Алексей Лосев – Диалектические основы математики (страница 63)

· Измеримое множество обладает точками плотности и точками сгущения. Точка a есть точка плотности множества, если отношение

μ(δ) / mes δ,

где δ – интервал, содержащий a внутри, стремится к 1, когда δ стремится к нулю. Та же самая точка есть точка разрежения, если это отношение стремится к нулю вместе с δ.

· Если mes M = 1, всякая точка области [0, 1] есть точка плотности, и, если mes M = 0, всякая точка есть точка разрежения.

Обращаясь к геометрической аналогии, мы находим, что никакое измеримое множество M меры 1 не может быть равномерно расположенным на области [0, 1]. Тут всегда будет, по крайней мере, одна точка плотности и одна точка разрежения, т.е. на этой области имеются два интервала равной длины и неперекрывающиеся, из которых один насыщен точками M, а другой, наоборот, ими беден. Таким образом, всякое измеримое множество меры не 0 и не 1 не будет равномерно покрывать область [0, 1], но

«будет лежать на ней как бы сгустками, будучи слишком уплотненным в одних частях этой области и слишком разреженным в других».

Соответственно надо говорить и о последовательности измеримых функций (такова теорема Д.Ф. Егорова о наличии совершенного множества с равномерной сходимостью последовательности функций) и вообще об измеримых функциях. Для того, чтобы функция f(x), конечная почти всюду на [0, 1], была измеримой функцией, необходимо и достаточно, чтобы, как бы мало ни было положительное число ε, существовало на [0, 1] совершенное множество P, обладающее свойствами:

1. f(x) непрерывна на P,

2. mes P > 1 – ε.

Совершенно ясно, что во всех этих представлениях меры мы все время имеем дело с непрерывностью, т.е. со становлением, но только это не просто становление (иначе у нас получился бы теоретико-множественный континуум), но становление, рассмотренное с точки зрения едино-раздельности, т.е. измеряемое становление.

c) Необходимо также заметить, что здесь мы, как и соответственно выше, в § 2c, в отношении геометрии пришли только к самому общему понятию меры. Собственно говоря, если строго придерживаться рамок нашей общей категории становления, которую мы сейчас изучаем, мы можем утверждать сейчас только то, что существует измеримость множества вообще и больше ничего. Представление множества с точки зрения единораздельности, когда мы имеем в качестве самой сложной категории только категорию типа, было совершенно лишено всякого элемента измеримости, или, иначе, мера чистого и основного множества (счетного множества) – нуль. Теперь же мы приходим к тому выводу, что измеримость может быть и не только нулевой, – только об этом и говорит нам категория становления. Если же мы захотели бы исследовать разные типы измеримости, то это было бы равносильно исследованию разных типов становления, т.е. тут нужен был бы выход за пределы самой категории становления. Но это в полной мере совершится только после перехода нашего становления в ставшее и далее, наконец, в выразительную форму.

Наконец, бросим взгляд на теорию вероятностей в смысле того, как наличная в ней сфера становления испытывает на себе воздействие аксиом едино-раздельности.

Становление, взятое само по себе, есть процесс, последовательность. Когда мы оформляли его при помощи арифметических действий, мы получали ту или иную последовательность чисел. Когда это оформление совершалось у нас при помощи геометрических построений или теоретико-множественных операций, мы получали последовательность тех или иных вариаций пространства или множеств. В теории вероятностей мы тоже должны получить такую последовательность, которая бы свидетельствовала о размеренности ее с точки зрения тех или иных теоретико-вероятностных операций. Процессуальность вероятностей должна свидетельствовать здесь о некоем постоянном законе, неизменном в данной процессуальности. В арифметической последовательности неизменно то или иное арифметическое действие (напр., умножение на какое-нибудь число в геометрической прогрессии); в геометрической последовательности преобразований он имел также тот или иной инвариант. Где же этот неизменный закон тех или иных операций в последовательности вероятностной?

Здесь мы могли бы говорить по-разному. Дело в том, что всю эту сферу «взаимодействия аксиом едино-раздельности и аксиом непрерывности» можно понимать настолько широко, что ею покроется и вся категория наличного бытия, к которой мы еще не перешли. Этого расширения, однако, мы намеренно не производим, так как в указанной сфере «взаимодействия» есть свой вполне самостоятельный диалектический момент. С этой точки зрения момент индивидуальности мы еще не будем выделять в самостоятельный пункт, как это случится в категории наличного бытия, а будем брать его в его максимальной слитности с самой процессуальностью. Таким отделом теории вероятностей является, прежде всего, т.н. закон больших чисел. Его основная идея заключается в том, что с увеличением числа случайных событий, с которым связан данный факт, устанавливается и вероятность факта, сколь угодно близкая к достоверности. Более того, этот закон формулируется с помощью понятия математического ожидания. Но мы не будем входить в этот вопрос, равно как и в анализ знаменитого неравенства Чебышева и его следствий.

