Владимир Трошин – Слова и числа (страница 5)

Пустое множество является подмножеством любого другого множества, то есть для любого множества А:

Знак включения как и знаки равенства и принадлежности имеет свое отрицание, которое выражается соответствующим перечеркнутым знаком, означающим, что А не является подмножеством множества В:

Применительно для ранее введенных буквенных множеств можно написать следующие утверждения:

Попробуйте самостоятельно дать им словесную формулировку.

Каждое не пустое множество (А≠Ø) имеет по крайней мере два различных подмножества: само А и Ø. Кроме того, каждый элемент множества А определяет некоторое подмножество множества А. Множество всех подмножеств множества А называется множеством-степенью множества А и обозначается P(А).

Например, если С={у, р, о, к}, то P(С)= {С, {у, р, о}, {у, р, к }, {у, о, к}, {р, о, к}, {у, р}, {у, о}, {у, к}, {р, о}, {р, к}, {о, к}, {у}, {р}, {о}, {к}, Ø }.

Для конечного множества А, состоящего из n элементов, множество-степень P(А) содержит 2ⁿ элементов. Действительно, в предыдущем примере мы получили 2⁴=16 элементов.

Множества – это математические объекты и над ними можно выполнять некоторые операции.

Объединением множеств А и В называется множество всех предметов, которые являются элементами множества А или элементами множества В. Обозначается:

Слово или в этом определении имеет не исключающий, а собирательный смысл. Например, если мы объединим множество глухих согласных и множество звонких согласных, то получим множество всех согласных букв:

Справедлива и такая запись:

Пересечением множеств А и В называется множество всех предметов, являющихся элементами обоих множеств А и В одновременно. Обозначается:

Среди звонких согласных есть только одна шипящая, буква – ж, а среди глухих три шипящих, поэтому:

Два множества называются непересекающимися, если у них нет общих элементов:

и пересекающимися, если

Множество гласных букв и множество согласных букв не имеют общих элементов – они непересекающиеся:

Дополнением множества А до множества В называется множество тех элементов множества В, которые не являются элементами множества А. Обозначается:

Дополнением множества глухих согласных до множества всех согласных будет множество звонких согласных:

Теперь попробуйте самостоятельно объяснить словами следующие символические записи и проверьте их правильность:

Для графической иллюстрации отношений, которые могут иметь место между различными множествами, часто используют так называемые диаграммы Венна. На этих диаграммах множества условно изображаются геометрическими фигурами с соблюдением отношений включения, пересечения и т. д.

В наших рассуждениях все рассматриваемые множества являются подмножествами по отношению к множеству всех букв русского алфавита R. В этом случае оно называется универсальным множеством, и его изображаем в виде прямоугольника, а все подмножества входящими в прямоугольник кругами. Непересекающиеся множества изображаются непересекающимися кругами, а включению множеств соответствует изображение одного круга целиком внутри другого. Для букв русского алфавита можно вычертить следующие диаграммы.

На первой диаграмме Венна показаны названия множеств, без состава их элементов, но с соблюдением отношений включения и пересечения. В данном примере самое большое множество, включающее в себя все остальные в качестве подмножеств – это множество всех букв русского алфавита. Далее даем подробную диаграмму без названий множеств, но с изображением конкретного состава элементов каждого из них.

Теперь с целью расширения кругозора и в качестве исходной базы для последующих упражнений введем еще несколько буквенных множеств, основанных на алфавитах других языков. Для простоты изложения будем рассматривать только маленькие (строчные) буквы. Возьмем уже известную нам латиницу L={a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, x, y, z}. Следующее множество А определим как множество букв английского алфавита, а уж вы сами вспомните какие буквы в него входят и сколько их [?]. Еще два множества – алфавиты бывших союзных республик, имеющих разную ориентацию: эстонский алфавит создан на основе латинского (Эстония всегда ориентировалась на Запад), и казахский алфавит, созданный на основе русского.

В эстонском алфавите 23 основных буквы, которые употребляются для передачи слов родного языка, и 9 букв (f, š, z, ž, c, q, w, x, y) используемых только в недавних заимствованиях из других языков и иноязычных именах собственных.

E={a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, š, t, u, v, w, x, y, z, ž, ä, õ, ö, ü}.

В казахский алфавит полностью входят 33 буквы русского алфавита, три буквы из латинского алфавита (ү, h, i) и шесть своеобразных букв (ə, ғ, қ, ң, ө, ұ), – всего 42 буквы.

