Дмитрий Павлов – Цифровое моделирование на C# (страница 2)

рис. 1.2

Полярная система координат

В полярной системе координат точки будем обозначать парой (r, t). Где r – это расстояние от точки О, называемой полюсом, а t – угол между горизонтальным лучом, исходящим из полюса, направленным вправо, и радиусом-вектором, указывающим на точку (рис. 1.3).

рис. 1.3

В ряде случаев полярные координаты оказываются удобнее декартовых. Например, для задания кривых на плоскости, особенно для задания различных спиралей, таких как спираль Архимеда, логарифмическая спираль, трилистника. Также полярная система координат используется:

– в астрономических наблюдениях;

– в фотографии – используют фильтр, переводящий координаты точек из прямоугольной системы в полярную, создавая сферический эффект снимка;

– в биржевых графиках – необычный формат на основе полярных координат предложил в 1990-е годы российский математик Владимир Иванович Елисеев;

– во взаимосвязи градусов и времени (в году 365 дней, в окружности – 360 градусов);

– в медицине – компьютерная томография сердца изображается в полярной системе координат;

– в системах безопасности при идентификации по радужной оболочке глаза.

Способы задания функций

Функции, заданные следующим образом y = f (x), называются заданными явно. Здесь y явно зависит от переменной x, а f определяет некоторое правило, по которому, взяв переменную x, можно получить y. При этом переменная x называется независимой переменной, а y зависимой. Или говорят, что y является функцией x.

Например: y = 2x + sin2x.

Функция может быть задана следующим образом:

x = X (t)

y = Y (t)

Здесь x и y являются функциями независимой переменной t. Такой способ задания функций называется параметрическим. Например, следующая пара функций определяет окружность радиусом 1:

x=cos (t)

y=sin (t)

Построение графика в декартовой системе координат

Для определенности мы начнем с построения графика функции, заданной явно в декартовой системе. Сформулируем шаги, необходимые для построения:

– Получить список точек в обычной системе координат.

– Получить список точек в компьютерной системе координат, преобразовав точки из обычной системы.

– Соединить получившиеся точки линией.

Ниже представлен пример кода, с помощью которого можно получить массив точек с координатами в обычной системе координат.

Код достаточно простой, но поскольку мы с вами находимся в начале пути, немного комментариев к нему не будут лишними. Во-первых, в коде присутствуют границы отрезка, на котором мы собираемся строим наш график – это A и B. Во-вторых, сама функция f (x) задана локально и в нашем случае это y=x². От исходной функции требуется, чтобы она была определена при всех значениях внутри заданного отрезка. Очевидно, что наша функция этому условию удовлетворяет. Далее, N – это число точек для построения. На самом деле выбор этого значения – сама по себе весьма интересная задача. От выбора числа N зависит, как будет выглядеть наш график. Понятно, что нет смысла брать слишком много точек, поскольку разрешение экрана конечно. С другой стороны, точек не может быть мало, иначе график будет угловатым и не будет отображать истинное поведение функции. Обратите внимание на формулу для вычисления X [i]. При i=0, X [i] =A, а при i=N-1 (максимальной значение i в цикле), мы получаем X [i] =B. Поскольку формула для X [i] линейна относительно i, значит в массиве X будут лежать значения от A до B с равномерным шагом.

Согласно шагу 2, необходимо преобразовать данные из обычной системы координат в компьютерную. Экран монитора тоже представляет из себя декартову систему координат, с той лишь разницей, что ось Y здесь направлена вниз. Определим несколько величин:

[A, B] – отрезок, на котором задана исходная функция.

Ymax – максимальное значение функции на отрезке.

Ymin – минимальное значение функции на отрезке.

(X_win_min, Y_win_min) – левый верхний угол на экране монитора.

(X_win_max, Y_win_min) – правый верхний угол на экране монитора.

(X_win_min, Y_win_max) – левый нижний угол на экране монитора.

(X_win_max, Y_win_max) – правый нижний угол на экране монитора.

рис. 1.4

Теперь, когда у нас все готово, приведем формулы преобразования точек из обычной системы координат в компьютерную.

