Напомним, что отрезок a называется мерой отрезка b, если a укладывается в b целое число раз. Возникает вопрос, для всяких ли двух отрезков существует их общая мера, т. е. такой отрезок, который является мерой для каждого из этих двух. Если какие-либо два отрезка имеют общую меру, то эти отрезки называются соизмеримыми, в противном же случае – несоизмеримыми. Итак, любые ли два отрезка соизмеримы? Этот вопрос имеет принципиальное значение: отношение несоизмеримых отрезков не может быть выражено рациональным числом, и потому именно явление несоизмеримости вызывает к жизни иррациональные числа. Тот факт, что несоизмеримые отрезки существуют, был известен ещё древним грекам и производил на них глубокое впечатление, а с открытием этого факта связан ряд легенд. Самым ранним примером несоизмеримых отрезков была такая пара: диагональ какого-нибудь квадрата и сторона этого же квадрата. Разумеется, попытки доказать несоизмеримость двух отрезков методом перебора были бы тщетны, ведь тогда пришлось бы перебрать все отрезки (что невозможно!) и убедиться, что никакой из них не является общей мерой рассматриваемых отрезков, в частности общей мерой стороны и диагонали одного и того же квадрата.
Все известные доказательства несоизмеримости стороны и диагонали квадрата осуществляются способом от противного. Мы приведём два доказательства – арифметическое и геометрическое. Обоим предпошлём следующее соображение. Если разрезать квадрат по диагонали, возникнут два равнобедренных прямоугольных треугольника, в каждом из которых эта диагональ будет гипотенузой, а стороны квадрата – катетами. Так что вопрос о соизмеримости или несоизмеримости стороны квадрата и его диагонали равносилен вопросу о соизмеримости или несоизмеримости катета и гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника. Несоизмеримость катета и гипотенузы мы и будем доказывать.
Пример 17. Несоизмеримость гипотенузы и катета равнобедренного прямоугольного треугольника. Арифметическое доказательство. Предположим противное: у гипотенузы и катета имеется общая мера. Пусть эта общая мера укладывается целое число m раз в гипотенузе и целое число n раз в катете. Тогда по теореме Пифагора 2n² = m², откуда √2= m/n. Но этого не может быть, так как √2 есть число иррациональное, что было доказано в примере 11.
Но известно и другое доказательство несоизмеримости гипотенузы и катета, чисто геометрическое, необыкновенно красивое и, возможно, древнее.
Пример 18. Несоизмеримость гипотенузы и катета равнобедренного прямоугольного треугольника. Геометрическое доказательство. Рассуждать будем так. Для каждого равнобедренного прямоугольного треугольника Q построим другой равнобедренный прямоугольный треугольник Q´ с более коротким катетом и такой, что всякая общая мера катета и гипотенузы треугольника Q служит также общей мерой катета и гипотенузы треугольника Q´. Применяя к Q´ ту же конструкцию, получим равнобедренный прямоугольный треугольник Q´´ с ещё более коротким катетом и такой, что всякая общая мера катета и гипотенузы треугольника Q' служит также общей мерой катета и гипотенузы треугольника Q´´. К треугольнику Q´´ снова применяем ту же конструкцию. И так далее. Получаем бесконечную последовательность равнобедренных прямоугольных треугольников Q, Q´, Q´´, Q´´´, … со всё более и более короткими катетами; при этом всякая общая мера катета и гипотенузы исходного треугольника Q будет в то же время и общей мерой катета и гипотенузы треугольника Q´, а значит, и общей мерой катета и гипотенузы треугольника Q´´, а следовательно, катета и гипотенузы треугольника Q´´´ и т. д. Это построение, которое мы осуществим ниже, и позволяет провести доказательство от противного.
Действительно, предположим, что некоторый отрезок a является общей мерой для катета и гипотенузы треугольника Q. Тогда для каждого из треугольников Q(k) он является общей мерой катета и гипотенузы этого треугольника. Отсюда следует, что в катете каждого из этих треугольников он укладывается какое-то целое число раз. Пусть отрезок a укладывается n раз в катете треугольника Q, пусть далее этот отрезок укладывается n´ раз в катете треугольника Q´, n´´ раз – в катете треугольника Q´´ и т. д. Поскольку длины катетов уменьшаются, то n > n´ > n´´ > n´´´ > …; таким образом, мы получаем бесконечную последовательность убывающих натуральных чисел, что невозможно. А это значит, что было неверным наше исходное предположение о существовании у катета и гипотенузы треугольника Q общей меры.
Осталось указать, как по треугольнику Q = Δ ABC строится треугольник Q´.