К={а, ə, б, в, г, ғ, д, е, ё, ж, з, и, й, к, қ, л, м, н, ң, о, ө, п, р, с, т, у, ұ, ү, ф, х, h, ц, ч, ш, щ, ъ, ы, i, ь, э, ю, я}

[?-1]

Определите множества, которые получатся в результате следующих операций:

Примечание: В данном упражнении нас интересует только графическая сторона вопроса. Если рассматривать алфавиты так, как они записаны здесь – маленькими буквами, то у русского и латинского алфавитов есть одинаковые знаки: а, с, е, …, поэтому их пересечение не является пустым множеством.

[?-2]

Верны ли следующие утверждения:

[?-3]

Постройте диаграммы Венна для следующих множеств, считая универсальным множество всех алфавитов:

В процессе работы над книгой меня постоянно волновал вопрос: кому это будет нужно? Учитель-словесник отмахнется от математики, зачем ему теория множеств, учитель математики отмахнется от букв, алфавитов, слов, потому что ему всегда удобнее объяснять материал на числах и получится мой труд ради собственного удовольствия. Изрядную долю сомнений вносили знакомые учителя, зачастую именно так и высказываясь. Но меня не покидает надежда, что молодое поколение учителей будет мыслить по-другому, шире и разностороннее. Ученикам никогда не будет интересна нудная, хотя и необходимая, зубрежка правил, и, чтобы не отбить окончательно у них желание учиться, нужно использовать любую возможность сделать свой предмет увлекательным. Кому станет хуже, если на математике ученики повторят русский алфавит, распределение его букв по видам, узнают новые алфавиты.

Топология букв

Еще немного чистой математики, причем не изучаемой в школе, применительно к языковому исходному материалу. Посмотрим на буквы с точки зрения топологии.

Топология (греч. topos – место и logos – слово, понятие, учение) – раздел математики, изучающий наиболее общие свойства геометрических фигур (свойства, не изменяющиеся при любых непрерывных преобразованиях фигур).

Представьте себе, что большие печатные буквы сделаны из гибкого и растяжимого материала, например из проволоки, и их можно распрямлять, растягивать, выводить из плоскости, переворачивать и переносить в другое место. Подобные преобразования называются топологическими. Две буквы называются топологически эквивалентными, если их можно перевести друг в друга такими непрерывными деформациями (не разрешается разрезать или склеивать буквы!). Например, возьмем проволочную букву Г, из нее легко можно сделать буквы С или П, распрямив и согнув по-другому, но нельзя сделать букву О, для этого проволоку нужно спаять или склеить, а эта операция запрещена. По признаку топологической эквивалентности все буквы можно разбить на несколько классов. Буквы Г, З, И, Л, М, П, С относятся к простейшему классу, распрямив, их можно все превратить в отрезок прямой ________. Если распрямить буквы Е, Т, У, Ц, Ч, Ш, Э получатся три отрезка, спаянные одним концом в общей точке и так далее.

[?-4]

Попробуйте разделить все буквы русского алфавита, цифры и буквы английского алфавита на топологические классы эквивалентности (кроме, состоящих из нескольких не соединяющихся элементов, букв Ё, Й, Ы). Для упрощения работы, показаны характеристические фигуры каждого класса для букв русского языка.

Не буквой единой…

Если посмотреть на стандартную клавиатуру компьютера, то главное место на ней занимают буквы русского и английского алфавитов с возможностью переключения с одного алфавита на другой и со строчных букв на прописные. Но это не всё. Для записи речи используются в языке знаки препинания или пунктуации.

Знаки препинания – это элементы письменности, выполняющие вспомогательные функции разделения (выделения) смысловых отрезков текста, предложений, словосочетаний, слов, частей слова, указания на грамматические и логические отношения между словами, указания на коммуникативный тип предложения, его эмоциональную окраску, законченность, а также некоторые иные функции. Знаки препинания, синтаксически оформляющие текст, облегчают его зрительное восприятие и понимание, а при воспроизведении текста вслух помогают осуществить его интонационное оформление (интонация, смысловые паузы, логические ударения).

Какие же знаки мы найдем на клавиатуре, следовательно, и в печатных текстах? Точка, запятая, точка с запятой, двоеточие, многоточие, восклицательный знак, вопросительный знак. Это наиболее распространенные знаки препинания, которые не имеют каких-то модификаций и не требуют особых пояснений. Другие же используемые знаки бывают весьма неоднозначны и требуют некоторых пояснений.