Алексей Савватеев – Математика для гуманитариев. Живые лекции (страница 27)

«Видно всё, кроме внутренности конуса». Чем ближе к северу находится наблюдатель, тем более «плоский» получается конус, и тем меньше звезд видно. Чем ближе к экватору он находится, тем более «острый» получается конус (а на экваторе его вершина оказывается удаленной до бесконечности; на полюсе же его вершина совпадает с самим полюсом). См. рис. 96.

Рис. 96. Широта Москвы (56 град.) меньше широты Петербурга (60 град.), поэтому коническая поверхность, внутри которой располагаются невидимые звезды, для Москвы имеет более значительную высоту над полюсом, но угол расхождения левого и правого луча из вершины меньше, чем для Петербурга. Поэтому из Москвы видно больше звезд (если наблюдение вести 24 часа). (Рекомендуем мысленно вращать этот рисунок относительно оси симметрии — пунктирная линия образует тогда северное полушарие Земли, а сплошные — «конусы невидимости».)

Поэтому из Санкт-Петербурга видно меньше звезд, чем из Москвы (рис. 97). А на экваторе не видно ни Полярной звезды, ни Южного Креста (да и соседних с ними звезд тоже не видно). Однако последнее утверждение является схоластическим. Чтобы понять это, представьте себе, что цилиндрическая поверхность, изображенная на рис. 95, продолжена вверх до пересечения с небесной сферой. Тогда на этой сфере получится линия пересечения в виде окружности, радиус которой примерно равен 6400 километров (радиусу Земли). А радиус небесной сферы, как указано выше, примерно равен расстоянию до ближайшей звезды (не считая Солнца). Это расстояние неизмеримо больше, чем 6400 км. Так что даже с помощью самого мощного современного телескопа будет проблематичным понять, какие же звезды попали в «область невидимости» для экваториального наблюдателя!

Рис. 97. Семейство прямых, касательных к меридианам.

Задача про 22 мая.

В формулировке задачи упоминаются такие известные даты, как «летнее солнцестояние» (22 июня) и «зимнее солнцестояние» (22 декабря). Здесь уже без Солнца никуда! В этом случае, казалось бы, надо использовать гелиоцентрическую модель Коперника, но вполне работает и модель Птолемея, в которой Солнце вращается вокруг Земли. В этой модели, как объяснено во врезке, Земля преспокойно стоит на месте, несмотря на возмущение других миров, населенных мыслящими существами (согласно пословице «Вся рота шагает не в ногу, один поручик в ногу»).

Что же происходит в нашей земной системе координат? В зависимости от времени года солнце всходит и заходит в разное время. Но восходит/заходит оно под разным углом, поэтому меняется скорость восхода и заката. Когда наступает темнота? Когда Солнце достаточно низко «залегает» под уровнем горизонта. (ПОЯСНЕНИЕ. В этом месте, в астрономию вмешиваются… государственные законы. Надо дать юридическое определение, что такое «сумерки». Ведь с наступлением сумерек государство должно потратиться на освещение объектов цивилизации. Вот и появились на свете два вида сумерек: «гражданские сумерки», начинающиеся с глубины залегания Солнца в 6 градусов, и «астрономические сумерки», когда на небе можно различить практически все видимые звезды, начинающиеся с глубины в 18 градусов.) В дни равноденствия Солнце уходит под крутым углом к линии горизонта, поэтому темнеет очень быстро. А в дни солнцестояния угол, под которым заходит солнце, оказывается гораздо более пологим, поэтому темнеет и светает медленно.

В высоких широтах северного полушария (равно как и в низких широтах южного) заметен эффект, который можно назвать «фальшивыми сумерками» — или, более поэтично, «белыми ночами».

Солнце начинает нисходить за горизонт под малым углом, но очень быстро выходит на угол еще меньший, чтобы «успеть быстро выскочить обратно», ибо широта этого места такова, что еще немного, и начнется сплошной полярный день, без всяких сумерек. В итоге еще не кончились вечерние сумерки, как пора уже готовиться к рассвету. Как это было у Пушкина: «Одна заря сменить другую // Спешит, дав ночи полчаса…» И что же получается? Не только не достигнута «глубина залегания Солнца» в 18 градусов (астрономические сумерки), но и даже не дотянули до 6 градусов (гражданские сумерки). Значит, градоначальник не включит освещение, и придется нам уподобиться тому же Пушкину («когда я в комнате моей пишу, читаю без лампады…»). Вот в Питере уже заметен этот эффект — там просто никогда не темнеет до конца. Даже вот это расстояние до Полярного круга (это расстояние примерно 7 градусов в Питере) — оно такое, что не темнеет просто, да и всё тут! 7 градусов под горизонтом позволяет получать от спрятавшегося Солнца вполне достаточную подсветку. Ведь Питер — это 60-я параллель, а 66° и 33 минут (66,5622°) — это Полярный круг, где уже светло, где Солнце 22 июня просто сияет круглые сутки. Из этого, в частности, следует, что в Мурманске на самом деле зимой немного светает, потому что 69-я параллель отличается от 67-й всего на 2 с лишним градуса, поэтому на самом деле зимой в Мурманске в 3 или 4 часа вполне себе светло, просто Солнца нет. Потому что если бы там было темно, то тем более было бы темно ночью в Петербурге летом. Но это ведь не так. Летом в Петербурге достаточно светло, а уж тем более на Соловках, 64-й градус. Соловки и Мурманск симметричны относительно Полярного круга. Поэтому если 22 июня на Соловках можно просто читать газету в час ночи, то значит, что в Мурманске 22 декабря в час дня тоже можно будет читать газету, это будет то же самое состояние светового дня. Это надо понимать, потому что когда вам говорят, что там, в Норильске или Мурманске, никогда не светает в течение полугода, это сказки просто. Светает, каждый день, но солнце не восходит. А вот на Диксоне, да. В порту Диксон на широте 73,5 градусов состояние «22 декабря в час дня» почти такое же, как в Москве «22 июня в час ночи», то есть практически темно, поэтому уже в Диксоне, например, никакого вам не будет «рассвета» в течение пары месяцев подряд. Вот. Учтите это, когда будете планировать ваши путешествия. Все загадки отгаданы.

