Жиль Делёз – Различие и Повторение (страница 53)

***

Вопрос об интерпретации дифференциального исчисления, несомненно, предстал В следующем виде: реальны или фиктивны бесконечно малые? Но с самого начала речь шла и о другом: связана ли судьба исчисления с бесконечно малыми, не должно ли оно обрести строгий статус с точки зрения конечного представления? Истинной границей, определяющей современную математику, является не само исчисление, а другие открытия, например, открытия теории множеств, которая, даже нуждаясь в аксиоме бесконечности, тем не менее требует строго конечной интерпретации исчисления. Действительно, известно, что понятие предела утратило свой форономический характер и включает только статические рассмотрения: что переменчивость больше не рассматривается как постепенный переход через все значения в интервале, означая лишь асимптотическое приближение значения в этом интервале; что производная и интеграл стали скорее порядковыми, чем количественными понятиями; что дифференциал, наконец, означает только величину, которую оставляют неопределенной, чтобы сделать ее при необходимости меньшей заданного числа. Вот здесь и родился структурализм, в то время как умирали генетические и динамические амбиции вычисления. Когда говорят о “метафизике” вычисления, речь как раз и идет об этой альтернативе между бесконечным и конечным представлениями. К тому же эта альтернатива, а следовательно, метафизика в высшей степени присущи технике самого вычисления. Вот поэтому с самого начала был поднят метафизический вопрос: почему дифференциалами технически пренебрегают и почему они должны исчезнуть в результате? Очевидно, что ссылка здесь на бесконечно малое и бесконечно малый характера погрешности (если есть “погрешность”) лишена смысла и предполагает бесконечное представление. Строгий ответ был дан Карно в его известных Размышлениях о метафизике исчисления бесконечно малых, но как раз с точки зрения конечной интерпретации: дифференциальные уравнения являются просто “вспомогательными”, выражающими условия задачи, которой отвечает искомое уравнение; но при этом происходит точная компенсация погрешностей, которая не оставляет дифференциалам места в результате, поскольку последний может быть установлен только для фиксированных или конечных величин.

Но, употребляя главным образом понятия “задача” и “условия задачи”, Карно открывал метафизике путь, выходящий за рамки его теории. Уже Лейбниц показал, что вычисление — инструмент комбинаторики, то есть оно выражает задачи, которые не могли раньше решить и даже, и в особенности, поставить (трансцендентные задачи). Вспомним, в частности, роль регулярных и особых точек, входящих в полное определение некоторой кривой. Без сомнения, спецификация особых точек (например, переходов, узлов, фокусов, центров) осуществляется лишь в виде интегральных кривых, отсылающих к решениям дифференциального уравнения. Но есть, тем не менее, полное определение, касающееся существования и распределения этих точек, зависящее от совсем другой инстанции, а именно, от поля векторов, определенного самим этим уравнением. Дополнительность двух аспектов не снимает их сущностного различия, напротив. И если спецификация точек уже показывает необходимую имманентность решаемой задачи, вовлеченность в перекрывающее ее решение, то существование и размещение точек свидетельствуют о трансцендентности задачи и ее ведущей роли в организации самих решений. Короче, полное определение задачи совпадает с существованием, числом, распределением определяющих точек, которые как раз и создают для нее условия (особая точка способствует двум условным уравнениям)⁸³. Но тогда все труднее говорить о погрешностях или о компенсации погрешностей. Условные уравнения — не просто вспомогательные, не несовершенные уравнения, как говорил Карно. Они учреждают задачу и ее синтез. Ошибочность в понимании объективной идейной природ ы проблемного приводит к их сведению к погрешностям, даже полезным, или к фикциям, даже обоснованным, то есть так или иначе к субъективному моменту несовершенного, приблизительного или ошибочного знания. Мы называем “проблемной” совокупность задачи и ее условий. Дифференциалы исчезают в результате в той мере, в какой инстанция-задача сущностно отличается от инстанции-решения, в движении, в ходе которого решения необходимо перекрывают задачу, в том смысле, в каком условия задачи являются объектом синтеза Идеи, не выражающимся в анализе предположительных концептов, составляющих случаи решения. Так что первая альтернатива — реальное или фиктивное? — отпадает. Не реальный и не фиктивный дифференциал выражает сущность проблемного как такового, его объективную консистенцию и субъективную автономию.

