Владимир Успенский – Апология математики (сборник статей) (страница 61)

Предвидим протест или по меньшей мере удивление некоторых читателей. Как же так? Такое важное математическое понятие, как «доказательство», имеет столь нечёткое определение, да и вообще не определение, а описание, пояснение. На это у нас два возражения. Во-первых, даже в математике всё определить невозможно, ведь одни понятия определяются через другие, другие – через третьи и т. д. Но и этот процесс не может продолжаться бесконечно. Поэтому мы вынуждены где-то остановиться. Во-вторых, понятие доказательства не есть математическое понятие (подобное, скажем, понятию действительного числа или понятию многоугольника); по отношению к математике оно не внутреннее, а внешнее; оно принадлежит не математике, а психологии (и отчасти лингвистике). Однако невозможно представить себе современную математику без повсеместного использования этого понятия.

Можно ли предложить разумную классификацию всевозможных доказательств, т. е. убедительных рассуждений? Вряд ли. Тем более что доказательство, как правило, состоит из нескольких (иногда очень многих) этапов, и на каждом этапе применяется свой способ убеждения. Можно, однако, среди схем доказательства выделить несколько часто повторяющихся; ниже некоторые из таких схем будут изложены.

Чтобы не дезориентировать читателя, сделаем два предупреждения.

Предупреждение первое. Было бы глубоким заблуждением считать, что других методов доказательства не бывает. Да и само выделение схем достаточно условно. Ведь нередко бывает, что одна схема вклинивается в другую; скажем, внутри доказательства по индукции может встретиться доказательство от противного, и наоборот.

Предупреждение второе. Ниже будут приведены примеры лишь очень простых и коротких доказательств. Между тем многие математические доказательства и гораздо сложнее, и гораздо длиннее, они могут занимать десятки, сотни и даже тысячи страниц. Поясним, откуда берутся эти тысячи. Дело в том, что каждое доказательство опирается на какие-то факты, и, если включить в него и полные доказательства всех этих фактов, тут-то и могут потребоваться тысячи страниц.

§ 2. О точности и однозначности математических терминов

Но прежде чем продолжить разговор о доказательствах, необходимо сказать несколько слов о математической терминологии.

Убедительность математических доказательств поддерживается отчётливостью, недвусмысленностью математических утверждений. Когда, например, говорят, что один общественный строй более прогрессивен, чем другой, то не вполне ясно, что в точности это означает. А вот когда говорят, что две прямые пересекаются, то каждому однозначно понятен смысл этих слов.

Для того чтобы математические суждения воспринимались как точные и недвусмысленные, необходимо прежде всего, чтобы таковыми были те понятия, которые в этих суждениях используются. Суждения облекаются в словесную форму в виде предложений, а понятия – в виде терминов. Таким образом, каждый термин должен иметь, во-первых, точно очерченный смысл. Во-вторых, смысл должен быть только один. Что же в действительности происходит с математическими терминами?

Надо признать, что смысловая точность реально достигается лишь в профессиональных, высокоучёных математических текстах, в повседневной же практике – отнюдь не всегда. Чем точнее очерчен смысл термина, тем убедительнее использующие этот термин доказательства. Однозначности терминов также, к сожалению, не наблюдается. Возьмём, к примеру, такой распространённый термин, как «многоугольник». Его понимают по-разному: и как любую замкнутую ломаную, и как самонепересекающуюся замкнутую ломаную (и то и другое ещё надо определять!), и как часть плоскости, ограниченную ломаной. Если вдуматься, то выражение «часть плоскости, ограниченная ломаной» нуждается в разъяснении, а тот факт, что такая часть существует, – ещё и в доказательстве, каковое оказывается довольно непростым (сам этот факт представляет собой частный случай так называемой теоремы Жордана, касающейся не только ломаных, но и замкнутых линий вообще). Тем не менее именно в таком, достаточно наглядном и потому оставляемом без разъяснения смысле термин «многоугольник» понимается в настоящем очерке (а потому все излагаемые здесь рассуждения о многоугольниках убедительны лишь постольку, поскольку ясен смысл термина).

Или термин «угол». Вот несколько различных значений этого термина:

(1) 'два луча, исходящих из одной точки';

(2) 'угол в значении (1) плюс одна из двух частей, на которые им разбивается плоскость';

(3) 'поворот луча';

(4) 'мера угла в значении (1)' (так понимают этот термин, когда говорят о сумме углов треугольника или произвольного выпуклого многоугольника);

(5)'мера угла в значении (2)' (так понимают этот термин, когда говорят о сумме углов произвольного многоугольника, не обязательно выпуклого);

(6) 'мера угла в значении (3)' (так понимают этот термин, когда говорят об отрицательных углах и об углах, бóльших или равных 360°).

