Йэн Стюарт – Это база: Зачем нужна математика в повседневной жизни (страница 40)

Если такая закономерность справедлива и для остальных образцов, то можно отказаться от требующих времени и дорогих испытаний на пружинонавивочной машине и судить о годности проволоки по форме и размеру размытого облака. Это решило бы практическую задачу поиска дешевого и эффективного теста для определения свиваемости. На самом деле неважно, является ли такой параметр, как промежутки между витками, случайным, хаотичным или в какой-то мере тем и другим. Не обязательно точно знать, как меняются свойства материала по длине проволоки или даже что это за свойства. Совершенно не обязательно проводить очень сложные расчеты упругости и подтверждать их не менее сложными экспериментами, чтобы понять, как изменчивость свойств влияет на свиваемость. Знать нужно лишь то, как различаются графики скользящего окна для годной и негодной проволоки, а это можно определить испытаниями на большом количестве образцов проволоки и сравнением с тем, как они ведут себя на пружинонавивочной машине.

Теперь стало ясно, почему такие стандартные статистические характеристики данных, как средняя величина и дисперсия (разброс), бесполезны. Они не учитывают порядок получения данных: как каждое следующее расстояние соотносится с предыдущим. Если перемешать числа, их среднее значение и дисперсия не изменятся, но форма облака точек может измениться кардинально. Здесь, скорее всего, и кроется ключ к производству качественных пружин.

Чтобы проверить эту догадку, мы построили машину контроля качества FRACMAT, которая наматывала тестовую пружинку на круглый металлический стержень, сканировала ее при помощи лазерного микрометра, чтобы измерить последовательные промежутки, передавала эти данные в компьютер, применяла к ним метод скользящего окна для восстановления аттрактора, получала облако точек, оценивала описывающий его эллипс, проверяя, какой он формы – округлый или сигарообразный – и велик ли он, и устанавливала, годным или негодным является образец. Это было практическое применение теории хаоса и метода восстановления аттрактора к задаче, которая формально даже не была хаотической. В полном соответствии с целью финансирования от Министерства торговли и промышленности, которое предназначалось не для исследований, а для распространения технологических достижений, мы перенесли метод восстановления аттрактора из математики хаотической динамики на временной ряд наблюдений вовсе не хаотической, а вполне реальной системы. Собственно, мы с самого начала говорили им, что собираемся сделать именно это.

Хаос – это не просто красивое слово для обозначения случайности. В краткосрочной перспективе хаос предсказуем. Если вы бросите игральную кость, то текущий бросок ничего не скажет о том, что произойдет дальше. Что бы ни выпало сейчас, любое из имеющихся на гранях чисел – 1, 2, 3, 4, 5, 6 – может выпасть в следующий раз с равной вероятностью. Если, конечно, эта игральная кость честная, а не налита, скажем, свинцом с одной стороны. Хаос не таков. Если бы с игральной костью ассоциировался хаос, в выпадениях были бы закономерности. Возможно, после 1 выпадали бы только 2 или 5, а после 2 – только 4 или 6 и т. д. Следующий результат был бы до некоторой степени предсказуем, но результат пятого или шестого броска после текущего мог бы уже быть любым. Чем дальше будущее, о котором вы хотите знать, тем более неопределенными становятся предсказания.

Второй проект, DYNACON, вырос из первого, когда мы поняли, что можно использовать краткосрочную предсказуемость хаоса для управления пружинонавивочной машиной. Если бы удалось каким-то образом измерять длины пружин по мере их изготовления и выявлять тенденции в полученных данных, говорящие о том, что машина действительно работает хаотически, то можно было бы заметить ухудшение качества пружин и подстроить машину так, чтобы компенсировать его. Производители к тому моменту уже нашли способы измерения длины пружины при ее изготовлении, чтобы отбраковывать изделия с отклонениями в размерах, но мы хотели большего. Не просто отсортировывать некачественные пружины при изготовлении, а вообще предотвратить их появление. Не полностью, но в достаточной мере, чтобы избежать значительных потерь проволоки.

Математика в основном имеет дело с точными расчетами. Некое число равно (или не равно) двум. Это число принадлежит (или не принадлежит) множеству простых чисел. Однако реальный мир зачастую не столь однозначен. Результат измерения может быть близок к 2, но не равен двум в точности; более того, если измерить ту же величину снова, результат может слегка отличаться от первого. Хотя число не может быть «почти простым», оно определенно может быть «почти целым». Такое описание вполне разумно для таких чисел, как, скажем, 0,99 или 2,01. В 1965 году Лотфи Заде и Дитер Клауа независимо друг от друга сформулировали точное математическое описание такого рода размытости, получившее название теории нечетких множеств, наряду с родственной концепцией нечеткой логики.

