что в природе нет конечных, постоянных величин, точно так же как нет понятий. Конечная, постоянная величина и понятие — это условные отвлечения, не действительность, а только, так сказать, разрезы действительности.

Как связать идею об отсутствии постоянных величин с идеей неподвижной вселенной? На первый взгляд одно противоречит другому. Но в действительности этого противоречия нет. Неподвижна не эта [видимая], а большая вселенная, мир четырёх измерений, из которого мы знаем вечно движущийся разрез, называемый трёхмерной бесконечной сферой.

Мы раньше подробно разбирали, как идея движения вытекает из нашего чувства времени, то есть из несовершенства нашего чувства пространства.

Если бы наше чувство пространства было совершеннее, мы по отношению к любому данному предмету, скажем, к данному человеческому телу, охватывали бы всю его жизнь во времени, от рождения до смерти. Тогда в пределах нашего охвата оно было бы для нас постоянной величиной. Но теперь, в каждый данный момент своей жизни, оно есть для нас не постоянная, а переменная величина. И то, что мы называем телом, в действительности не существует. Это есть только разрез четырёхмерного тела, которого мы никогда не видим. Мы должны помнить, что весь наш трёхмерный мир в действительности не существует. Это есть создание наших несовершенных чувств. Результат их несовершенности. Это не есть [реальный] мир. А только то, что мы видим из [того] мира. Трёхмерный мир — это есть четырёхмерный мир, наблюдаемый через узкую щёлку наших чувств. Поэтому все величины, которые мы считаем таковыми в трёхмерном мире, не есть реальные величины, а только искусственно предположенные.