Непосредственно видно, что принцип закона больших чисел иначе конструируется, чем выдвинутые выше математические факты в аналитической сфере «взаимодействия». Но остается самое общее сходство – категория становления в ее сформированности при помощи категорий едино-раздельности. Едино-раздельная последовательность массы случайных фактов ведет к установлению специфического процесса, а именно становящегося перехода вероятности в достоверность. В типах геометрии, рассмотренных выше в п[унктах] 2 – 4, инвариантность дана в процессуальном ряду сразу, здесь же она – в виде достоверности – только еще устанавливается. Тем не менее и здесь поток самого становления вероятности обусловлен определенной едино-раздельной системой (ростом количества «случаев»); и общее место закона больших чисел, несмотря на отдаленность с учением о преобразованиях в арифметике и геометрии, в основе все же сохраняет с ним единство: это становление, рассмотренное с точки зрения нестановящегося.

Понятно также и то, что с законом больших чисел впервые появляется возможность реального измерения вероятностной области вообще, в связи со статистическими вероятностями, средними величинами, дисперсией и пр.

a) Остается сделать одно общее замечание о всей рассматриваемой в последних двух п[унктах] сфере «взаимодействия», и – мы совсем покинем категорию становления. А именно, если едино-раздельность в свете становления еще рисует пока только саму же едино-раздельность или само становление, то относительно становления в свете едино-раздельности может возникнуть вопрос: не есть ли это попросту ставшее? Ведь едино-раздельность вносит в становление некоторую запруду и лишает его характера абсолютной текучести. Не есть ли это само ставшее и не перешли ли мы здесь уже за пределы аксиом становления?

Нет, мы еще не перешли к ставшему в собственном смысле, хотя при более суммарном изложении эти тонкости и не имело бы смысла проводить. Ставшее есть остановившееся становление, а у нас становление еще не остановилось. Это значит, что мы еще не можем сравнивать результаты процессов становления между собою, но должны находиться внутри становления. Устойчивые моменты, включаемые в становление едино-раздельной сферой, не касаются самого становления вообще, самого принципа становления, но только содержания этого становления. Поэтому в арифметике мы получили возможность модифицировать и комбинировать действия, превращая их в те или иные преобразования, но мы на этой стадии еще не смогли сравнить результаты действий с точки зрения действий как таковых, с точки зрения принципа действий. Мы, напр., еще не знаем коммутативность сложения или умножения. Нет сомнения, что применение операции с невыясненным законом коммутативности есть нечто весьма недостаточное и незрелое. Но это значит только то, что одна категория становления не может обеспечить полноты идеи арифметической операции и что необходимо привлечение дальнейшего. Также и полученные нами типы геометрии предполагают бесконечное варьирование одних элементов и инвариантность других, но ясно, что ограничение этого варьирования и превращение его из становления в ставшее должно привести еще к новым построениям, которые мы и получаем в связи с категорией конгруэнтности. Конгруэнтность превратит и полученные нами отвлеченные инвариантные элементы в структурные принципы, так что не этот инвариант будет рассматриваться на фоне становления (напр., как аффинность рассматривается на фоне параллельных преобразований), но он будет рассматриваться сам по себе в сравнении с другими такими же геометрическими фактами, в результате чего мы сможем накладывать их один на другой и судить об их конгруэнтности, подобии и пр. Все это возможно только потому, что геометрическая фигура превратится тут у нас в ставшее, в бытие наличное.

К этому мы сейчас и обратимся.

b) Для цельности диалектической картины, однако, мы приведем в заключение ту нашу универсальную схематику в рассматриваемой области, которую мы должны были бы привести с самого начала, но которую не приводим ради избежания различных нагромождений, заменивши ее сферой «взаимодействия» двух рядов аксиом. Именно, в отношении всей сферы становления необходимо различать наши пять основных диалектических ступеней. То, что мы выше (§ [59]) изобразили как непрерывность вообще, это будет перво-принципом аксиоматики становления. То, что выше мы формулировали как аксиому едино-раздельности, рассмотренную в свете аксиом становления, есть принцип аксиоматики становления. Само становление в свете едино-раздельности необходимо оказывается становлением этой аксиоматики становления. В качестве ставшего, если брать арифметику, очевидно, мы должны выдвинуть разные преобразования, равно как и под выразительной формой. Ведь арифметическое становление вообще есть только арифметическая операция, она есть именно принцип становления, и, если перво-принцип арифметического становления есть непрерывность, все остальное, – т.е. и становление принципа, и его ставшее, и его выразительная форма – есть та или иная последовательность операций, или преобразований. Соответственно, в геометрии после непрерывности как перво-принципа и после геометрического построения как принципа мы имеем только разные типы геометрических структур.