Владимир Хаустов – Основы геометрической волновой инженерии: теория псевдогиперболоидов 2-го порядка. Монография (страница 8)

5.4. Образующая и условие замыкания

В качестве базовой профильной кривой используется сегмент канонической гиперболы. В обычной записи она задаётся как

y(x) = b × sqrt((x/a) ^2 – 1).

Локальный радиус гиперболического участка относительно смещённой оси вращения равен

rh(x) = R – y(x) = R – b × sqrt((x/a) ^2 – 1),

где этот закон действует вне центральной зоны, то есть при a <|x| <= x*. Условие геометрического смыкания воронки имеет вид rh(x*) = 0, откуда получается единственная геометрическая длина замыкания:

x* = a × sqrt(1 + (R/b)^2).

Смысл этого закона очень важен для C1. Он показывает, что вся периферийная форма псевдогиперболоида задаётся уже не произвольно, а полностью определяется тройкой a, b, R. Это означает, что после задания этих параметров геометрия становится замкнутой и однозначной.

5.5. Базовая объёмная область закрытого режима

Главное содержание C1 в наших материалах состоит в том, что задаётся не просто поверхность, а полная объёмная область, внутри которой затем рассматриваются лучевые, волновые и энергетические режимы. Эта область задаётся следующим образом:

на центральном интервале |x| <= a радиус поперечного сечения равен R;

на внешних участках радиус задаётся гиперболическим законом R – b × sqrt((x/a)^2 – 1);

полный объём ограничен значениями x от -x* до +x*.

Рисунок 7. Меридиональное сечение (2D профиль) закрытого псевдогиперболоида 2-го порядка.

Описание Рисунка 7: На графике представлено точное аналитическое меридиональное сечение рабочей области. Центральная фокальная зона расположена на интервале х от -0.05 до 0.05 и имеет постоянный максимальный радиус R = 20. Слева и справа от нее расположены гиперболические воронки, радиус которых монотонно убывает по закону R – b * корень((x/a) ² – 1), пока геометрия строго не замыкается в полюсах при x = ± 2.0006. Вертикальной пунктирной линией отмечена плоскость x = a, где во втором (открытом) режиме располагается локальная кольцевая апертура. Хорошо визуализируется резкий (изломный) характер перехода между цилиндрической и гиперболической частями, требующий введения параметра сглаживания δ (дельта) для последующей волновой редукции (критерий C2).

В научном виде это означает, что базовая область закрытого режима состоит из трёх частей:

центральной фокальной зоны высотой 2a и радиуса R;

левой гиперболической воронки;

правой гиперболической воронки.

Именно в этой области ставится первая фундаментальная задача: проверить, действительно ли значительная часть энергии локализуется в центральной фокальной зоне.

5.6. Входное горлышко и физическая постановка возбуждения

Ещё один принципиальный в C1 состоит в том, что идеальный замкнутый полюс с одной стороны псевдогиперболоида заменяется усечённым входным горлышком. У нас это введено через входной радиус rin и координату усечения xin, определяемую условием, что локальный радиус левой воронки в этой точке равен rin. После этого задаётся уже не просто область Ωtrap, а рабочая область Ωtrap(in) с входным торцом Γin. Это критически важно, потому что без входного торца нельзя формулировать задачу о поступающей энергии.

Это особенно важно именно для масштабируемой постановки: при переходе к новому масштабу входное горлышко тоже должно масштабироваться согласованно, иначе нарушается подобие возбуждения.

5.7. Открытый режим как локальная модификация границы

C1 специально вводит открытый режим не как новую геометрию объёма, а как новую декомпозицию границы. Это очень сильное и правильное решение. Геометрия правой воронки не меняется, а в правом торце центральной зоны вводится кольцевая апертура Γslot(λ) радиальной ширины ΔR(λ). Базовый выбор даётся как ΔR = λ, а более общий и более важный закон -как ΔR = α λ, где α есть безразмерный параметр апертурного согласования. В этой форме открытый режим описывает не произвольную дырку, а геометрически и спектрально согласованную щель.

