Владимир Успенский – Апология математики (сборник статей) (страница 77)

σ = {<}.

Может быть, причина нашего неуспеха в попытке определить аксиоматически натуральный ряд вызвана именно бедностью сигнатуры? Давайте расширять сигнатуру и наблюдать, чтó при этом будет происходить.

Сперва добавим в сигнатуру константу «0» (для обозначения наименьшего, относительно порядка «<», элемента) и штрих «'» для обозначения операции непосредственного следования. На Натуральном Ряде N эти объекты подчинены аксиомам (свойствам) 7 и 8 (сравните свойства 4 и 5, которые вытекают из свойств 7 и 8).

7. ∀y (0 = у ∨ 0 < у).

8. ∀x (x < x' ¬ ∃ z (x < z ∧ z < x')).

Всякий натуральный ряд с сигнатурой {0, ', <} изоморфен, по определению, Натуральному Ряду N, причём изоморфизм рассматривается относительно {0, ', <}. Поэтому всякий такой натуральный ряд состоит из элементов 0, 0', …, упорядоченных следующим образом: 0 < 0' < 0'' < 0''' <…

замечание. Следует отдавать себе отчёт, что в каждом натуральном ряду свой 0, свой ' и своё <, т. е. свой элемент, обозначенный через «0», своя операция, обозначенная через «'», и своё отношение, обозначенное через «<». Строго говоря, для каждого натурального ряда мы должны были бы придумать своё обозначение этих объектов: например, если мы рассматриваем натуральный ряд M, то нужно прибавлять эту букву M в качестве индекса к знакам «0», «'», «<». Эта строгость создаёт некоторое удобство. Однако отсутствие строгости тоже создаёт некоторое удобство. Считается, что в данном случае удобство от нестрогости больше, и поэтому одним и тем же знаком «0» обозначаются различные элементы (но в каждом натуральном ряду – один и только один элемент; в частности, в Натуральном Ряду – мощность пустого множества). Аналогично знак «<» обозначает различные отношения (но в каждом натуральном ряду только одно) и знак «'» обозначает различные операции (но в каждом натуральном ряду – только одну). Сказанное сохраняет силу не только для натуральных рядов, но и для любых структур сигнатуры {0, ', <}, не обязательно изоморфных N.

Посмотрим теперь, как выглядит произвольная структура сигнатуры {0, ′, <}, подчиняющаяся аксиомам 1–8 (аксиомы 4 и 5 следуют из аксиом 7 и 8, но в этом нет большой беды). Она, очевидно, представляет собой линейно упорядоченное множество, в котором 0 есть наименьший элемент, 0′ – непосредственно следующий за 0 элемент (так что между 0 и 0′ ничего нет), 0′′ – непосредственно следующий за 0′ элемент и т. д. Все эти элементы 0, 0′, 0′′, 0′′′′, … образуют начальный отрезок нашей структуры. Этот начальный отрезок называется стандартной частью структуры, а оставшаяся часть (она может быть и пустой) – нестандартной. Стандартная часть изоморфна Натуральному Ряду N. Если бы оказалось, что в любой структуре сигнатуры {0, ′, <}, подчиняющейся аксиомам 1–8, нет ничего, кроме стандартной части, то наша цель была бы достигнута: аксиомы 1–8 давали бы в своей совокупности искомое аксиоматическое определение натурального ряда, точнее, натурального ряда сигнатуры {0, ′, <}.

Однако это не так, поскольку структура, графически изображённая на рис. 3, такая, скажем, как (***), где

удовлетворяет аксиомам 1–8, но не изоморфна N: в ней есть непустая нестандартная часть (на рис. 3 эта нестандартная часть изображена справа), в (***) эта нестандартная часть состоит из элементов вида  Более того, оказывается, что никакие аксиомы не могут задать натуральный ряд сигнатуры {0, ', <}, поскольку структура на рис. 3 всегда будет моделью для таких аксиом.

Может быть, дело всё ещё в бедности сигнатуры? Что будет, если добавить сложение и умножение и рассматривать натуральный ряд не сигнатуры {0, ', <}, а сигнатуры {0, ', <, +, ·}? Можно ли для такой более богатой сигнатуры составить список аксиом, определяющих понятие натурального ряда этой сигнатуры, т. е. выделить из всех структур этой сигнатуры те структуры, которые относительно 0, ', <, +, · изоморфны N? Оказывается, нет, нельзя. Какую бы совокупность аксиом[156] – конечную или бесконечную – мы ни образовали, всегда для этой совокупности будут существовать структуры (сигнатуры {0, ', <, +, ·}), не изоморфные N. Более того, какую бы мы ни взяли сигнатуру и какую бы ни взяли для этой сигнатуры систему аксиом, всегда будет существовать модель этой системы аксиом, не изоморфная Натуральному Ряду N. Такие неизоморфные N модели называют нестандартными, а аксиомы, перечисляющие свойства натурального ряда (особенно, когда в сигнатуру входят «+» и «·»), называют аксиомами арифметики. Поэтому сказанное можно выразить и так: для любой системы аксиом арифметики существует нестандартная модель.

