Алексей Лосев – Диалектические основы математики (страница 90)

Такое положение дела еще более заостряется, если мы примем во внимание т.н. соотношение неопределенности, формулированное Гейзенбергом. Пусть мы точно определили скорость частицы. Если так, то ведь сделать это могли только при помощи установления системы плоских гармонических волн с одной и той же амплитудой во всем пространстве. Но это значит только то, что положение нашей частицы оказалось совершенно неопределенным. Пусть мы точно зафиксировали положение частицы. Это можно сделать только путем сведения протяжения волнового пакета к нулю. А это значит, что скорость нашей частицы оказалась совершенно неопределенной, так как при этом условии одинаково вероятны все значения и направления скорости. Чем точнее определяется скорость, тем расплывчатее оказывается положение; и, чем точнее положение частицы, тем неопределеннее оказывается ее скорость.

Это соотношение нельзя толковать как печальную необходимость наблюдателя ограничиваться слишком несовершенными способами при измерении столь малых расстояний. Тут нет ни малейшего субъективизма. Тут – объективная картина той неопределенности, которая царит на изучаемом участке реального бытия. И это, собственно говоря, есть не столько неопределенность, сколько отсутствие детерминизма и механи[ци]зма. Ньютоновская механика предполагает механистический детерминизм бытия. Здесь абсолютно точно вычисляется наперед и положение частицы в зависимости от скорости и пройденного пути, и скорость в зависимости от достигнутого положения. Волновая механика в этом смысле индетерминистична: она оставляет «свободу» самоопределения частицам, откуда и вытекает столь большое значение идеи вероятности, связующей частицы и волны в одну цельную картину. Раньше думали, что электрон – это определенный индивидуальный электрический заряд, т.е. прерывистый заряд, связанный с той или иной орбитой. Теперь же оказалось, что электроны представляют собою непрерывное распределение заряда с плотностью, пропорциональной интенсивности волн (вышеуказанной величине ψ²). Атом как бы размазан, расплывается по «пространству», причем само это «пространство», по-видимому, надо считать впервые только еще образующимся, а не существующим заранее наподобие абсолютной однородности эвклидовского пространства. В сложных атомах эти волны образуют многомерное пространство. Но это последнее тут вовсе не фикция, раз оно определенным образом характеризует процессы трехмерного пространства.

Разумеется, набросанные только что мысли о «неэвклидовской» вероятности нисколько не могут претендовать на обстоятельность и полную ясность, так как это относится к специальной науке, теоретической физике, которая как раз теперь переживает небывалый кризис, требующий разъяснения самых первичных основ знания. Но вышенабросанные мысли претендуют на то, чтобы дать аксиоматическую установку на определенный участок математической мысли; и такая необычная вещь, как соединение идеи вероятности с разнородным пространством, осталась бы слишком отвлеченной, если бы мы не указали соответственного физического аналога. С этой точки зрения уже имела бы значение простая ссылка на волновую механику, а не только попытка кратко формулировать относящийся сюда феномен.

Сообщение идеи вероятности с разными типами пространства имеет для нас исключительно важное значение еще и потому, что вероятность, относясь к бытию модальному, есть бытие максимально конкретное. Его мы выше (§ 9) характеризовали как бытие историческое, ибо в нем учитывается его самопроизвольность, которой совершенно нет в других типах числового бытия. Но с другой стороны, если брать геометрию, то ни топология, ни проективная геометрия, ни аффинная не есть полнота определений пространства. Только метрическое пространство дает наглядную физиономию пространственной фигуры; но метрика эта бывает разная, и эвклидовская метрика – наиболее бедная и бессодержательная. Вот почему идея вероятности в соединении с неэвклидовскими математическими точками зрения есть максимально конкретная позиция в математике вообще; и открывающееся здесь выразительное бытие числа обладает и наивысшей свободой самоопределения, и самыми богатыми физиономическими возможностями.

Тут – естественный конец аксиоматики.

f) Общее заключение

§ 74.

Итог аксиоматики

Мы проделали большую работу. Обозреть всю диалектическую судьбу числа как суждения – это значит построить огромную диалектическую систему; и кому хоть что-нибудь неясно в этой системе, тот должен затратить всякие усилия для достижения ясности, ибо, кто не обладает последней ясностью в диалектике аксиом, тот не сумеет разобраться ни в чем последующем. Правда, ясность мысли и ясность слова – совершенно разные вещи, и они часто не совпадают. Автор настоящего исследования имеет такие диалектические мысли, которые кажутся ему предельно ясными, но он не может этого сказать решительно о всяком своем слове, так как воплощение сложных диалектических построений в словах всегда означает напряженнейшую борьбу с человеческим языком, который упорно и даже отчаянно сопротивляется, когда его заставляют выражать что-нибудь отвлеченное. Поэтому надо еще раз обозреть всю нашу диалектическую аксиоматику, минуя детали, но лишь соблюдая единство картины, чтобы добиться и в словах той абсолютной ясности, которая присуща прочно продуманной мысли.

