Алексей Лосев – Диалектические основы математики (страница 47)

e) Таким образом, математическая мысль, установившая в этом виде самую идею порядка (или упорядоченного множества), действовала здесь хотя философски и слепо, но на ощупь шла правильно. Наша задача – внести в эту математическую мысль философско-логическую ясность, которая и будет достигнута, как это ясно из предыдущего, следующим образом.

1) Идея порядка как таковая не может быть «определена», поскольку она является исходной; и мы видели, что Френкель ее вовсе даже не определяет, а предполагает готовой и только рассуждает о сфере ее применения. Но можно часто увидеть в ней то последнее зерно, которое остается неизменным при всех возможных ее функционированиях.

2) Это зерно заключается (и это особенно видно на втором свойстве множества R) не в чем ином, как в категории подвижного покоя. Второе свойство только ведь о том и говорит, что от одного момента можно перейти к другому.

3) Эта категория подвижного покоя может, однако, по-разному применяться в зависимости от сферы своего функционирования. Мы можем ее понимать a) отвлеченно-арифметически. По-видимому, это именно понимание Френкель имеет в виду, когда он говорит о том, что m₁ раньше m₂ (или наоборот). В таком виде идея порядка в собственном смысле еще не нарушается. Это скорее принцип порядка, чем самый порядок («инобытийно-нулевая упорядоченность»). Совсем другое получится, если категория подвижного покоя b) перейдет в свое инобытие и начнет в нем воплощаться. Это создаст тот материал, без которого не может быть и самого порядка (поскольку порядок есть всегда порядок чего-нибудь). Однако в чисто инобытийном смысле категория подвижного покоя дала бы геометрическую, а не теоретико-множественную упорядоченность. Необходимо ей из инобытия вернуться к себе, т.е. все эти инобытийные, геометрические «части» положить в себе, в сфере чисто числовой, отождествить с чистым смыслом, поднять в свою сферу. Тогда эти «части» получают опять чисто числовой характер, но уже с той идеей расставленности и распределенности, которая была характерна для чистого инобытия. Это и есть теоретико-множественная упорядоченность.

4) Следовательно, в упомянутом математическом определении упорядочивающего множества мы имеем не определение порядка, но – на основе уже имеющейся определенной идеи порядка – конструирование именно теоретико-множественной упорядоченности, возникающей в отличие от абстрактной идеи порядка на основе инобытийно-алогических модификаций. Все это, с одной стороны, подтверждает правильность защищаемого в нашем исследовании места как самой идеи порядка, так и всей теории множеств, с другой же – показывает слепую и бессознательную целесообразность математической мысли, идущей своими путями без философских методов и логической выучки.

f) Существует еще иное определение порядка – при помощи понятия упорядоченной пары и однозначной функции[21]. Но чтобы не затягивать изложения, мы не станем его анализировать.

§ 53.

Аксиома подвижного покоя в теории вероятностей

Согласно аксиоме подвижного покоя, математическая вероятность должна быть такова, чтобы было видно, как она переходит в другую вероятность и как ее движение на этом останавливается. Чтобы выявить свое движение, вероятность, очевидно, должна в самой себе таить свое изменение. Как это возможно? Пусть мы имеем некое событие A, и пусть его вероятность равняется a. Чтобы вероятность оказалась в движении, надо событию A некоторым образом меняться. Если событие A мыслится некоторым образом в процессе изменения, то и вероятность его a, очевидно, тоже окажется изменяющейся. Но поскольку никаких иных причин и событий, кроме A, мы не знаем, остается, чтобы самое осуществление этого A повлекло за собою появление новых факторов и новых событий, способных изменить содержание нашего A. Другими словами, если вероятность приходит в движение, то это значит, что она относится к событиям взаимно зависимым, т.е. к совмещению событий. Действительно, та вероятность, с которой мы имели дело при изучении аксиомы самотождественного различия (§ 49.8), касалась событий, независимых одно от другого, и это мы там подчеркивали. Поэтому одна вероятность там только отличалась от другой и отождествлялась с ней, но не было видно, как она переходит в другую. Теперь же по факту самой вероятности, по ее осуществлению мы начинаем видеть, как она становится другой вероятностью, подобно тому как в арифметике за a следует b, и если уже за a следует b, то необходимо сказать, что b возникает после a, что, следовательно, между этими двумя числами существует строго определенный порядок. Но в теории вероятностей мы оперируем не просто с числами, а с числами в зависимости от случайных фактов, с числами как структурами бытия случайного. Поэтому тут мало будет выставить утверждение, что если a > b, то b < a. Это утверждение было бы арифметическим, а не теоретико-вероятностным. Значит, необходимо ввести идею порядка в зависимости от случайного бытия, т.е. в зависимости от самого события, от голого алогического факта, от осуществления факта. Само это осуществление вероятности должно повлечь за собою ее движение, ее определенную изменяемость. Это, однако, есть учение о вероятности не просто событий, но совмещения событий.

