Алексей Лосев – Диалектические основы математики (страница 97)

Только на почве этой последней науки возможны все завершительные и выразительные формы математики, но не на почве интенсивно-экстенсивно-эйдетического числа.

Таковы четыре основные области философии числа, построенной в виде диалектических оснований математики.

I. Интенсивное число, число в себе. Арифметически-алгебраически-аналитическое построение числовой системы.

II. Экстенсивное число, число вне себя. Континуально-геометрическое построение числовой системы.

III. Эйдетическое число, число для себя. Аритмологическое построение числовой системы.

IV. Фактическое (прагматическое) число, число для иного. Теоретико-вероятное построение числовой системы.

I.

ЧИСЛО ИНТЕНСИВНОЕ

ВСТУПЛЕНИЕ

§ 81.

Разделение

«Число в себе» есть сложная область числовых конструкций, объединенных принципом чистого полагания, без перехода в область, абсолютно-инобытийную в сравнении с чистым полаганием. Это чистое полагание, однако, в свою очередь может быть рассматриваемо с самых различных точек зрения. Мы уже хорошо знаем, что решительно каждая категория может быть с любой степенью детализирована путем введения в нее или, вернее, путем повторения в ней всех прочих категорий. Кажется, категория отражает на себе все другие категории диалектической системы, и только изучение возникающих тут структур и делает понимание данной категории вполне конкретным. Теперь и возникает необходимость разделения общей области числа в себе согласно обычным диалектическим делениям, из которых основным делением, конечно, является триадное деление (бытие, инобытие и становление).

Мы имеем число в себе. Это «в себе» можно понимать, во-первых, в его непосредственной данности, «в себе» как таковое. Оно, во-вторых, может перейти в свое инобытие. Конечно, это не то континуально-геометрическое инобытие, в которое переходит «число в себе», если последнее брать во всей исчерпанности его категориальных структур. Когда построено все «число в себе» и исчерпаны все его основные структуры, тогда переход в дальнейшее инобытие есть переход в континуально-геометрическую среду. Но сейчас мы пока еще ровно ничего не построили в сфере «числа в себе», а только утвердили голый факт существования такого «числа в себе». Спрашивается: какое же инобытие здесь возможно, в чем заключается это инобытие?

Голый факт «числа в себе» говорит нам о непосредственном бытии «числа в себе». Инобытием, и притом инобытием до перехода в континуально-геометрическую сферу, может быть только такое «число в себе», которое, оставаясь самим собою, дано в другом виде, является иначе выраженным, выраженным при помощи иных средств.

Голый факт числа в себе есть, конечно, натуральный ряд чисел и все арифметические операции над числами.

Инобытие арифметического построения без перехода в геометрию должно быть теми же арифметическими числами и теми же действиями над ними, но выраженными так, чтобы арифметика осталась внутри, осталась внутренним принципом, в отношении которого данное инобытие оказалось бы только символом. Вообще ведь всякое реальное инобытие должно быть в отношении своего бытия символом, раз оно от него зависит и косвенно на него указывает. Что же это за инобытие?

a) Значит, тут мы оперируем с числами и производим над ними арифметические действия. Но тут, в этом инобытии, нас, однако, интересуют не самые числа и действия над ними в их непосредственной данности, но они же – в их инобытийной выраженности. В геометрии покинута совсем самая сфера чистого «числа в себе». Здесь она отнюдь не покинута. Она остается на месте. Но надо дать ей инобытийное выражение. Чтобы это сделать, необходимо отбросить непосредственное значение чисел и действий и оставить их только в виде знаков, символов, куда можно было бы подставить любые значения чисел и даже любые действия. Это достигается употреблением буквенных выражений и введением понятия функции.