Аксиоматика (и вообще всякая диалектика) основана на последовательном созревании категорий. Если уловлена эта последовательность, значит, уловлено все. Но всякая последовательность содержит в себе какое-то начало, какой-то закон развития и какой-то конец. Уловивши эти моменты, мы улавливаем и всю последовательность.

Итак, аксиоматика предполагает какое-то начало. Что это за начало? Начало должно быть максимально просто, максимально несложно. Дойдя до последней простоты, мы доходим до подлинного перво-принципа. Что же это за перво-принцип в математическом суждении? Что такое то, проще чего не может быть [ничего] ни в каком математическом суждении? Если мы возьмем арифметику, то таким абсолютно простым началом всякого суждения будет, очевидно, единица. Нет ничего проще единицы. В геометрии таковым перво-принципом является точка, ибо в пространстве нет ничего проще точки. В теории множеств таковым перво-принципом необходимо считать элемент, который от единицы отличается идеей порядка, а от точки – идеей чисто количественной осмысленности. Наконец, теоретико-вероятностным перво-принципом является модальное отношение, или событие, рассмотренное в свете модального отношения; это и есть вероятность.

Таково начало аксиом в различных математических науках. Едва ли можно спорить об этом; во всяком случае о единице и точке не может быть никаких сомнений. Перво-принцип вообще есть абсолютно простейшее во всякой данной области. Число, взятое в своей последней простоте и свободе от всего иного, есть перво-принцип всей математики, подобно тому, как чистое полагание есть перво-принцип самого числа. Но вот мы переходим к первым определениям числа, т.е. рассматриваем число как суждение, раскрывающее существенные свойства тела и тем его определяющее; другими словами, вот мы переходим к отдельным математическим наукам. И наш общий перво-принцип, число, превращается в целый ряд конкретных, специфических перво-принципов. Это и есть единица, точка, элемент и ее бытие (модальное отношение).

a) Итак, мы знаем начало нашей аксиоматики. Теперь посмотрим, где же ее конец. Если начало – максимально просто, то конец, как последняя зрелость, максимально сложен. Какая только может быть сложность наших перво-принципов, она тут должна быть, если мы охватим всю их судьбу целиком. Но нельзя ли более точно описать этот максимально зрелый конец аксиоматического перво-принципа? Ведь «максимальная сложность» характеризует этот предмет слишком формально, т.е. слишком пусто. Диалектик ясно ощущает границу и предел этой зрелости и сложности. А именно, он наблюдает развитие своего предмета до той степени сложности, пока последний остается самим собою. Если наступает усложнение предмета, переходящее в его распадение, – тут предел интересующей нас сложности. Но когда вещь распадается? Она распадается тогда, когда отдельные ее части становятся абсолютно чуждыми одна другой, когда они абсолютно иные одна другой, и иные не по смыслу просто (в таком виде они еще входили в цельную вещь и нисколько не разрушали ее цельности), но иные по своей субстанции. [Это] значит, что распадение есть вмещение в себя своего субстанциального инобытия. Итак, признаком последней допустимой сложности предмета является вмещение им в себя своего смыслового (а не просто субстанциального) инобытия. Вмещение дальнейшего инобытия будет уже разрушением и переходом в иную предметность.

b) Возьмем арифметический перво-принцип, единицу. Поскольку она есть максимальная простота, мы можем добиться здесь максимальной сложности только путем того или иного комбинирования единиц. Это комбинирование может быть каким угодно, лишь бы только сохранялось выставленное только что условие, т.е. лишь бы только получаемый отсюда результат сохранял в себе непосредственное значение всех вошедших в него единиц, с ясным обнаружением самого закона комбинирования. Покамест соблюдается это условие, мы никогда не разрушим и не отбросим ни одной единицы, с которой происходит та или иная операция. Мы можем взять систему единиц: получится самое обыкновенное арифметическое число, не нарушаемое никакими инобытийно субстанциальными прохождениями, ни как целое, ни как составленное из отдельных единиц. Мы можем взять систему систем единиц: получатся те или иные ряды чисел с теми или иными законами структуры этих рядов, но все входящие сюда единицы будут как на ладони, будут в своем непосредственно-очевидном бытии, и никакая внешняя сила не раздробит получающегося здесь сложного единства. Мы можем взять систему этой системы систем, потом систему полученной таким образом сложной системы, и т.д. и т.д., и – мы нигде не найдем уничтожения, отпадения тех или иных единиц, нигде наши единицы не перейдут в нечто такое, что уже потеряло смысл непосредственной очевидности и стало инородным телом в полученной совокупности.