Йэн Стюарт – Это база: Зачем нужна математика в повседневной жизни (страница 8)

Такой запрос может показаться чрезмерным, но в последнее время расцвела целая область математики, посвященная именно этой идее: теория справедливого дележа. И она гласит, что тщательно структурированные принципы переговоров помогают добиться того, что поначалу представляется невозможным.

Классический пример, из которого вытекает все остальное, – это спор двух детей из-за пирожного. Задача заключается в том, чтобы разделить пирожное, используя протокол – набор заранее определенных правил, – справедливость которого можно доказать. Классическое решение: «Я режу, ты выбираешь». Алиса разрезает пирожное таким образом, чтобы, по ее мнению, обе части имели равную ценность. После этого Боб выбирает себе один из кусочков. У Боба не должно возникнуть возражений, потому что выбирает он и, если ему не нравится один кусочек, он может взять другой. У Алисы также не должно быть возражений: если она считает, что Боб выбрал кусочек побольше, то ей с самого начала следовало разрезать пирожное иначе, чтобы кусочки получились равными. Если для них принципиален вопрос, кто первый, можно бросить монетку, но на самом деле в этом нет необходимости.

Впрочем, с учетом человеческой природы нельзя быть уверенным, что дети согласятся со справедливостью раздела после события. Когда я упомянул этот метод в статье, один из читателей написал мне, что опробовал его на своих детях, и Алиса (ненастоящее имя) стала жаловаться, что Бобу (тоже ненастоящее имя) досталось больше. Когда же отец заметил, что она сама в этом виновата, потому что разрезала неровно, это девочке не слишком понравилось – по ее мнению, это было все равно что обвинить жертву, – поэтому отец поменял доставшиеся детям кусочки. И услышал громкий рев: «У Боба все равно больше, чем у меня!» Но такого рода протокол должен, по идее, удовлетворить политиков – или, по крайней мере, заткнуть им рот – и определенно должен подойти суду. Судье нужно всего лишь убедиться, что протокол был соблюден.

Ключевой особенностью подобного протокола является то, что мы не пытаемся устранить взаимный антагонизм Алисы и Боба, а используем его для получения справедливого результата. Не просите их поступать по справедливости или сотрудничать, не предлагайте искусственных юридических определений справедливости. Просто позвольте им бороться друг с другом в рамках предложенной игры. Конечно, Алиса и Боб должны заранее согласиться играть по этим правилам, но им все равно придется согласиться на что-то, а правила здесь очевидно справедливы, так что несогласие, скорее всего, ни к чему не приведет.

Очень важно то, что протокол «я режу, ты выбираешь» не предполагает внешней оценки достоинств кусков пирожного. Он опирается на субъективные оценки игроков. Они просто должны считать, что полученная доля справедлива по их собственным критериям. В частности, им нет нужды достигать согласия относительно ценности чего бы то ни было. Мало того, справедливый дележ проходит легче, если они в этом не согласны. Один хочет вишенку, другой – кремовую розочку, остальное никого не волнует: дело сделано.

Когда математики и социологи начали воспринимать задачи такого рода всерьез, в них обнаружились замечательные скрытые глубины. Первый шаг вперед был сделан, когда математики и социологи задумались о том, как разделить пирожное на троих. Здесь не только сложно найти простейший ответ, но и обнаруживается новая закавыка. Алиса, Боб и Чарли могут согласиться, что результат справедлив, в том смысле что каждый получил по крайней мере треть пирожного по их собственной оценке, но Алиса может все же позавидовать Бобу и решить, что его доля больше, чем ее. Доля Чарли должна скомпенсировать это в глазах Алисы, если будет меньше ее доли, но в этом нет никакого противоречия, поскольку у Боба и Чарли могут быть разные представления о том, насколько ценны их кусочки для них. Так что имеет смысл поискать протокол, который будет не только справедливым, но и свободным от зависти[2]. И этого можно добиться{15}.

В 1990-е годы понимание задачи справедливого и свободного от зависти дележа значительно углубилось, начиная со свободного от зависти протокола дележа на четверых, найденного Стивеном Брамсом и Аланом Тейлором{16}. Разумеется, пирожное всего лишь метафора ценной вещи, которая поддается дележу. Теория рассматривает объекты, которые можно делить на сколь угодно малые части (пирожное) и которые существуют в виде дискретных единиц (книги, драгоценности). Это делает теоретические принципы применимыми к вопросам справедливого дележа в реальном мире, а Брамс и Тейлор объяснили, как использовать эти методы для разрешения имущественных споров в бракоразводных процессах. Их протокол подстраивающегося победителя обладает тремя основными достоинствами: он справедлив, свободен от зависти и эффективен (или оптимален, по Парето). То есть каждая сторона дележа считает, что его доля по крайней мере не меньше средней, ни одна сторона не хочет меняться долями с кем-либо, и не существует другого варианта дележа, который был бы по крайней мере столь же хорош для всех и лучше для кого-либо одного.

