Алексей Лосев – Диалектические основы математики (страница 98)

a) Остается, следовательно, третья и последняя диалектическая ступень в области чистого числа в себе. Сущность и явление синтезируются в нечто третье, в категорию, которую можно называть по-разному и которая в разных системах диалектики носит разные названия. Назовем ее по нашему обыкновению (ср. § 9) действительностью. Действительность есть сразу и сущность, и явление, их абсолютное неразличимое тождество и субстанциальное слияние. Возникает вопрос, что же в математике является действительностью числа, если сущность его арифметична, а явление алгебраично-аналитично?

b) Надо подыскать такую категорию, которая бы давала инобытийно-числовую обработку арифметической величины и которая, с другой стороны, превращала бы инобытийно-числовую опосредствованность в числовым образом непосредственно данную структуру. Такой категорией является категория вектора. Вектор математически определяется как величина, определенным образом направленная, в отличие от скалярной величины, которая определена только количественно и не содержит в себе никакого момента направленности. Вдумываясь в это понятие, мы в нем как раз и находим искомый нами синтез сущности и явления.

c) В самом деле, инобытие, не меняя самой сущности, вовлекает ее в поток становления и облекает в эти внешние для нее инобытийные одежды. Инобытие размывает, растягивает сущность, тянет ее по необозримому полю алогического. Сама же по себе сущность должна оставаться неизменной. Следовательно, ища синтезы сущности и явления, бытия числа в себе и его инобытия, мы должны взять инобытие, но понять его как неизменную сущность. Инобытие есть цепь тех или иных изменений, а сущность по самому смыслу своему неизменна. Синтез того и другого может поэтому осуществиться только тогда, когда инобытие потеряет свою изменчивость и станет неизменным (как сущность). Но потерять свою изменчивость в абсолютном смысле оно не может, ибо тогда оно войдет в синтез уже не как инобытие, которое всегда изменчиво. Стало быть, условия диалектического синтеза требуют, чтобы инобытие теряло здесь не изменчивость вообще, но разнообразную, не приведенную к единству изменчивость. Изменчивость объединится с постоянством не тогда, когда она совсем уничтожится (тогда что же и будет вступать в синтез с постоянством?), но тогда, когда оно преобразится в вид, где найдет свое место и момент постоянства. Такой категорией, в которой нейтрализуется инобытийная изменчивость и неизменность сущности, является категория направления. Направление, с одной стороны, по самой своей природе инобытийно, так как оно предполагает предмет, который так или иначе направлен. В нем есть то становление, которое необходимо для всякого инобытия, и есть необходимый момент алогического, поскольку не говорится, что именно направлено, а мыслится только самое направление. С другой стороны, это совсем не то, что буквы в алгебре. Буквы в алгебре сами по себе не имеют непосредственного значения. Непосредственное значение имеют только арифметически понимаемые числа и действия; в алгебре же – опосредствованное значение чисел и действие чисто символическое или, вернее, вообще сигнификативное: направление в этом смысле вполне непосредственно. Будучи по природе инобытием, оно, однако, оказывается только такой же непосредственностью, как и сама сущность. Направление есть переход сущности в инобытие, в явление, в изменчивость, но оно не косвенно и не изменчиво, не инобытийно в смысле опосредствованности и символичности, но вполне самостоятельно, непосредственно, постоянно и определенно.

Таким образом, число в направлении осуществлено инобытийно наподобие того, как аргумент в функции осуществлен инобытийно, а функция в направлении осмыслена путем перехода в неизменную сущность и получения старым «аргументом» непосредственности и самостоятельности. Направление, кроме того, берется не само по себе, но как момент вектора. Вектор есть не только направление, но и количественно данная величина того, что направлено. Этим подчеркивается как участие арифметического принципа числа, так и участие инобытия, в котором этот принцип осуществлен.

d) Итак, векторное исчисление вместе с его усложнением – тензорным исчислением – есть наука, вырастающая на действительности числа. Наивысшей конкретизации векторно-тензорное исчисление достигает в конструкции векторно-тензорного поля, где число получает, с одной стороны, особого рода гистологическую, а с другой стороны, социальную структуру. Вместе с введением кватернионов получается наивысшая фигурно-телесная и выразительная структура числа, ставшего как бы живым социальным телом, последней формой конкретизации, на которую способно «число в себе».