Возможно, отпадает и вторая альтернатива, альтернатива бесконечного и конечного представления. Мы видели, что бесконечное или конечное, действительно, являются характерными чертами представления, поскольку содержащееся в нем понятие раскрывает весь свой объем или, напротив, блокирует его. В любом случае представление о различии отсылает к тождественности понятия как к принципу. Можно также рассматривать представления как предположения сознания, означающие случаи решения относительно понятия, взятого в общем виде. Но элемент проблемного в представлении в силу своего вне-предположительного характера не отпадает. Не будучи ни частным, ни общим, ни конечным, ни бесконечным, он является объектом Идеи как универсальный. Этот дифференциальный элемент — игра различия как такового, не опосредуемый представлением, не подчиненный тождественности понятия. Антиномия конечного и бесконечного возникает именно тогда, когда Кант в силу особого характера своей космологии считает себя обязанным наполнить представление содержанием, соответствующим Идее мира. По его мнению, антиномия разрешается, когда он, с одной стороны, открывает в представлении элемент, одновременно не сводимый ни к конечному, ни к бесконечному (регрессия), и когда, с другой стороны, он присоединяет к этому элементу чистое мышление другого элемента, сущностно отличающегося от представления (ноумен). Но в той мере, в какой это чистое мышление остается неопределенным — не определено как дифференциальное — представление со своей стороны реально не преодолено, как и предположения сознания, составляющие суть и частности антиномий. Однако современная математика сохраняет антиномию другим путем, поскольку предлагаемая ею строгая конечная интерпретация вычисления, тем не менее, предполагает аксиому бесконечного в обосновывающей ее теории множеств, хотя эта аксиома и не проиллюстрирована в вычислении. От нас всегда ускользает внепредположительный или надреп-резинтативный элемент, выраженный в Идее дифференциалом, именно в виде задачи.

Следует говорить скорее о диалектике вычисления, чем о его метафизике. Под диалектикой мы ни в коей мере не подразумеваем некую циркуляцию противоположных представлений, приводящую их к тождественности понятия, но элемент задачи, отличный от собственно математического элемента решений. Согласно общим тезисам Лотмана, задача имеет три аспекта: ее сущностное отличие отрешения; ее трансцендентность относительно решений, порожденных ею исходя из собственных определяющих условий; имманентность задачи перекрывающим ее решениям, так как задача бывает решена тем лучше, чем лучше она определяется. Таким образом, идеальные связи, образующие проблемную (диалектическую) Идею, воплощаются здесь в реальных отношениях, установленных математическими теориями и данных как решения задач. Мы видели, как все эти аспекты, три аспекта присутствуют в дифференциальном исчислении; решения являются здесь дискретными, соотносимыми с дифференциальными уравнениями, они рождаются из мыслительной непрерывности, связанной с условиями задачи. Однако следует уточнить важный момент. Дифференциальное исчисление, несомненно, принадлежит математике, это полностью математический инструмент. Трудно увидеть в нем платоновское свидетельство диалектики, превосходящей математику. По крайней мере, это было бы трудно, если бы аспект имманентности задачи не давал нам верного объяснения. Задачи всегда диалектичны, диалектика не имеет другого смысла, как не имеют его и задачи. Математическими (или физическими, биологическими, психическими, социологическими) являются решения. Но, действительно, с одной стороны, сущность решений отсылает к различным порядкам задач в самой диалектике; а с другой стороны, задачи, в силу их сущностной трансцендентной имманентности, технически выражаются в той области решений, которые они порождают в силу диалектического характера. Как прямая и окружность продублированы линейкой и компасом, каждая диалектическая проблема продублирована тем символическим полем, в котором выражается. Поэтому следует сказать, что есть задачи математические, физические, биологические, психические, социологические, хотя любая задача сущностно диалектична и нет иной проблемы, кроме диалектической. Итак, в математике содержится не только решение задач; в ней содержится также выражение задач относительно определяемого им поля решаемости; они определяют его в силу самого своего диалектического характера. Вот почему дифференциальное исчисление полностью относится к математике и одновременно обретает смысл в открытии диалектики, превосходящей математику.