§ 65.
Аксиома ставшего числового бытия в арифметике
Теперь перейдем к обзору явлений конгруэнтности с математической точки зрения.
Явление числовой конгруэнции легче всего демонстрируется на т.н. коммутативном законе a + b = b + a. Когда мы складываем два числа, то оказывается, что сумма совершенно не зависит от порядка слагаемых. Что это значит и почему это возможно? Это значит, что для слагаемого совершенно не важно то место, где оно находится. Место это ничего нового в количественную характеристику слагаемого не привносит. Однако это не значит, что место само по себе есть полное ничто и никакой роли в сложении не играет. Наоборот, самый процесс сложения возможен только в силу наличности вообще разных «мест» для слагаемого. «Место» есть тот инобытийный фон, на котором разыгрывается вся картина данного арифметического действия. Без него не было бы и самого сложения. Однако единственная функция этого инобытийного фона заключается только в гипостазировании слагаемых, и тут совершенно отсутствуют всякие функции какого бы то ни было количественного воздействия на гипостазированные числа. Кроме того, инобытие здесь вполне нейтрально к порядку этих слагаемых и форме их взаиморасположения. Это значит, что идеально-числовая структура совершенно не зависит от своего инобытийного становления. Мы ее можем полагать при любой форме этого последнего, и она в идеальном смысле, т.е. в смысле своего отвлеченного количества, совершенно никак не меняется. Она всегда тождественна сама с собою, т.е. она всегда сама с собою конгруэнтна.
Однако здесь мы указали только на коммутативный закон в сложении. Этот «закон счета», как известно, далеко не единственный. Существуют еще ассоциативный и дистрибутивный законы; и кроме того, все эти законы применимы как к операциям сложения, так и к операциям умножения.
a) Вот обычная их арифметическая формулировка.
I. КОММУТАТИВНЫЙ (ПЕРЕМЕСТИТЕЛЬНЫЙ) ЗАКОН:
· a) в сложении –
a + b = b + a,
· b) в умножении –
a·b = b·а
II. АССОЦИАТИВНЫЙ (СОЧЕТАТЕЛЬНЫЙ) ЗАКОН:
· a) в сложении –
a + (b + c) = (a + b) + c = (a + c) + b,
· b) в умножении –
a·(b·c) = (a·b)·c = (a·c)·b.
III. ДИСТРИБУТИВНЫЙ (РАСПРЕДЕЛИТЕЛЬНЫЙ) ЗАКОН В УМНОЖЕНИИ:
· a) a·(b + c) = a·b + a·c,
· b) (a + b)·c = a·c + b·c
Это обычный вид формулировки, как он дается в арифметике. Не преследуя философских целей, он, конечно, и не может давать нам полной логической ясности и обоснованности, и нас при этом заметно беспокоят вопросы: почему тут эти, а не другие законы, почему тут только сложение и умножение и пр.? Это заставляет, с логической точки зрения, взглянуть на них несколько иначе при всей их непосредственной арифметической очевидности. Арифметически-то они очевидны, но логически они совсем не очевидны.
b) Начнем с конца. Дистрибутивный закон, очевидно, есть частный случай законов сложения – умножения вообще. Если мы имеем произведение a·d и если d есть не что иное, как некая сумма b + c, то само собой очевидно, что a·(b + c) = a·b + a·c. Отсюда, хотя в нашем случае дистрибутивность умножения используется совсем для других логических целей (не просто для иллюстрации законов самого сложения и вычитания), все же, взятая сама по себе, она вполне доказуема на основании категории только простого сложения и умножения.
Дистрибутивный закон показывает, что совокупность можно распределить между частями другой совокупности так, что это никак не повлияет на общий результат операции с такими совокупностями.
С другой стороны, ассоциативный закон, как легко заметить, есть частный случай коммутативного закона. Если мы знаем, что a + b = b + a, то стоит только представить, что b равняется какой-нибудь сумме c + a, как делается очевидным и ассоциативный закон. В самом деле, если a + b = b + a, то, значит, в смысле объединения с a одинаковым образом ведут себя и отдельные части этого b. Ведь, когда говорится b, не имеется в виду, какое оно, большое или малое, часть чего-нибудь или само дано как целое. Если ему свойственна такая общность, то под этим b можно понимать и c, т.е. одно из слагаемых нашего общего b. А это и значит, что a и c могут свободно обменяться местами без влияния на общую сумму, т.е. обнаруживается действие коммутативного закона. Равным образом и закон a·(b·c) = (a·b)·c есть тоже лишь логическое следствие того же самого коммутативного закона, стоит только в коммутативном законе один из сомножителей представить как произведение новых сомножителей. Точнее будет сказать, что если в коммутативном законе одна совокупность может быть поставлена на место другой, то по ассоциативному закону одна совокупность может быть поставлена на место элемента другой совокупности.