Слушатель: Нет. Не обсудили про качели.

Задача про качели.

Итак. Начнем с простого. Качели, которые устроены как палка и сидение (рис. 98). Какие у них устойчивые положения равновесия и почему?

Рис. 98. Почему эти качели не поддаются уравновешиванию?

Почему положение уравновешивания (рис. 99) не является устойчивым? Предположим, что качели чуть-чуть покачнулись от ветерка. Они перешли в следующее состояние: (рис. 99).

Рис. 99. Проследим-ка мы, что произошло с центром тяжести системы «доска+спинки».

Видно, что одно плечо рычага после поворота уменьшилось, а другое увеличилось. Поэтому качели наклонятся в сторону большего плеча. И это можно показать математически. Но не нужно. Это давным-давно уже сделано в механике, причем в виде общей и очень простой теоремы: чтобы жесткая система сохраняла равновесие, центр тяжести этой системы должен лежать ниже точки опоры.

А теперь рассмотрим ситуацию, когда у качелей вместо спинок есть держалки для ног (рис. 100).

Рис. 100. Центр тяжести ниже точки опоры.

Пусть опять подул ветерок, и качели наклонились. Опять изменились плечи, только увеличилось то плечо, которое сверху. Поэтому качели потянет вниз, обратно к горизонтальному состоянию равновесия. А дело в том, что теперь центр тяжести НИЖЕ точки опоры (сами поймите, почему).

Но самое интересное, почему качели без спинки и подножки всё равно находятся в наклоненном виде? Здесь и без теоремы ясно.

Дело в том, что у доски есть толщина. И когда качели наклоняются, одно плечо получается на маленький треугольничек больше, чем другое (см. рис. 101).

Рис. 101. Центр тяжести доски понизился.

Он-то и перевешивает качели в сторону.

А теперь — нерешенные проблемы школьной математики. Но прежде я хочу рассказать о том, как мыслят математики, как они решают задачи. Есть такой английский принцип: «Think out of the box», то есть «Подумай, не выглянуть ли за пределы исходного ящика». Давайте посмотрим, как он работает.

Задача:

На плоскости даны три различные по радиусам окружности, не пересекающиеся друг с другом. К каждой паре окружностей проведена пара внешних касательных, и отмечена точка их пересечения (см. рис. 102). Лежат ли три отмеченных точки на одной прямой?

Рис. 102. Рисунок-шутка. (Из-за нарочито небрежно нарисованных пар касательных читателю пытаются внушить НЕВЕРНЫЙ вывод о том, лежат ли точки пересечения пар касательных на одной прямой).

ОТВЕТ: точки пересечения касательных лежат на одной прямой.

А как же быть с рис. 102? Он что, нас обманывает? Да!!! С рисунками это часто бывает. Поэтому делать выводы надо не после беглого взгляда на рисунок, а после строгого математического доказательства (или строгого опровержения).

Доказательство состоит в следующем. Рассмотрим три полусферы, которые пересекаются нашей плоскостью по своим большим окружностям. Представьте себе 3 сферических купола большого, среднего и малого радиуса.

Эти 3 сферы сверху накрываются постепенно опускающейся вниз горизонтальной плоскостью, пока не произойдет касание самого большого купола. (Такая плоскость ровно одна.) Теперь (глядя на рис. 102 и мысленно выходя за пределы исходной плоскости) будем «вертеть» получившуюся плоскость до тех пор, пока она, оставаясь касательной к большому куполу, не коснется среднего купола; затем вертим ее дальше (не теряя точек касания с большим и средним куполом), пока она не коснется малого купола. Такая «трижды касательная плоскость» уже ровно одна (здесь надо предполагать, что центры окружностей не лежат на одной прямой). Так вот. После очень простых соображений становится очевидно, что наши отмеченные точки лежат в этой новой плоскости.