Алексей Лосев – Диалектические основы математики (страница 44)

2. «Если A, B и C – точки одной прямой и B лежит между A и C, то B лежит также между C и A».

3. «Если A и C – точки одной прямой, то существует по меньшей мере одна точка B, лежащая между A и C, и по меньшей мере одна точка D такая, что C лежит между A и D».

Это – аксиомы линейные. Необходимо также применение нашей категории и к плоскости. Здесь существует аксиома Паша[15], дающая представление о продолжении и порядке плоскости. Ее можно формулировать так:

4. «Если в плоскости даны три отрезка AB, BC и CA, то прямая на этой плоскости, имеющая общую точку с одним каким-нибудь из них, имеет также общую точку с одним из обоих других».

Тут не сразу понятно, что имеется в виду. Имеется же в виду то, что отрезок, соединяющий две точки, находящиеся по одну и ту же сторону от данной прямой, не имеет ни одной общей точки с этой последней, в то время как отрезок, соединяющий две не находящиеся по одну и ту же сторону от данной прямой [точки], имеет с нею одну общую точку.

Разумеется, должна быть «аксиома порядка» и в отношении пространства (каковой почему-то совсем нет у Гильберта). Ее легко получить по аналогии с аксиомой Паша на плоскости примерно так:

5. «Две плоскости, имеющие одну общую точку, имеют одну общую прямую».

Эта аксиома показывает, как пространство делится плоскостью и как за одной частью пространства следует другая, ибо представление о прямой, общей двум плоскостям, возможно только тогда, когда есть представление о двугранном угле, и притом по крайней мере о двух (если не о четырех) сложных двугранных углах, т.е. представление о разделении пространства и о переходе из одной его части в другую.

Стоит заметить, что предложенная чисто математическая формулировка аксиомы подвижного покоя в геометрии отнюдь не есть единственно возможная. Энриквес наряду с предложениями Гильберта указывает и другие, которые вполне тождественны им. Это, пожалуй, стоит привести[16].

Одна формула:

«Каждая точка A прямой разлагает прямую на два класса точек (части), которые можно обозначить названиями „правая часть“ и „левая часть“, таким образом, что

a) каждая отличная от A точка принадлежит одной из обеих частей;

b) если A находится налево (или направо) от какой-нибудь точки B, то каждая точка налево (или направо) от A находится налево (или направо) от B;

c) если A находится налево от B, то B находится направо от A».

Другая (относящаяся, как говорит Энриквес, к становящейся фигуре, но, собственно говоря, ни о каком становлении в настоящем диалектическом смысле тут нет и помину) [формула]:

«Точки прямой разбиты на два (естественных) порядка, из которых один противоположен другому таким образом, что при рассмотрении некоторого определенного порядка:

a) если даны две точки A, B прямой, то одна из них, например A, предшествует B и в таком случае B следует за A;

b) если даны три точки A, B, C и A предшествует B и B предшествует C, то A предшествует C,

c) между двумя точками A и B существуют промежуточные точки (предшествующие одной из них и следующие за другой);

d) не существует никакой первой (предшествующей всем) точки, и не существует также никакой последней точки».

Вышеприведенная плоскостная аксиома Паша может быть заменена другой (при условии Эвклидова постулата о параллельных линиях):

«Если две исходящие из одной точки O пары прямых пересекаются некоторой (не параллельной ни одной из четырех прямых) секущей в двух раздельных парах точек, то то же самое имеет место и для любой другой секущей, не проходящей через упомянутую точку O и не параллельной ни одной из четырех прямых».

Чтобы понять эту аксиому и ее своеобразную выразительность, необходимо иметь в виду вот что. Если мы имеем две пары линий, исходящих в упомянутом только что виде из одной точки, и если некая другая линия пересекает обе эти пары, то ясно, что обе эти пары линий находятся в одной и той же плоскости. Ведь, пересекая одну пару линий, наша секущая во всяком случае проходит через наши две точки той плоскости, в которой даны эти две линии, т.е. она всецело лежит на этой плоскости. То же самое и в отношении другой пары линий. Значит, обе пары линий в силу этого лежат на одной плоскости. Но тогда, очевидно, на этой же плоскости может быть проведена и всякая другая линия. И эта другая обязательно пересечет эти же две пары линий и тоже окажется в плоскости, общей обеим этим парам. Следовательно, если это возможно, то с проведением второй секущей мы остаемся в той же плоскости и единственное, что тут происходит, это движение по одной и той же плоскости.

Все различия геометрических формулировок анализируемой аксиомы указывают на то, что в философском отношении нельзя полагаться на чисто геометрические аксиомы. Их приходится заменять более общими формулами, выводимыми на общелогических основаниях. Геометрические же положения должны быть только примером и приблизительным выражением. Аксиома дает перспективу в науке. И в свете этой перспективы должны появляться сначала более общие, а потом и более частные теоремы.

§ 52.

Аксиома подвижного покоя в теории множеств

Во множествах подвижной покой будет, как и везде, отражать на себе своеобразие данной множественной сферы. Множество отличается от арифметического числа тем, что элементы, из которых оно состоит, находятся между собою в инобытийном, а не в чисто количественном взаиморасположении. Тут, говорили мы, также геометрическая система взаиморасположения, но только с одним отличием от нее: это не пространственная, но чисто числовая фигурность. Поэтому множество и есть синтез арифметического числа и геометрической величины. Подвижной покой есть, как мы уже знаем, идея порядка. Во множестве, стало быть, содержится свой собственный порядок, упорядоченность, – такая, что в ней участвуют не просто счетно-числовые моменты и не только пространственное расположение элементов, а и то и другое вместе, в их синтетической воссоединенности.