У С.Н. Бернштейна[22] имеется тезис, который у него назван аксиомой совмещения событий. Удивительным образом это и есть то, что мы называем аксиомой подвижного покоя в теории вероятностей. Тут приходится еще и еще раз удивляться, как математическая мысль, если она правильная, бессознательно формулирует как раз те самые тезисы, которые философ дедуцирует из общих диалектических оснований разума. Тут редкий случай, когда я могу переписать математическую аксиому к себе, в свое философское исследование, не внося в нее решительно никаких поправок.

Аксиома подвижного покоя в теории вероятностей: если a есть частный случай факта A, то вероятность a при данных условиях зависит только от вероятности факта A при тех же условиях и от вероятности, которую приобретает a в случае осуществления факта A.

Примером независимых фактов может служить одновременное кидание игральной кости, все шесть граней которой равновероятны, и вынимание шара из урны, в которой находится одинаковое количество белых и черных шаров. Так как эти события независимы, то вероятность каждого из 12 возможных их совмещений всегда будет одна и та же, а именно равна 1/12. Другое дело, когда имеется в виду опыт с зависимыми событиями. Если Иван покупает по одному билету в двух лотереях, а Петр покупает билет только в первой лотерее с тем, чтобы купить билет во второй лотерее только в случае выигрыша в первой, то, хотя вероятность выигрыша в первой лотерее у обоих одинакова, а во второй – у Ивана больше, чем у Петра (поскольку Петр во второй участвует необязательно), все же в результате вероятность выигрыша в обеих лотереях у Ивана и Петра одна и та же, потому что вероятность выигрыша для Петра во второй лотерее будет одинаковой с вероятностью этого выигрыша для Ивана. Здесь вероятность выигрыша в обеих лотереях для обоих одна и та же, поскольку она зависит от вероятности первого выигрыша (одинаковой для обоих) и вероятности второго после осуществления первого (тоже у обоих одинаковой).

Более просто «аксиома совмещения» демонстрируется на таком примере.

Существуют такие вероятности:

1) умереть для здорового 10-летнего ребенка в течение года вообще;

2) заболеть ему же скарлатиной вообще;

3) ему же умереть в течение того же срока от скарлатины.

Наперед должно быть ясно, что, поскольку в третьей вероятности смерть рассматривается в зависимости от скарлатины, эта вероятность будет зависеть как от вероятности скарлатины вообще, так и от вероятности смерти для заболевшего скарлатиной, причем она не зависит от вероятности смерти вообще для 10-летнего. Как, однако, вычислить эту вероятность совмещения, будет рассматриваться в своем месте (§ [.]).

III. ОПРЕДЕЛЕННОЕ БЫТИЕ

§ 54.

Аксиома определенности (закона) бытия в арифметике

В § 26, 27 и 45.1 мы видели, что число как идеальная структура (в отличие от реального становления) характеризуется пятью категориями: бытие, различие, тождество, движение и покой. Вся эта область представляет собою бытие в широком смысле слова, т.е. бытие, включая и всю его внутреннюю структуру. Оно диалектически противостоит инобытию, или небытию, объединяясь с которым превращается уже в бытие, для которого положена также и внешняя граница, т.е. в ограниченное, в определенное бытие, дальнейшая эволюция которого приходит уже к становлению. В этом смысле инобытие может быть объединено с бытием так же тесно, как мы объединяли тождество и различие и как объединяли покой и движение. Если мы рассмотрим теперь значение этой составной категории определенности бытия, или закона построения бытия, то вместе с самотождественным различием и подвижным покоем это составит достаточно полное и систематическое рассмотрение всей чисто бытийной (онтической) и смысловой стороны числа, и мы сможем тогда перейти и к категориям, связанным с алогическим становлением.

Начинаем с арифметики. Определенность бытия арифметического числа есть закон тех операций, в результате которых оно получается. Когда мы заставляем действовать инобытие, мы прежде всего отличаем бытие от инобытия проведением границы, отграничением. Проводя эту границу, мы совершаем операцию, которая даст нам не просто число, но и закон его появления из других чисел, закон объединения используемого нами бытийного материала для получения числа. Когда мы рассуждали о категории самотождественного различия, или подвижного покоя, мы не говорили о числе как полной и конкретной индивидуальности; мы именно говорили об элементах и частях числа, т.е. анализировали его внутреннее инобытие, отвлекаясь от узрения числа целиком, от фиксации самого закона появления числа из других чисел. Ведь бытие со своей внутренней структурой, определяемой категориями самотождественного различия и подвижного покоя, предстоит теперь как уже сформированное, как отличенное от всех других видов бытия. Число, в котором мы нашли различные и тождественные, подвижные и устойчивые элементы, теперь уже внутренне сформировано, отличено от всякого иного числа; и мы как бы отходим от него на некоторое расстояние, чтобы обозреть его целиком и, пользуясь его четко установленными со всем прочим границами, сравнить его со всеми другими числами. Это и значит, что мы заставляем вступать это число в различные комбинации с другими числами, т.е. производим над ним те или иные операции. Вот закон этих операций и есть аксиома определенности бытия числа.