Это место особенно важно, потому что именно здесь масштабируемость входит в текст уже явно. Если α = ΔR/λ фиксирован и вся геометрия масштабируется однородно вместе с λ, то и щель сохраняется в безразмерной постановке. У нас это записано буквально: при фиксированном α и согласованном масштабировании геометрии режимы открытого вывода должны быть инвариантны как функции безразмерных параметров.

5.8. Принцип однородного масштабирования

C1 обязан не только описывать одну геометрию, но и вводить правило построения подобного семейства. Это правило имеет вид:

(a, b, R, λ, ΔR) -> (s a, s b, s R, s λ, s ΔR), где s> 0.

Смысл этого закона состоит в том, что при переходе к новому рабочему диапазону длин волн все линейные размеры псевдогиперболоида должны масштабироваться пропорционально. Тогда сохраняются главные безразмерные параметры:

β = b/a,

ρ = R/a,

α = ΔR/λ,

ka.

А это значит, что в безразмерной форме сохраняются:

сам профиль формы,

оператор локализации,

окна локализации,

открытые режимы вывода,

закон направленности.

Именно это уже позволяет в рамках C1 перейти от идеи «частотной универсальности одной формы» к гораздо более строгой и правильной идее масштабной универсальности семейства подобных форм.

5.9. Граница применимости C1 в масштабируемой постановке

Мы делаем важную оговорку: масштабная инвариантность не должна интерпретироваться как автоматическая универсальность для всех физик и всех материалов без ограничений. Она сохраняется только тогда, когда:

волновые уравнения линейны;

среда не вносит новых фиксированных длин;

нет сильной дисперсии, лосса или внутреннего масштаба, не масштабируемого вместе с геометрией;

граничные условия тоже масштабируются согласованно.

Эта оговорка должна быть внесена в C1, потому что иначе масштабируемость будет понята слишком широко. Следовательно, в C1 масштабируемость задаётся как геометрический принцип подобия, а не как безусловное обещание межфизической универсальности.

5.10. Что именно C1 считает доказанным и не доказанным

В C1 считается установленным следующее:

Во-первых, псевдогиперболоид второго порядка задан как строгая объёмная область с центральной фокальной зоной, двумя гиперболическими воронками, замыкающимися полюсами и локальной торцевой апертурой в открытом режиме.

Во-вторых, все геометрические параметры получили однозначный смысл и отделены от длины волны.

В-третьих, открытый режим задан не как новая форма, а как новая декомпозиция границы с кольцевой щелью.

В-четвёртых, введён принцип однородного масштабирования всего семейства форм, при котором сохраняются безразмерные параметры β, ρ, α и ka.

В-пятых, зафиксировано, что именно это масштабируемое семейство, а не одна фиксированная конфигурация, должно рассматриваться как носитель гипотезы о геометрически масштабируемом аттракторном механизме.

C1 не доказывает:

что любая волна любой природы автоматически концентрируется в центре;

что один и тот же набор безразмерных параметров уже доказан как общий для EM, акустики и квантового случая;

что закон щели уже оптимален для всех классов волн;

что масштабируемость уже равна полной межфизической универсальности.

Именно поэтому C1 остаётся геометрическим фундаментом программы, а не её окончательным физическим доказательством.

5.11. Итоговая формулировка C1

Цель: Задать геометрию как объёмную область и зафиксировать правило подобия. Исправленные формулы и расчёт:

Профиль формы (сглаженный): Радиус как функция продольной координаты: r_δ(x) = {R, |x| ≤ a – δ; гладкая интерполяция, a – δ <|x| <a + δ; R – b√ (x²/a² – 1), a + δ ≤ |x| ≤ x*}

Условие геометрического смыкания (определяет полную длину): x* = a √ (1 + (R/b) ²).