На гипотенузе BC исходного треугольника Q откладываем отрезок BD, равный катету (рис. 1). Из D восстанавливаем перпендикуляр к BC. Обозначим через E точку пересечения этого перпендикуляра с прямой, проходящей через точки A и C. Убедимся, что эта точка располагается между точками A и C, т. е. на стороне AC, а не на продолжении этой стороны за точку A. Соединив прямой точки A и D (на рис. 1 эта прямая показана штриховой линией), получаем треугольник ADB. Этот треугольник равнобедрен по построению, и его углы BDA и BAD, прилежащие к равным сторонам, равны. В треугольнике не может быть ни двух прямых углов, ни двух тупых, поэтому угол BDA острый и, следовательно, меньше прямого угла BDE, а потому прямая DE не может идти внутри угла BDA. Значит, она проходит внутри угла ADC, в чём и требовалось убедиться.
Изучим наш чертёж более детально и установим три соотношения между его деталями. В прямоугольном (по построению) треугольнике CED угол ECD равен половине прямого угла, а общая сумма углов треугольника равна двум прямым; отсюда следует, что и угол CED равен половине прямого. Мы видим, что в треугольнике CED углы при его вершинах C и E равны; следовательно, этот треугольник равнобедренный с равными сторонами DE и DC:
Соединим точки B и E. Замечаем, что треугольники BEA и BED имеют общую сторону BE и равные стороны BA и BD; поскольку они прямоугольны, то сказанного достаточно для их равенства. Следовательно,
Соединяя формулы (*) и (1), получаем второе из искомых соотношений:
Наконец, выводим третье соотношение. Поскольку, как только что доказано, |DC| = |AE|, то |DC| = |AE| < |AC| = |AB|. Итак,
Теперь уже нетрудно показать, что в качестве искомого треугольника Q´ можно взять треугольник CED. Действительно, он прямоуголен по построению и равнобедрен, как показывает соотношение (1). Его катет короче катета исходного треугольника Q = Δ ABC, как показывает соотношение (3). Осталось убедиться, что всякая общая мера гипотенузы и катета треугольника ABC служит также и общей мерой для гипотенузы и катета треугольника CED. В самом деле, пусть некоторая общая мера сторон треугольника ABC укладывается p раз в его катете и q раз – в его гипотенузе BC. Тогда она укладывается p раз в равном катету отрезке BD и q – p раз – в отрезке CD. Поскольку, согласно соотношению (2), отрезок AE равен отрезку CD, то и в AE эта общая мера укладывается q – p раз. Значит, в отрезке EC она укладывается р – (q – p) раз. Итак, эта мера укладывается целое число раз и в катете CD, и в гипотенузе EC треугольника CED, т. е. является их общей мерой.
Замечание. Египетский треугольник и обратная теорема Пифагора. Теорема Пифагора утверждает, что в любом прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы (понятно, что надо бы говорить о длинах катетов и гипотенузы, но слово «длина» для краткости часто опускается). Всякая тройка целых чисел, выражающих длины сторон какого-либо прямоугольного треугольника, называется пифагоровой. Пифагоровых троек бесконечно много, из них тройка (3, 4, 5) имеет наименьшие члены, а прямоугольный треугольник с такими длинами сторон называется египетским. Происхождение названия таково. В Древнем Египте этот треугольник использовался в строительстве для построения прямого угла. Верёвка, разбитая на 12 равных частей, растягивалась в трёх точках так, чтобы эти точки стали вершинами треугольника со сторонами длиною в 3, 4 и 5 частей. Треугольник оказывался прямоугольным. Тем не менее само существование египетского треугольника требует доказательства. Построить треугольник с длинами сторон 3, 4, 5 нетрудно, но вот почему он будет прямоугольным? Нередко можно услышать ответ: «По теореме Пифагора, потому что 3² + 4² = 5²». Ответ неверен. Теорема Пифагора утверждает, что в прямоугольном треугольнике выполняется известное соотношение между длинами сторон. Но она не утверждает, что, если это соотношение выполняется, треугольник прямоуголен. Этот факт составляет содержание другой теоремы, обратной к теореме Пифагора и называемой для краткости обратной теоремой Пифагора. Обратная теорема Пифагора гласит: если в каком-то треугольнике сумма квадратов двух сторон равна квадрату третьей, то треугольник прямоуголен и против большей стороны лежит прямой угол. Её доказательство чрезвычайно просто. Пусть длины сторон треугольника Δ суть a, b, c, причём a² + b² = c². На сторонах прямого угла отложим от его вершины O отрезки OX и OY, равные, соответственно, a и b. Возникает прямоугольный треугольник OXY, гипотенуза XY которого имеет по теореме Пифагора длину т. е. c. Таким образом, треугольники Δ и OXY имеют соответственно равные стороны и, следовательно, равны. Значит, треугольник Δ прямоугольный и против стороны с длиной c лежит прямой угол.