a) Итак, число-сущность, число-явление и число-действительность, если ограничиться сферой вообще числа в себе, есть не что иное, как число арифметическое, число становящееся (или аналитическое, как ниже увидим, – бесконечно-малая величина) и число направленное (вектор). Это и есть наше основное деление всей сферы интенсивного числа вообще. Что же касается развитого выше понятия функции, то ясно, что антитеза непосредственной и функциональной значимости числа войдет в каждую из намеченных трех основных областей интенсивного числа, находя каждый раз свои эмпирические синтезы и дальнейшую эволюцию этих синтезов. В частности, то, что называется обычно алгеброй, т.е. учением, связанным с функциями постоянных величин, войдет, очевидно, в первую из указанных трех областей, где эта алгебра, противопоставляясь арифметике, будет синтезирована в дисциплины, предполагающие одинаковое участие как арифметики, так и алгебры. Это то, что вообще можно было бы назвать алгебраической арифметикой или арифметической алгеброй, куда войдут такие, напр., учения, как учение о формах, теория инвариантов и др.

b) Обратим в дополнение еще внимание на некоторые терминологические моменты.

Хотя и вполне понятно именование числа в случае тезиса числа в себе как положенного и хотя вполне правильно, что тут перед нами именно бытие числа, – целесообразно, имея в виду масштаб всего исследования, называть эту начальную диалектическую ступень числа не бытием. Ведь к понятию числа вообще мы теперь уже не вернемся и будем считать его вполне понятным и проанализированным. А то, что мы сейчас называем бытием числа, будет для нас исходным пунктом для всего дальнейшего анализа. Если в отношении к чистой категории числа как к числовому перво-акту это утверждение цельного числа есть реальное бытие числа, то в отношении к дальнейшему оно будет тем основным и единственным существом, сущностью, из которой все остальное будет появляться только путем тех или иных диалектических операций. Чистая категория числа как бы носится над всей числовой стихией и как бы не принимается во внимание при анализе конкретных видов и типов числа. Но тогда среди этих последних должна существовать такая группа явлений, которая оказывается существенной в отношении прочих групп этих явлений. Конечно, подлинной и последней сущностью числа является самая категория числа, число как перво-принцип. Но, повторяем, в целях удобства построения и изложения целесообразно эту категорию принимать как до-категориальный перво-принцип, а «сущность» находить уже среди конкретизации того, что находится под этим перво-принципом.

Заметим, что в истории философии такой метод бывал не раз. Так, у неоплатоников «сущность», «сущее» есть именно второй принцип, существующий не там, где «единое», но там, где ум и идеи. Ум не первоначален, хотя он – сущность всего существующего.

c) Таким образом, область «числа в себе» делится [на] –

I. Сущность числа. Натуральный ряд чисел. Типы числа. Арифметические действия над числами. Алгебра. Алгебраическая арифметика, или «алгебраический анализ».

II. Явление числа. Скалярный математический анализ (дифференциальное, интегральное, вариационное исчисление).

III. Действительность числа. Учение о векторах. Векторно-тензорное исчисление.

§ 82.

Терминологические замечания

Относительно предложенной диалектической системы необходимо сделать ряд замечаний, долженствующих оправдать некоторое расхождение с обычным явлением соответствующего математического материала. С таким расхождением мы будем встречаться нередко; и необходимо по возможности указывать на его наличие.

Относительно существующих руководств и пособий по математике необходимо сделать общее замечание. Все они появились в результате определенных исторических, психологических и педагогических мотивов и часто почти не преследуют целей логической последовательности системы. Так, материал, известный теперь под названиями «арифметика» и «алгебра», настолько разношерстен, что объединить его в какую-нибудь единую систему совсем невозможно. То, что полегче и что можно дать детям младшего возраста, отнесено к «арифметике», а то, что потруднее, – к «алгебре». С такой педагогической точкой зрения должны считаться педагоги, но не философы, преследующие цель логически последовательной систематики. Приходится или выбросить совсем такие термины, как «арифметика», «алгебра», «анализ», или придать им условный смысл и в дальнейшем уже не выходить за рамки принятого словоупотребления. Выбросить такие старые и популярные термины, конечно, невозможно. Но тогда надо вкладывать в них какое-то определенное и вполне точное логическое содержание, хотя оно и было только условным.