В данных формулах (X, Y) – это координаты точки в обычной системе координат, а (Xwin, Ywin) – координаты на экране монитора. Обратите внимание, что формулы не симметричны относительно осей X и Y. Как уже было упомянуто, это связано с тем, что компьютерная система координат устроена так, что ось Y направлена вниз, в то время, как в обычной системе эта ось направлена вверх. Данные формулы универсальны – используя их, можно вписать график любой функции в любой прямоугольник на экране. Тем не менее, все-таки есть очевидные ограничения на их использование. Во-первых, Ymax и Ymin должны достигаться на отрезке [A, B]. Существуют функции, которые не имеют максимума или минимума на заданном отрезке. Например, гипербола y=1/x не имеет ни того, ни другого на отрезке [-1, 1]. Ниже мы разберем как строить графики таких функций. Во-вторых, Ymax и Ymin должны быть различны, иначе в знаменателе мы получим ноль. Этот случай, впрочем, разрешается элементарно. Если у нас Ymax равен Ymin, то мы имеем дело с функцией y=const и в этом случае ее графиком будет просто горизонтальная линия.

Определим две функции, с помощью которых мы будем производить конвертацию.

Сама конвертация выглядит так, как показано на листинге ниже. В данном коде мы воспользовались функционалом, который предоставляет нам System.Linq для поиска минимального и максимального значений в массиве Y, а также для самой конвертации.

В переменных Xwin и Ywin теперь у нас лежит коллекция координат точек, которые мы соединим линией.

Построение графика в полярной системе координат

Для построения графика функции, заданной в полярной системе координат, мы сначала научимся конвертировать значения функции в декартову систему. Итак, пусть есть пара значений в полярной системе координат (r, t), давайте получим для нее соответствие в декартовой системе. Как видно из иллюстрации ниже, координата по оси OX равна произведению длины радиуса вектора r на косинус угла t, а по оси Y, соответственно, это произведение r на синус t.

рис. 1.6

Таким образом получаем: x=r⋅cos (t), y=r⋅sin (t);

Сами формулы перехода достаточно просты. А поскольку мы теперь умеем переводить полярные координаты в декартовы, то можем считать, что мы успешно свели задачу к предыдущей.

Построение графика функции, заданной параметрически

Построение графика такой функции во многом схоже с построением функции, заданной явно. Более того, явное задание функции может быть сведено к параметрическому, а именно:

y = f (x) => X=t, Y=f (t)

Обратное преобразование от параметрического к явному не всегда возможно. В целом, как уже было сказано, построение графика такой функции не несет в себе принципиально иного подхода. Немного изменятся лишь функции конвертации значений из обычной системы в экранную.

Как видим в формуле для X (преобразование по оси Y не претерпело изменений), величины A и B заменены на Xmin и Xmax соответственно.

Выбор N

График может занимать маленькую часть на экране монитора или весь экран, но в любом случае мы хотим чтобы он был гладким и приятным для восприятия. Возникает вопрос: сколько требуется точек, чтобы график выглядел хорошо? Вообще число точек должно быть пропорционально длине графика. Исходя из этого, можно предложить следующий метод. Изначально мы берем довольно много точек в обычной системе координат, например, 10000. Далее конвертируем эти точки в экранную систему, а затем формируем новую коллекцию точек по следующему алгоритму – добавляем первую точку, а следующую точку добавляем с условием, что она отстает от предыдущей не менее, чем на 4 (например) пикселя. Получившуюся коллекцию соединяем линией. При таком подходе мы обеспечиваем приемлемый вид графика вне зависимости от того, сколько места он занимает на экране.

Оптимизация построения

Следуя вышеизложенному алгоритму, можно построить график, где точки, по которым мы его строим, следуют друг за другом с равномерным шагом. Однако часто такой подход не является оптимальным с точки зрения производительности. Например, известно, что в окрестности нуля функции y=sin (x) и y=x ведут себя почти одинаково. То есть синус очень похож на прямую, а прямую можно построить всего по двум точкам. Идея оптимизации состоит в том, чтобы там, где график близок к прямой, можно удалить лишние точки без потери качества. Далее мы разберем простой алгоритм, который на основе кривизны графика сможет уменьшать количество точек для построения.

Пусть точки p1 и p2 уже принадлежат списку точек, по которым строится график в экранной системе координат. Точку p3 включаем в этот список, только если ее отклонение от прямой, задаваемой точками p1 и p2, больше некоторой величины d.

рис. 1.7

Определить расстояние от точки p3 (x3, y3) до прямой определяемой точками p1 (x1, y1) и p2 (x2, y2) можно по следующей формуле:

Такая простая модификация алгоритма построения позволяет уменьшить количество точек без потери качества отображения. Мы используем участки графика, где он близок к прямой, и на этих участках удаляем избыточные для построения точки.