Ирина Радунская – Предчувствия и свершения. Книга 1. Великие ошибки (страница 30)

Но кто бы ни пробовал это проверить — ничего не получалось. Решить задачу не мог никто. А свой метод решения Архимед не открывал — держал его в тайне.

Архимед поддерживал переписку со многими учёными и, по обычаю того времени, посылал им для доказательства свои новые теоремы. Тогда, как и много позже, в XVII–XVIII веках, учёные знакомили друг друга с условиями доказанных ими теорем, прежде чем опубликовать доказательство для общего сведения. Это считалось данью уважения к равному или старшему; и лишь молодым математикам было принято посылать новые теоремы вместе с доказательством. Свои теоремы Архимед отправлял Эратосфену, Конону, этим наиболее серьёзным учёным того времени, но, судя по различным источникам, ни Конон, ни Эратосфен не смогли повторить открытий Архимеда, не сумели справиться с теми задачами, которые решил он.

«Я посылал тебе мои открытия, чтобы ты сам попытался найти их доказательства, — писал он Эратосфену — Ты этого не сделал. Я, конечно, могу теперь без дальнейших рассуждений прислать мои решения, но от этого большой пользы не будет. Ты — серьёзный учёный и философ,

и хороший математик, поэтому не обижайся за правду».

Обижался ли Эратосфен? Попробуйте представить себя на его месте…

Наверное, математики жестоко завидовали Архимеду и удивлялись его всё новым и новым потрясающим, необъяснимым победам.

Его работы, безупречные с точки зрения традиционной математики того времени, ошеломляли читателя как чудо, сияние которого ослепляет, а истоки остаются тёмными.

Вот что писал Плутарх:

«Во всей геометрии нельзя найти более трудных и серьёзных задач, которые были бы притом изложены в более простой и наглядной форме, чем это сделано в сочинениях Архимеда. Одни видят в этом доказательства его таланта. По мнению других, то, что кажется каждому сделанным без усилий, было сделано упорным трудом. Самому не найти иной раз доказательств для решения задачи, но стоит обратиться к сочинениям Архимеда, и тотчас же приходишь к убеждению, что мог бы решить её сам, так ровна и коротка дорога, которой он ведёт к доказательствам».

Весьма примечательный отзыв! Видно, что он написан человеком, владеющим античной математикой. Но не математиком, пытающимся самостоятельно находить неизвестные ему решения задач.

У Плутарха даже не возникает вопроса о том, как находить сами решения. Это область профессиональных математиков, сфера гения, в которую даже наиболее образованный эллин не отваживался вступить. Плутарх явно довольствуется доказательством справедливости решения, полученного готовым.

Вопреки мнению Плутарха, для профессионального математика труды Архимеда вовсе не представлялись столь ясными. Наоборот.

Сложность задач, рассматриваемых Архимедом, казалась непреодолимой. Даже зная решение, трудно доказать его справедливость — так сложны и хитроумны необходимые построения и силлогизмы.

Архимед зачастую опускал часть выкладок, которые считал второстепенными. Опираясь на свои или чужие результаты, он обычно не даёт точных ссылок, указывая лишь: «как это было доказано в «Началах» (то есть Евклидом) или «как это было доказано ранее» (то есть им самим), полагая, что читатель досконально знает как «Начала», так и его собственные работы и обладает достаточной квалификацией, чтобы отыскать в них нужное.

В то время математики не баловали коллег ясностью изложения. Математический обычай тех времён заключался в том, что автор теоремы, открывший, скажем, истину, что 2x2 = 4, вовсе не обязан был доказывать это равенство. Он должен был доказать, что 2x2 не может быть ни больше, ни меньше четырёх. Если он сумеет убедить слушателей или читателей, что иное решение ведёт к абсурду, он выполнил свою задачу.

Приведение к абсурду — таков традиционный метод математиков в течение многих столетий.

Мы не будем здесь обсуждать все стороны этого метода. Отметим лишь одну положительную — он требовал безупречной логики и одну отрицательную — такой способ доказательства не обнаруживал хода решения задачи, а значит, не служил школой мысли, не мог помочь в решении других задач.

Архимед, боясь нарушить эту традицию и прослыть вольнодумцем, поступал как все: скрывал ход своих решений, а доказательства оформлял в стиле приведения к абсурду.

О том, сколько недоразумений рождалось в результате такой двусмысленной, лживой практики, принятой у древних математиков, можно только догадываться. Наверно, не один из них увязал в этом болоте. Не избежал этой участи и Архимед. Но, запутавшись, он не смирился, он восстал!

Вот как это случилось.