В бракоразводных процессах, например, протокол может работать примерно так. После долгой совместной жизни и попыток научиться расшифровывать взаимные криптографические послания Алиса и Боб понимают, что им все надоело, и решают развестись. Каждому из них выделяется по 100 баллов, которые они распределяют, присваивая каждому объекту имущества – дому, телевизору, кошке – определенное значение. Поначалу объекты переходят к тому из них, кто оценил их выше, то есть присвоил больше баллов. Это эффективно, но обычно такой метод не обеспечивает справедливости и не свободен от зависти, так что протокол предусматривает следующий этап. Если сумма баллов с обеих сторон совпадает, то всех все устраивает и дележ на этом завершается. Если нет, допустим, доля Алисы, согласно ее же оценкам, получается больше, чем доля Боба по его оценкам. Теперь объекты переходят от Алисы (победителя) к Бобу (проигравшему) в таком порядке, который обеспечивает уравнивание оценок. Поскольку и оценки, и объекты дискретны, один из объектов, возможно, придется делить на части, но протокол подразумевает, что делать это придется не более чем с одним объектом – скорее всего, с домом, который продают, а деньги делят. Однако этого не происходит, если Боб приобрел акции Apple до взлета этой компании на фондовом рынке.

Протокол подстраивающегося победителя удовлетворяет трем важным условиям справедливого дележа. Он гарантирует справедливость: можно доказать, что он справедлив, свободен от зависти и эффективен. Он работает по принципу многосторонней оценки: в нем учитываются индивидуальные предпочтения и ценность доли каждого участника дележа определяется по его собственным оценкам. И наконец, он справедлив по процедуре: обе стороны могут понять и проверить гарантию справедливости для любого решения, полученного в конечном итоге, а при необходимости в справедливости решения может убедиться и суд.

В 2009 году Зеф Ландау, Онейл Рейд и Илона Ершова предположили, что аналогичный подход мог бы, в принципе, устранить проблему манипуляций на выборах{17}. Протокол, не позволяющий никому из участников перекраивать границы округов в свою пользу, кладет конец попыткам манипуляций. Этот метод не связан с рассмотрением формы округов и не дает якобы беспристрастным третьим лицам возможности навязать участникам свою карту. Он нацелен на уравновешивание конкурирующих интересов.

К тому же этот подход можно улучшать, чтобы принять во внимание дополнительные факторы, такие как географическая целостность и компактность. Если окончательное решение должна принимать внешняя организация, например избирательная комиссия, то результаты дележа могут быть представлены ей в составе фактов, на основании которых следует основывать суждение. Никто не утверждает, что в реальном мире такие методы способны полностью устранить предвзятость, но они работают намного лучше существующих методов и в значительной мере устраняют соблазн прибегнуть к откровенно нечестной практике.

В этом протоколе, слишком сложном для подробного описания, задействован независимый агент, который предлагает способ деления штата на две части. Затем партиям предоставляется возможность изменить карту агента, разделив одну из половин еще надвое, при условии, что другая партия разделит вторую половину. Или они могут выбрать вариант, при котором партии меняются ролями. Это вариант принципа «я режу, ты выбираешь» с более сложными последовательностями резов. Ландау, Рейд и Ершова доказывают, что их протокол справедлив с точки зрения любой партии. По существу, две партии играют одна против другой. Но игра организована так, чтобы заканчиваться ничьей, а каждый участник был уверен в получении максимально возможного результата. Если это не так, то ему следовало играть лучше.

В 2017 году Ариэль Прокачча и Уэсли Пегден усовершенствовали этот протокол, исключив из него независимого агента, так что теперь все вопросы решаются двумя противоборствующими сторонами. Если коротко, одна политическая партия делит карту штата на требуемое по закону число округов с равным (насколько возможно) числом избирателей в каждом. Затем вторая партия «замораживает» один округ, то есть делает дальнейшее изменение его границ невозможным, и перерисовывает, как считает нужным, границы остальных. Затем первая партия замораживает на новой карте еще один округ и перерисовывает оставшиеся. Так партии по очереди замораживают и перерисовывают округа, пока все они не окажутся замороженными. Это и есть окончательная карта избирательных округов. Если всего округов, скажем, 20, процесс займет 19 циклов. Пегден, Прокачча и приглашенный студент-компьютерщик Юй Динли математически доказали, что этот протокол не дает первому игроку преимущества и что ни один из игроков не сможет сосредоточить в одном округе определенную часть населения, если второй игрок этого не захочет.