В традиционной теории множеств объект (такой как число) либо принадлежит конкретному множеству, либо не принадлежит. В теории нечетких множеств существует точная численная мера степени его принадлежности множеству. Так что число 2 может, в принципе, принадлежать множеству наполовину или, скажем, на треть. Если такая мера равна 1, число определенно принадлежит множеству, а если она равна 0 – определенно не принадлежит. Если оставить только значения 0 и 1, получится традиционная теория множеств. Если разрешить этой мере принимать любые значения между 0 и 1, степень нечеткой принадлежности захватит серую зону между двумя этими крайними значениями.

Некоторые видные математики сразу отбросили эту идею под тем предлогом, что теория нечетких множеств – это просто замаскированная теория вероятностей или что логика большинства людей и без того нечеткая, а потому ни к чему делать такой и математику. Вопрос о том, что заставляет некоторых ученых поспешно отбрасывать новые идеи, всегда ставит меня в тупик, особенно в ситуации, когда их возражения лишены смысла. Никто не предлагал заменять стандартную логику на нечеткую. Нечеткая логика предлагалась всего лишь как дополнительный инструмент в математическом арсенале. Хотя на первый взгляд нечеткие множества действительно напоминают вероятности, подчиняются они иным правилам, и интерпретация там тоже иная. Если число принадлежит множеству с вероятностью 1/2 и вам нравится частотный подход к вероятностям, то вы говорите, что при многократном повторении эксперимента число будет принадлежать этому множеству примерно в половине случаев. Если вы сторонник байесовского подхода, то будете считать, что число принадлежит множеству на 50 %. Но в теории нечетких множеств элемент случайности отсутствует. Число определенно принадлежит множеству, но степень его принадлежности не равна 1. Она в точности равна 1/2. Что касается презрительного замечания о плохой логике, то заметим: в нечеткой логике есть точные правила, и любые рассуждения, в которых она используется, либо верны, либо нет – в зависимости от того, выполняются ли в них эти правила. Мне кажется, слово «нечеткая» внушает некоторым мысль о том, что сами правила там легко поддаются воздействию и плохо определены. Это не так.

Другой вопрос, способный еще больше замутить воду, состоит в том, добавляют ли нечеткие множества и нечеткая логика что-нибудь ценное в математику. Ведь совсем несложно придумывать обширные формальные системы, которые оказываются немногим лучше нагромождения бессмысленных формул, то есть «абстрактной чепухи». Подозреваю, что искушение увидеть в детище Заде нечто подобное было довольно сильным, особенно поскольку основы теории едва ли можно назвать глубокими или сложными. В то же время если доказательством пудинга может быть только его употребление, то ценность математики можно установить разными способами, лишь в одном из которых фигурирует ее интеллектуальная глубина. Другим, довольно показательным в свете этой книги фактором является полезность. И надо сказать, что многие почти тривиальные математические идеи оказались в конечном итоге чрезвычайно полезными. Десятичная запись чисел, например. Она блестяще, новаторски, умно меняет правила игры, но никакой особой глубины в ней нет. Даже ребенок способен это понять.

Нечеткая логика и теория нечетких множеств, пожалуй, тоже не удовлетворяют критерию глубины, по крайней мере в сравнении с гипотезой Римана или Великой теоремой Ферма. Но они оказались очень, очень полезными. Они выходят на первый план всякий раз, когда мы не до конца уверены в точности информации, которую получаем из наблюдений. Сегодня нечеткая математика широко применяется в таких областях, как лингвистика, принятие решений, анализ данных и биоинформатика. Она используется, когда способна сделать дело лучше любого альтернативного метода, в остальных же случаях ее можно спокойно игнорировать.

Я не хочу вдаваться в подробности теории нечетких множеств, которые не нужны, чтобы оценить по достоинству наш второй проект. Мы опробовали несколько методов, позволяющих предсказать, что пружинонавивочная машина вот-вот начнет выдавать некачественные пружины, и соответствующим образом изменить настройки. Один из этих методов известен в отрасли как модель нечеткой идентификации Такаги – Сугено и назван в честь инженеров Томахиро Такаги и Митио Сугено{58}.