Заметим, что отнесение к углу как геометрической фигуре его меры как числа представляет собою с позиций Высокой Науки довольно сложную процедуру.

В дальнейшем изложении встретятся три важных неоднозначных термина. Это термины «натуральное число», «натуральный ряд» и «равно».

Возможны два понимания того, что такое натуральное число, отличающиеся друг от друга в одном пункте: считать ли ноль натуральным числом? В школьных учебниках понятие натурального числа обычно выводят из пересчёта предметов, и потому натуральный ряд начинают с единицы. Но можно понимать натуральное число и как количество элементов какого-либо конечного множества. Поскольку одним из конечных множеств является пустое множество, вовсе не содержащее никаких элементов (например, множество ныне живущих динозавров), а количество элементов пустого множества есть ноль, то – при этом втором понимании – и наименьшее натуральное число есть ноль. При первом понимании понятие натурального числа совпадает с понятием целого положительного числа, при втором – с понятием целого неотрицательного числа. Подчеркнём, что каждое из указанных двух понятий имеет совершенно точное, недвусмысленное содержание, а двусмысленность заключается в терминологии, поскольку каждое претендует на то, чтобы его называли «натуральным числом». Дабы избежать неясностей, первое понятие можно было бы называть считательным натуральным числом, а второе – количественным натуральным числом.

Натуральный ряд – это, по определению, множество всех натуральных чисел. Сообразно сказанному есть два понятия натурального ряда: одно из них предполагает, что натуральный ряд начинается с ноля, другое – что с единицы.

Каждая из двух точек зрения на то, чтó понимать под терминами «натуральное число» и «натуральный ряд», имеет свои преимущества. Которую из них выбрать – дело вкуса. Но какую-то надо выбрать обязательно. Потому что невозможно ни говорить о доказательствах, ни тем более доказывать что-нибудь, не договорившись о значениях терминов. Чтобы не слишком уклоняться от школьной терминологии, мы будем начинать натуральный ряд с единицы. Впрочем, в некоторых из приводимых ниже примеров на тему индукции удобнее относить к натуральным числам и ноль. Желающих начинать натуральный ряд с ноля призываем слегка переделать последующее изложение метода индукции, а именно: в базисе индукции надо положить n = 0 вместо n = 1.

Теперь о слове «равно». Основное значение этого термина в математике таково: говорят, что два предмета равны, если они совпадают. Именно этот смысл вкладывается и в выражающий равенство символ =. Когда, например, пишут 3 + 5 = 8, то эту запись понимают как выражающую такое утверждение: предмет, обозначенный символом 3 + 5, совпадает с предметом, обозначенным символом 8. Казалось бы, никакое иное понимание и невозможно. К сожалению, возможно, и оно хорошо известно читателю. Это иное понимание появляется в школьном курсе геометрии. Там равными фигурами называют такие, которые могут и различаться, но совпадут после того, как одна из них путём перемещения будет совмещена с другой. Именно так понимается, скажем, равенство отрезков AB и EF или треугольников ABC и EFG. И эти равенства записывают в виде AB = EF и Δ АВС = Δ EFG, так что смысл знака = здесь не тот, какой был указан выше.

Более грамотно было бы называть фигуры, совпадающие при совмещении, конгруэнтными и использовать для записи конгруэнтности не знак равенства =, а некоторый специальный знак, например ≅. Однако, чтобы не усложнять изложения, мы не будем употреблять ни термина «конгруэнтный», ни знака ≅, а удовольствуемся школьной традицией (не такой уж, впрочем, и устойчивой, поскольку одно время в советских школах использовался именно термин «конгруэнтный»).

Итак, запись АВ = EF вовсе не означает (а должна бы!), что отрезки AB и EF совпадают. Но что-то всё же совпадает, а именно: их, отрезков, длины. Под психологическим давлением этого обстоятельства и длину отрезка AB нередко обозначают точно так же, как и сам отрезок, т. е. посредством символа AB. И можно встретить такую запись известного неравенства, связывающего стороны треугольника: АС < АВ + ВС. Но это уже не лезет ни в какие ворота, и в этом очерке длина отрезка AB будет обозначаться так, как ей и положено: |AB|.