Имея это в виду, можно было бы просто сказать, что множеству свойственна упорядоченность, или, что то же, всякое множество есть упорядоченное множество. Но тут не будет подчеркнут момент специфически множественной упорядоченности. Ведь упорядочено все – и числа, и геометрические фигуры, и множества, и даже континуум. Раз дается аксиома для множества, то должен быть отмечен и спецификум множества. Он и отмечается у нас во всех аксиомах о множествах. Однако в аксиоме подвижного покоя упорядоченность имеется в виду специально. Она, конечно, захватывается так или иначе решительно во всех аксиомах, поскольку упорядоченность (и притом специфически множественная) находится во всех множествах. Но в аксиоме подвижного покоя упорядоченность находит свое специальное выражение, поскольку упорядоченность и есть не что иное, как результат проявления именно подвижного покоя. Аксиому поэтому можно было бы так формулировать (аналогично предыдущим аксиомам множества).

Аксиома подвижного покоя в теории множеств: множество есть совокупность определенным образом взаиморасположенных элементов, возвратившихся из инобытия к самим себе.

Или подробнее: множество есть совокупность элементов, взаиморасположенных так, что, будучи различными по актам своего внешнего полагания, они отождествляются в результате этих актов в чисто числовую совокупность.

Самое яркое, что имеется в математической литературе на темы этой аксиомы, это знаменитая теорема Цермело о том, что всякое множество может быть сделано вполне упорядоченным множеством[17], вернее, всякое множество может быть мыслимо как вполне упорядоченное множество. Об этом стоит сказать несколько слов.

Прежде всего эта теорема Цермело с философской точки зрения может считаться вполне излишней. С философской точки зрения вообще множества не существует без идеи упорядоченности. Только философская нечеткость мысли в соединении с разного рода математическими вкусами и предрассудками может требовать какого-то множества вне идеи упорядочения. В § 47. 1 – 2 мы уже указали на невозможность даже простого отличения множества от обычного конечного арифметического числа, если не будет принята во внимание идея порядка. Последняя, таким образом, входит в самое определение множества. Поэтому и у нас она формулируется уже в числе аксиом идеальной (т.е. самой первой и существенной) структуры числа. Можно и не доказывать теорему Цермело, и все-таки она должна содержаться решительно во всяких теоретико-множественных построениях. Ей поэтому лучше и называться не теоремой, но именно аксиомой.

Далее, входя в существо доказательства этой аксиомы у Цермело, мы убеждаемся, что основная идея этого доказательства вполне интуитивна и непосредственна и что, собственно говоря, можно было бы и не давать его в этом развитом виде и ограничиться указанием на основную совершенно непосредственную очевидность самой структуры всякого множества.

Именно, центральная идея доказательства сводится вот к чему. Предполагая вначале, что данное множество неупорядоченно, мы берем его в виде всех его частей (уже тут, конечно, содержится реtitio principii[18], потому что раз множество расчленимо на несколько различных частей, то это значит, что оно вполне упорядочено, но – не будем настаивать на этом). В каждой такой части выбираем произвольно какой-нибудь элемент, который мы называем «отмеченным» элементом этой части (опять операция, возможная только при условии, что множество уже мыслится вполне упорядоченным, но – не будем настаивать и на этом). Далее следует самое интересное. Цермело называет «γ-частью» всякую часть рассматриваемого общего множества, такую, которая вполне упорядочена при помощи этого отмеченного элемента (тут опять указанное выше petitio principii, но – простим и это прегрешение), а именно: если a есть любой элемент этой γ-части, A – определенный им отрезок, M – A – дополнительная часть к A до данного общего множества, то для этой M – A отмеченным элементом оказывается как раз a. Вот это и есть основание всего доказательства. Грубо говоря, мы берем произвольно любой элемент из данного множества и на нем строим ориентацию в отношении всего множества. Ведь как можно вообще ориентироваться в том, что неразличимо? Нужно схватиться за какую-нибудь любую точку в этой неразличимости и в отношении этой точки ориентировать все прочие. Мы как бы чиркаем спичку в темной комнате и этим освещаем все, что в ней находится. Платон бы сказал: если есть что-нибудь одно, то это значит, что есть все. Ничего другого Цермело не высказывает в употреблении и в самом понятии своей «γ-части». Уже только одного «отмеченного» элемента достаточно, чтобы мы знали и весь отрезок (отрезком, который определен через элемент a, в теории множеств называется множество всех элементов, порядки которых ниже порядка a), и все, чего не хватает в данном отрезке по сравнению со всем первоначальным множеством, т.е. чтобы «γ-часть» была вполне упорядочена. Мы берем, следовательно, любой элемент из данного множества, становимся на нем как на некоей твердой точке и с него смотрим вперед и назад и во все стороны, озирая и сравнивая все, что во множестве вообще находится. Это и есть – и у Цермело, и по существу – единственный принцип упорядочения вообще; и конечно, во всяком множестве с необходимостью мыслится такая ориентация.