Если в число аксиом входят аксиомы 1–8 или какие-нибудь им равносильные, то в любой модели можно выделить стандартную часть 0, 0', 0'', …; нестандартность модели означает в этом случае непустоту нестандартной части. Эта нестандартная часть может оказаться устроенной более сложно, чем на рис. 3. На рис. 3 нестандартная часть подобна с точки зрения порядка множеству Z всех целых чисел. При естественных же аксиомах для сигнатуры, включающей операцию сложения, нестандартная часть всякой счётной (т. е. насчитывающей счётное число элементов) структуры, удовлетворяющей этим аксиомам, имеет вид, который мы (не очень удачно) пытались изобразить на рис. 4. На этом рисунке мы пытались как-то выразить следующую идею: берётся очень много (бесконечное счётное число) экземпляров множеств целых чисел Z, и эти экземпляры располагаются так, как расположено множество всех рациональных чисел Q.

Итак, предъявить систему аксиом, определяющую понятие натурального ряда (какой угодно сигнатуры), невозможно. Более подробная расшифровка этого утверждения, как мы знаем, такова: какие ни выбрать определённые на N операции и отношения, не может быть такой системы аксиом, все модели которой изоморфны N относительно этих операций и отношений.

Вот теперь и ответим на в опрос: а как же аксиомы Пеано?

Классические аксиомы Пеано с несущественными изменениями устроены так. Рассматривается сигнатура {0, '}. Формулируются три аксиомы.

I. ¬ ∃ x (x′ = 0).

II. ∀ x ∀ у (x' = у' ⇒ x = у).

III. Аксиома индукции.

Третью аксиому, аксиому индукции, мы пока только назвали, но не выписали. Теперь выпишем её:

∀Р {[Р(0) ∧ ∀x (Р(x) ⇒ Р(x'))] ⇒ ∀xР(x)}.

Приглядимся к аксиоме индукции. Мы замечаем, что в ней наряду с обычной индивидной переменной встречается ещё переменная Р. Разъясним смысл этой переменной. Прежде всего напомним, что семантика формулы (т. е. придание этой формуле смысла) возникает лишь после того, как предъявляется математическая структура соответствующей сигнатуры. В частности, чтобы обрели смысл аксиомы Пеано (формулы I–III), надо предъявить какую-либо структуру сигнатуры {0, '}, т. е. множество с выделенным элементом, обозначенным через «0», и выделенной одноместной операцией, обозначенной через «'». Тогда сразу определяется область изменения переменной x (как и всякой индивидной переменной): это есть множество всех элементов рассматриваемой структуры. Какова же область изменения переменной Р?

Переменная Р – особая, не встречавшегося ещё в нашем изложении типа. Её область изменения состоит из всевозможных свойств (= одноместных отношений), определённых на рассматриваемой структуре, т. е. свойств элементов этой структуры.

Понятие свойства относится к первичным и постигается из примеров. На натуральных числах определено, например, свойство чётности: каждое число может быть либо чётным, либо нечётным. Здесь несущественно, что бывают как чётные, так и нечётные числа; нас устроила бы ситуация, когда все числа – чётные; важно, что для каждого числа осмыслен вопрос, чётное оно или нечётное. А вот свойство зелёности не определено на натуральном ряду; для числа «быть зелёным» бессмысленно. Выше мы сформулировали некоторые свойства, какими как целое обладает Натуральный Ряд. Свойствами могут обладать и отношения: так, среди отношений выделяются, например, транзитивные. Но в данный момент нас интересуют свойства элементов рассматриваемой структуры (для которой выполняются аксиомы Пеано). Именно эти свойства могут выступать в качестве значений переменной Р.

Тот факт, что элемент a обладает свойством Q, записывается как Q(a). Если на элементах какого-то множества М определено свойство Q, то можно ввести в рассмотрение подмножество K этого множества, состоящее из тех и только тех элементов М, которые обладают свойством Q:

(x ∈ K) ⇔ Q(x). (!)

И наоборот, для каждого подмножества K можно ввести свойство Q – «быть элементом K», и опять-таки будет выполнено соотношение (!). Таким образом, свойство – это почти то же самое, что подмножество: «язык свойств» и «язык подмножеств» тривиально переводимы один в другой. (На языке подмножеств, например, аксиома индукции записывалась бы так:

∀ P{[0 ∈ Р ∧ ∀ x (х ∈ Р ⇒ х' ∈ Р)] ⇒ ∀ x (x ∈ Р)}.)

Итак, область изменения переменной Р в аксиоме индукции – совокупность всех свойств, определённых на рассматриваемой структуре. Посмотрим, как эта аксиома используется для того, чтобы установить, что удовлетворяющая аксиомам Пеано структура изоморфна N. Пусть структура сигнатуры {0, '} удовлетворяет аксиомам I–III. Аксиомы I–II обеспечивают наличие в этой структуре стандартной части {0, 0', 0'', 0''', …}. Теперь применим аксиому индукции, взяв в качестве значения переменной Р такое свойство P₀ элементов структуры: «принадлежать к стандартной части». Аксиома гласит, что нечто справедливо для всякого Р, в частности для этого P₀. Таким образом: