Чем, в сущности, занималась аксиоматика и что такое аксиома? До сих пор мы попросту говорили, что числу, как суждению, соответствует аксиома. Сейчас же этот вопрос необходимо расчленить, так как иначе не будет понятен переход к умозаключению.
Именно, суждение есть, как мы знаем, положенное понятие. Положить, или утвердить, – это значит обвести границей, определить. Строго говоря, в том, что мы до сих пор называли суждением, самым важным был именно этот момент определения. Аксиома, строго говоря, и есть не столько суждение вообще, сколько именно определение. Ведь бытие и инобытие, синтезируясь в становление, дают еще более ранний синтез, т.е. предшествующий становлению и являющийся его предусловием, это сама граница, определенность, определенное бытие. Мы знаем, что тот и другой синтез могут выдвигаться по мере надобности. Так вот, говоря о суждении, дедуцируя аксиоматику, мы еще не имели нужды в том расчленении и могли говорить о суждении, не обращая особенного внимания на то, есть ли это действительно суждение вообще или это специально определение.
Суждение отличается от определения так, как становление отличается от определенного бытия. В определении суждение есть положенное понятие плюс его исчерпывающее раскрытие; т.е. положенность не вообще понятия, но понятия во всем его смысловом содержании. Определить что-нибудь – это и значит исчерпать все его «признаки». Для суждения же этого вовсе не требуется. Суждение дает только голую положенность понятия – независимо от раскрытия и исчерпания всего его содержания. Содержание остается нераскрытым; содержание мыслится – каким угодно становящимся, и акт полагания понятия скользит по этому полю инобытия – как угодно далеко. Если говорится: «Иван спит», то ведь таких предицирований может быть сколько угодно, и тут не ставится никаких целей исчерпания того смыслового содержания, которое зафиксировано в слове «Иван».
Итак, если иметь в виду определенность положенного понятия, то мы получаем не суждение вообще, но определение. А если иметь в виду главным образом чистую положенность понятия, то мы получаем суждение.
Однако и тут вполне позволительна и даже совершенно необходима еще одна дистинкция. Кроме положенности, адекватно исчерпывающей полагаемое, и положенности как простого факта полагания, как пустой и голой положенности, возможна еще та или другая степень наполнения положенности. Положенности может давать и не голый факт полагания, и [не] все полагаемое содержание целиком, а только некоторое содержание, частичное содержание. В таком случае необходимо расчленить и соответствующие математические понятия. Голая положенности понятая (т.е. в нашем случае числа) даст, очевидно, некую модификацию числа, а так как полагание в данном диалектическом месте есть полагание становления, становящееся полагание, то голая положенности числа приведет к становлению из прежнего, полагаемого числа в новое, модифицированное число. Такой непосредственный переход от одного непосредственно значимого числа к другому непосредственно значимому числу есть действие, операция (напр., сложение, умножение, дифференцирование и пр.). Та или другая степень наполнения этих операций и новое осмысление их через операционно выставленное понятие даст уже не просто самые операции, но их предназначенность для какой-нибудь специальной числовой установки. Это и будет теорема. Таким образом, математическая операция есть число, данное в своем чистом становлении из одного числа другим, или просто чистое становление одного числа другим; другими словами – это числовое понятие (число), данное как чистое становление. Математическая же теорема есть число, данное в своем заполненном становлении из одного другим, или, проще, заполненное становление одного числа другим, это числовое понятие (число), данное как заполненное становление. Тогда аксиома – это число, данное [как] самоадекватная определенность; это числовое понятие (число), данное как определенность числа.
Ясно, что выставленные в предыдущем исследовании аксиомы суть именно определения, а не суждения вообще. Суждение более ослабленно, чем определение; оно – частичнее и неопределеннее. Суждению в математике соответствуют не аксиомы, а более частные положения, менее общие. Сюда относятся все математические операции со всеми соответствующими теоремами – все то, что выводится из аксиом как их более частный случай.
Но здесь возможно еще одно членение, так как ставшее становление можно взять и со всем тем, что именно участвует в этом ставшем становлении, можно взять и как голый факт ставшеста. И вот тогда-то мы переходим к умозаключению и к новому математическому понятию, к функции.
§ 76.
Понятие функции
Как суждение относится к определению, так умозаключение относится к суждению. Все же это есть повторение того, как суждение относится к понятию и как, наконец, понятие – к своему перво-принципу. Везде тут главным условием появления новой категории является акт полагания предыдущей категории. Перво-принцип полагает себя – образуется понятие, поскольку последнее есть совокупность признаков (т.е. некая определенность, т.е. ограниченность, т.е. положенность) и исчерпание, различение того, что само по себе неразличимо. Понятие полагает себя – образуется определение, в котором подчеркнута эта его исчерпанность. Определение полагает себя – образуется переход к становящемуся перечислению признаков, или суждение. Суждение образует себя – образуется умозаключение.
Когда высказывается:
«Все идеалисты – контрреволюционеры»,
то это значит, что на общем фоне контрреволюции полагается понятие идеализма; отсюда это суждение об идеалистах. Сначала было положено понятие контрреволюции, и из этого получилось отграничение контрреволюции ото всего другого, и тем самым в проведенных границах образовалась возможность появления отдельных видов контрреволюции. Тут могли быть архиереи, проститутки, кантианцы, фабриканты, содержатели притонов и пр. и пр. Мы совершаем некий определенный акт полагания в этой общей, но строго отграниченной области и получаем специальный вид контрреволюции – идеализм. Но пусть теперь мы положим не понятие, а некое содержание, – например, суждение
«все идеалисты – контрреволюционеры».
Это значит, что мы очертили, отграничили новую область, которая благодаря именно своей отграниченности оказывается склонной к дроблению, к дальнейшему выявлению деталей. Среди идеалистов могут оказаться Деборины, Лупполы, Лосевы и т.д. Если мы совершим какой-нибудь акт полагания уже в этой только что отграниченной области, то это сейчас же приведет нас не к суждению (которое мы уже имели), но к совершенно иному логическому построению, к умозаключению. И мы получим:
Все идеалисты – контрреволюционеры.
[Лосев] – идеалист.
[Лосев] – контрреволюционер.
В умозаключении (так же, как и относительно суждения) возможна большая расчлененность. Суждение может быть взято как исчерпанность всего смыслового содержания полагаемого понятия; тогда это не суждение, а определение. В первоначальной диалектической конструкции этому соответствует не становление вместе с тем, что именно участвует в становлении, но чистое становление, чистые акты полагания (независимо от полноты или неполноты полагаемого содержания). Точно так же и умозаключение. Оно может быть взято вместе со всем своим конкретным содержанием и может быть взято чисто инобытийно, просто как формальная объединенность двух или ряда суждений, просто как вообще положенность суждения. Этому будет соответствовать в первом случае ставшее вместе с тем, что именно тут «стало»; и во втором – чисто ставшее, чистый факт перехода от одного суждения к другому (независимо от того, каково именно смысловое содержание фиксируемой ставшести).
Если перво-принципу соответствует числовой перво-принцип, неразличимое перво-число, принципу (или понятию) – категориальная структура числа, определению – аксиоматика, суждению – отдельная математическая операция, определенному умозаключению – теорема вместе со своим доказательством, то чистому, голому умозаключению, из которого исключено все смысловое содержание и в котором оставлена только формальная последовательность суждений или актов полагания, этому умозаключению соответствует в математике понятие функции.
Когда мы пишем в математике y = f(x) – что мы имеем в виду? Мы просто имеем в виду, что с x производится ряд действий. Пусть y = 3x2 + 5. Это значит, что мы возводим x в квадрат, умножаем его на 3 и к этому прибавляем еще 5. Совокупность всех этих действий с x и есть функция x. Но нужно ли для этого знать количественное значение x? Это совершенно не необходимо. Когда мы говорим, что y есть функция x, то этим мы как раз хотим сказать, что независимо от количественного значения x, [величина] y именно вот таким, а не иным образом зависит от x. Функция и есть эта зависимость между y и x, рассматриваемая совершенно без всякого учета их количественного содержания.
Ясно, что это та же картина, что и в чистом умозаключении. Беря чистое умозаключение, мы оперируем только с формальной последовательностью суждений; и так как в диалектическом смысле суждение есть становящееся полагание, то умозаключение как объединенность разных становлений есть, очевидно, не само становление, но его результат, т.е. не становление, а ставшее или, как еще иначе называют в диалектике эту категорию, наличное бытие. Это акт полагания как ставшее. Если бы мы имели в виду все смысловое содержание данного акта полагания, то нам пришлось бы выставить много разных суждений и, точно соблюдая их последовательность, дать такой вывод, который в точности бы соответствовал исходному акту полагания. Тогда это было бы доказательством исходного положения. Таково доказательство любой математической теоремы. Но мы тут отвлекаемся от смыслового содержания данного положения, и его законченное доказательство рассыпается на ряд отдельных умозаключений. Это и суть не [что] иное, как отдельные функции.