Но тогда нетрудно уловить и общую схему этих трех законов счета:
· коммутативный закон требует независимости арифметической операции от перемены порядка различных совокупностей;
· ассоциативный закон требует независимости от перемены одной совокупности на любой элемент другой; и, наконец,
· дистрибутивный закон требует равноправия в общей операции двух раздельных совокупностей с равномерным распределением одной из них по всем элементам другой.
Все же эти три арифметических закона порождены одной общеарифметической аксиомой: закон конгруэнтности числа есть закон получения его из элементов, различающихся между собою исключительно только своей чисто количественной значимостью и абсолютно тождественных в смысле какого бы то ни было инобытия, какого бы то ни было своего инобытийного положения. Итак, можно дать следующую формулу этой аксиоме.
a) Чтобы дать общую и строгую логическую формулу аксиомы ставшего наличного бытия в арифметике, будем рассуждать так. Ставшее есть то, что остановилось. Покамест оно не остановилось, оно было только становлением. Становление, по самому существу своему, неопределенно. Оно идет неизвестно откуда и неизвестно куда. То есть чистый алогизм бытия, в котором, как в таковом, невозможны никакие расчленения. Невозможно применить к нему, например, категорию тождества; и нельзя даже сказать, тождественно ли оно себе самому, ибо оно в каждый момент все разное и разное и его невозможно поймать ни в какой точке; в нем все плывет сплошно. Но вот оно остановилось, т.е. мы перешли к ставшему. Это значит прежде всего, что становление оказалось чем-то, и прежде всего самим собою, оно стало тождественным с самим собою. Ставшее есть тождество становления с самим собою. Но что надо для того, чтобы установить тождество становления с самим собою? Для этого надо вернуться с конечной точки становления к первоначальной; и если оба направления становления окажутся тождественными по своему процессу и по своему результату, то искомое тождество и будет установлено. Итак, ставшее есть не что иное, как тождество направлений становления в смысле их общего результата.
К этому сводятся и указанные выше законы счета. Единственное, что утверждает коммутативный закон, – это тождество направления производства арифметической операции. О разных вариациях этого направления и об их тождестве в смысле результата говорят и другие два закона. Следовательно, мы могли бы сказать так.
Аксиома ставшего наличного бытия в арифметике: арифметический счет имеет своим основанием тождество направлений своего становления. Другими словами, арифметический счет зависит только от количественной характеристики чисел при любом инобытийном воспроизведении. Или: арифметический счет характеризуется законами коммутативным, ассоциативным и дистрибутивным в операциях сложения и умножения.
b) Впрочем, можно дать в кратчайшей и тем не менее превосходной формуле арифметическую интерпретацию конгруэнтности, не прибегая даже к самим законам счета, а только имея их в виду вообще. А именно, что мы, собственно говоря, делаем, когда пишем формулы этих трех законов в п. 2a? Пусть, например, мы высказали a + b = b + a. Что это значит? Это значит, что была некая величина c, которая составлялась из a и b. Мы сложили a и b, получилось c. Чтобы формулировать на этом основании коммутативный закон, мы должны были (a + b) приравнять к (b + a) на основании равенства того и другого с третьей величиной c. Пусть мы имеем: a + (b + c) = (a + b) + c. Чтобы вывести этот ассоциативный закон, мы должны были сначала вычислить левую часть этого равенства, определивши искомую сумму, например, как d; затем мы должны были вычислить правую часть и найти сумму для правой части. Только когда в обоих случаях у нас получилось то же самое d, мы можем сказать, что ассоциативный закон в сложении верен. Так же точно мы поступаем и во всех законах счета, как сложения, так и умножения. Нетрудно заметить, что в глубине этих трех законов лежит одна огромной важности идея и она-то и есть настоящая идея арифметической конгруэнтности, если ее понимать в максимальной общности и отвлеченности, минуя все конкретные формы, в которых она может являться. Эта идея следующая:
· две или несколько величин, равные порознь третьей величине, равны между собою.
Три дедуцированных нами закона арифметического счета суть только проявления этой общеарифметической идеи конгруэнции; и они вырастают из нее как из своего глубокого и последнего основания. Эта идея есть и наилучшая арифметическая интерпретация той общедиалектической аксиомы ставшего числового бытия, которая дедуцирована выше.
