§ 50.
Аксиома подвижного покоя в арифметике
Переходим ко второй большой составной категории в области идеальной структуры числа, к подвижному покою. Применить эту категорию к изученным нами областям математического предмета будет теперь легче, поскольку мы более или менее освоились со смысловым своеобразием каждой из этих областей и на большом примере уже могли почувствовать их диалектическое место.
Самотождественное различие давало нам в применении к числу совокупность, которая складывалась из элементов. Совокупность и была самотождественным различием этих элементов. Теперь, применяя категорию подвижного покоя, мы получим, очевидно, тоже совокупность элементов, но не в их самотождественном различии, а в их подвижном покое. Если числовая совокупность действительно подчинена категории подвижного покоя, то это значит, что каждый элемент ее движется к другому элементу и ко всему целому и успокаивается на другом элементе и на всем целом. Раньше мы натолкнулись на совокупность как на систему различных моментов, натолкнулись на само различие моментов и на их тождество с целым. Но мы не знали, можно ли перейти от одного момента к другому, и брали многоразличность внутри совокупности как данную, как мертвую, как утвержденную неизвестно кем и как. Сейчас мы видим, что элементы не просто различны, но что при всем их различии можно перейти от одного к другому и что каждый элемент именно требует такого перехода.
Но что значит, что элемент требует перехода от себя к следующему? Это значит, что всем элементам свойственна некая упорядоченная система, свойственна идея порядка. Если я должен от A перейти к B и этого требует само A, это значит, что A и B определенным образом взаимно расположены, что существует некий порядок, заставляющий A идти именно к B, а не к C и не к D и т.п. Совокупность элементов, воплощающая на себе категорию подвижного покоя, есть, стало быть, уже не «самотождественная совокупность изолированных элементов», но «совокупность определенно взаимно расположенных элементов». Взаимное расположение, определенным образом данное, и есть, с одной стороны, движение, поскольку каждый элемент, находящийся тут во взаимном расположении, уже сам по себе требует перехода к соответствующему новому элементу, а с другой стороны, это есть и покой, так как взаиморасположение элементов есть нечто вполне устойчивое и нисколько не текучее.
Укажем теперь результаты применения категории подвижного покоя в отдельных областях. Что тут получается для арифметического числа? После данной выше характеристики интенсивного числа вообще в отличие от экстенсивного мы теперь гораздо легче и с большей уверенностью можем высказать относящиеся сюда термины и конструкции.
Арифметическое число чисто от всякой числовой инобытийности. Оно, говорили мы, нулевым образом инобытийно, инобытийно-нулевое число. Это значит, что в нем действует его чистая и ровно ничем не замутненная, именно его собственная смысловая значимость. Единица есть единица, и двойка есть двойка – так это и остается в арифметическом числе, в то время как, например, в геометрии единица сама по себе совершенно ничего не дает в смысле геометрии, а надо, чтобы единица была еще раз положена, и положена на другом, не на числовом, а на инобытийно-числовом, пространственном фоне, т.е. чтобы эта единица превратилась в точку. Ничего подобного нет в арифметике. Там ни единица, ни другое число не переходят ни во что инобытийно-числовое, а остаются в своей чисто смысловой значимости. Когда мы говорим о порядке, то, очевидно, здесь тоже не должно быть иначе.
В арифметическом числе порядок единиц должен быть инобытийно-нулевым, т.е. он должен быть продиктован только самой же числовой значимостью чисел. Порядок и взаимное расположение чисел должны тут вытекать из значения самих чисел, а не от того «фона», на котором они даются, не от тех различных «расстояний» и «направлений», которые могут быть продиктованы этим «фоном». Тут только одно и есть «расстояние» между единицами – это просто перечисление единиц по их количественному значению: 1, 2, 3, 4… и т.д.; и тут одно только и есть «направление» – это то, которое определено значением самих чисел (в данном случае возрастание). Лучше же сказать, арифметические числа никаких совершенно не имеют междуединичных расстояний и этим единицам ровно никакое направление не присуще. Это нулевые расстояния и нулевые направления. Это чисто смысловая, т.е. чисто количественная, взаимо-распределенность и чисто количественная направленность.
Отсюда и аксиома.
Аксиома подвижного покоя в арифметике: арифметическое число есть совокупность определенным образом взаимно расположенных элементов.