Что значит употребление в алгебре буквенных символов? Это значит, что мы отвлекаемся от непосредственных значений числа и даем их в общем виде. Если я пишу ax² + bx + c, то здесь ровно ничего не сказано ни об a, ни о b, если под ними понимать числовые значения. Тут могут быть какие угодно значения. Дело не в них. Дело в определенных взаимоотношениях, существующих между x и этими a и b. Другими словами, сущность этого явления заключается в том, что здесь даны не арифметические значения чисел, но функциональные отношения между величинами, арифметическое значение которых остается вне всякого интереса. В функции не важны значения величин, между которыми она установлена. Значит, уже по одному этому здесь – инобытие арифметики, инобытие «числа в себе». Но здесь, кроме того, полнейшая аналогия арифметических свойств и действий, далекая от всякой геометрии, а состоящая все из тех же свойств и действий числа, из которых состоит арифметика. Значит, здесь именно то инобытие, которое мы ищем.

b) Буквы заменяют здесь непосредственное значение чисел. Но в анализе мы оперируем с выражениями, которые также заменяют и непосредственное значение, значение действий. Когда мы пишем y = f(x), то во многих случаях в анализе нам совершенно не интересно, какая именно эта функция. Важно, что y есть функция от x. А какая эта функция, часто совершенно не важно. Следовательно, как в алгебре буква выражает собою обобщенное значение числа, так в анализе f(x) выражает обобщенное значение действий. В первом случае можно подразумевать любые числовые значения, во втором случае можно подразумевать любые действия над числами.

c) Диалектическое место учения о функциях становится яснее, если мы употребим соответствующие термины. Арифметика во главе с натуральным рядом чисел, разумеется, играет роль самого основания всех математических представлений и действий. Можно сказать, что все действия в математике есть не что иное, как усложненный счет. Что бы мы ни делали в математике, мы всегда так или иначе считаем, занимаемся счетом: все действия суть или просто счет, или модификация счета. Поэтому будем вполне правы, если ту область чистого числа в себе, которая состоит из непосредственного значения чисел, назовем сущностью числа. Действительно, все, что есть в математике, имеет своей сущностью непосредственное число и непосредственный счет. По сравнению с этим как нужно квалифицировать учение о функциях? Функция есть совокупность всех действий, которые необходимо произвести над аргументом, причем числовое значение самого аргумента неизвестно и неинтересно. Это значит, что в функции мы имеем инобытийную судьбу аргумента в условиях не-данности самого аргумента, т.е. не-данности самой сущности того, судьбу чего мы преображаем. Такую конструкцию удобно назвать явлением. Явление противостоит сущности как нечто само по себе несущественное. Сущность есть смысл; явление же, взятое само по себе, есть нечто алогичное по сравнению с сущностью. В явлении (опять-таки, подчеркиваем, если его брать как таковое, т.е. как противоположность сущности) нет самой сущности (иначе оно и не было бы противоположностью сущности); в нем сущность неизвестна, она есть какой-то неразгаданный x. Можно только наблюдать судьбу этого x, т.е. что творится с ним, независимо от его подлинного смысла и значения. Такое инобытийное конструирование сущности есть явление. И учение о функциях в противоположность непосредственному арифметическому значению чисел есть учение о числе как явлении. Арифметика – учение о сущности числа; алгебра и анализ есть учение о явлении числа, о внешнем (и потому не дающем внутренней значимости) явлении числа.

Однако категории эти («сущность», «явление» и, еще дальше, «действительность») суть общедиалектические категории, повторяющиеся решительно во всякой специальной области знания и науки. Кроме того, учение о функции в связи с этими категориями также было намечено нами в предыдущем изложении (§ 76). Сейчас необходимо приступить к более расчлененной фиксации математического разделения, чтобы эти категории получили окончательную конкретизацию.

Антитеза непосредственного и опосредствованного числового бытия остается в математике основной. Однако есть еще одна антитеза, которая объединяется с нею, и из планомерного объединения с нею и рождается обычное разделение математики в данной области. Именно, в сфере самой непосредственности возможно мыслить свое инобытие, подобно тому как мы мыслим его в отношении всей непосредственности числа как таковой. Такое инобытие превращает устойчивое тело в становящееся, или, выражаясь математически, превращает постоянную величину в переменную. Поэтому функция, которая есть в сравнении с непосредственным числом бытие опосредствованное, может быть как функцией постоянных величин, так и функцией переменных величин. Точнее, однако, надо говорить о бытии и о становлении величин. Алгебра относится как раз к учению о функциях постоянных величин, в то время как анализ преимущественно занят функциями переменных – точнее, становящихся – величин. Как функция в отношении непосредственной значимости числа, так и становящаяся величина в отношении постоянной есть «явление», поставленное в связь с «сущностью», есть, стало быть, сущность и явление и за пределами непосредственного числа.