В одном из своих писем Конону Архимед в числе прочих теорем поставил перед ним две, о которых он думал, что доказал их. Впоследствии Архимед установил, что доказательства ошибочны. Во второй части сочинения «О шаре и цилиндре» он приводит правильные решения теорем. Но до этого в предисловии к книге «О раковинообразных линиях», составленном, как и в остальных трудах этого цикла, в виде письма к Досифею, он пишет:

«Архимед желает здравствовать Досифею… Я перечислю здесь по порядку все теоремы, предложенные мною Конону, а особенно две из них, которые привели меня к неправильному выводу: пусть это будет устрашающим примером того, как люди, утверждающие, будто они умеют доказать всё то, что они предлагают решить другим, но не прилагающие собственных решений этих вопросов, в конце концов принуждены убедиться, что они брались доказать то, что доказать невозможно». Он намекает на безграничную возможность ошибок, связанную с громоздким многословием метода абсурда.

Далее, перечисляя свои теоремы, он в соответствующем месте указывает: «Следующая теорема была неверной, а именно вот что…» и «Не верна также и последняя предложенная мною для доказательства теорема…» В этом же тексте Архимед указывает, где он в своей книге «О шаре и цилиндре» дал правильные доказательства этих теорем.

Неполнота дошедших до нас текстов сочинений

Архимеда, их трудность, увеличивающаяся наличием разночтений между различными рукописными экземплярами, привела к тому, что в литературе существует иная точка зрения на две неверные задачи Архимеда, о которых говорилось выше.

Некоторые считают, что Архимед сознательно включил в число задач, посланных им Конону и, возможно, другим математикам, две неверные, чтобы, как сказано в одном из вариантов текста, «тех, которые утверждают, что они всё открыли, и не приводят никаких доказательств открытого, можно было бы уличить и заставить согласиться с тем, что они открыли невозможное».

У нас нет данных для того, чтобы предпочесть одну из этих точек зрения. Впрочем, это и не входит в нашу задачу.

Итак, Архимед демонстрирует независимость, принципиальность, мужество.

Подобная публичная самокритика была совершенно не принята в античной науке, да и в наши дни она встречается отнюдь не часто.

Архимед отважился на это.

Так почему же он не отваживался обнародовать свой математический метод, которым пользовался столь успешно? Почему не делился им с коллегами, не передавал ученикам, скрывал его?

Только в труде «Квадратура параболы» Архимед чуть приоткрыл читателю свой метод решения математических задач с помощью теории рычага. Но в последующих трудах он уже не допускает даже намёка на путь решения. Как видно, он встретился с возражениями или неодобрением. Словом, что-то произошло. Теперь он поражает нововведениями, не объясняя и не оправдывая их. Так было, например, с четырьмя леммами, на которых Архимед построил свой труд «О коноидах и сфероидах». Он пишет в предисловии, обращенном к Досифею:

«В этой книге я посылаю тебе доказательства теорем, которых недоставало в книгах, посланных к тебе до сих пор. Кроме того, я шлю тебе доказательства некоторых теорем, найденных позже, ибо, несмотря на ряд повторных попыток, прежде мне приходилось отказаться от их доказательства — со столь большими трудностями это было связано. Поэтому-то я не опубликовал этих доказательств вместе с другими. Но позже, когда я засел за них с ещё большим усердием, мне удалось разрешить то, что до сих пор представляло для меня непреодолимые трудности».

Необычность этой ситуации заключается в том, что Архимед строит книгу на якобы бесспорном фундаменте. Ведь лемма — это вспомогательное положение, в отличие от теоремы даваемое без доказательства потому, что оно «очевидно». Лемму и доказывать-то не нужно. И о своих леммах Архимед тоже говорит: «Доказательства всех этих предложений очевидны». Но по своей сути они были далеко не очевидны. И о них никто никогда не слышал.

Их не знал Евклид или другой античный автор. Иначе Архимед, неизменно приводящий ссылки на предшественников, несомненно, указал бы на это.

Из всего сказанного можно сделать лишь один вывод: Архимед пришёл к этим леммам собственным, скрываемым им путем и поэтому был уверен в их справедливости. Но сочинение, в котором он получил свои леммы, он почему-то не опубликовал.

Конечно, такое предположение не основано на дошедших до нас трудах Архимеда. Но биограф Архимеда Гераклид, о котором мы уже упоминали, сообщает, что Аполлония из Перги, знаменитого автора «Конических сечений», обвиняли в плагиате. Гераклид пишет, что Аполлоний якобы присвоил себе неопубликованный труд Архимеда. Такая версия продержалась два тысячелетия и дошла до нас. Вероятно, Архимед работал над коническими сечениями, но не опубликовал своего труда, ибо ни один античный автор на него не ссылается. Не ссылается на него и сам Архимед в дошедших до нас работах. Лишь упомянутые выше леммы позволяют предположить, что этот труд остался неизвестным именно из-за того, что Архимед не хотел сообщать о пути, которым он пришёл к этим леммам.