Так как эта аксиома не содержит никакого указания моментов числового инобытия, то, следовательно, понимать такую формулировку можно только неинобытийно, т.е. только в смысле чисто количественной значимости. Можно, конечно, и отметить эту нулевую инобытийность.
Тогда пришлось бы добавить несколько слов вроде
· «при их чисто смысловом расположении», или
· «при их чисто смысловой значимости», или
· «когда это расположение определено только смыслом самих элементов» и т.п.
Из распространенных аксиом арифметики сюда подойдут, очевидно, «аксиомы порядка», из которых, однако, надо брать не все ввиду их неравномерной значимости, а только некоторые. Очевидно, сюда целиком подойдет аксиома:
«Если a и b суть какие-либо два различных числа, то всегда одно из них больше другого, т.е. всегда a > b и b < a».
Отсюда вытекают (но отнюдь не равносильны первой аксиоме) и другие:
«Если a > b и b > c, то a > с»;
«Если a > b, то всегда также a + c > b + c»;
и наконец:
«Если a > b и c > 0, то всегда также ac > bc».
Преследуя аксиоматическую общность изложения, можно и не касаться трех последних положений и ограничиться только первым – об a > b и b < a.
§ 51.
Аксиома подвижного покоя в геометрии
Без труда формулируется та же аксиома для геометрии, поскольку здесь мы находимся в области инобытия числа, и категория подвижного покоя будет дана в своем инобытии. Это значит, что движение здесь мыслится не между отдельными единицами, из которых состоит чистое число, но между моментами инобытийными, т.е. пространственными, и покой будет мыслиться не в недрах самого числа, а среди инобытийно-числовых, пространственных моментов. Как в предыдущей категории различие дало различие не просто актов полагания и не единиц, но точек, а тождество оказалось не тождеством вообще, но пространственным тождеством точек, т.е. линией, плоскостью и телом, так и здесь мы должны оперировать с точками, этим бытием чисто числовых единиц, и должны от одной точки переходить к другой, наблюдая, что получается в результате этого движения и этого покоя.
Пусть мы двигаемся по линии от точки A к точке B. Чтобы показать, что мы именно движемся от A к B и что, придя в B, мы именно остановились, для этого, очевидно, нужно, чтобы мы имели не просто голые и изолированные точки A и B, взятые сами по себе, но в каком-то их специфическом взаимоотношении. Нужно, чтобы A уже сама по себе указывала бы на B, а B сама по себе указывала бы на A. Другими словами, нужно, чтобы обеим точкам была свойственна идея порядка, чтобы от A мы шли бы действительно к B и чтобы в таком случае и от B шли бы к A. Легче, однако, это демонстрировать на трех точках, потому что при существовании только двух точек еще есть возможность двигаться в обратную сторону. Когда же мы имеем на одной прямой три точки A, B, C и движемся от A в направлении к C, то тут уже во всяком случае нам придется пройти через точку B. Почему? Потому что точки A, B, C расположены в определенном порядке, связаны определенной последовательностью; и если вообще двигаться в этом направлении, то нельзя не пройти точки B. Таков порядок этой системы. В момент прохождения через B мы как бы на мгновение останавливаемся, а это и значит, что тут действует категория подвижного покоя и что она определяет собою единство направления и порядка.
Можно поэтому в следующем виде выставить нашу аксиому.
Аксиома подвижного покоя в геометрии: геометрическая величина есть совокупность определенным образом взаиморасположенных элементов в их инобытии.
Или подробнее: геометрическая величина есть совокупность определенным образом взаиморасположенных элементов, находящихся в состоянии движения по актам своего внешнего полагания и в состоянии покоя, достигаемого этим внешним движением.
Из обычных формулировок аксиом сюда относятся т.н. аксиомы порядка. Их я взял бы почти в том виде, как они даны у Гильберта, хотя и в ином порядке – ради большей стройности и последовательности мысли. Именно, на первом месте я бы поставил то, что у Гильберта занимает третье место (II 3):
1. «Из трех точек прямой всегда одна, и только одна, лежит между двумя другими».
За этой аксиомой логически следует та, которая у Гильберта на первом месте (II 1), потому что сначала надо поместить одну точку между двумя другими, а потом уже говорить об отношении ее к этим другим, равно как только после этого следует говорить о продолжении движения за пределы этих двух точек (II 2). Таковы эти аксиомы:
