Ирина Радунская – Когда физики в цене (страница 63)

Неприятие абсурда

Окольным путем

Прошло более двух тысячелетий после гибели Архимеда от меча римского завоевателя. Грабежи и пожары уничтожили все написанное им и переписанное его современниками. Неудивительно, что в имеющихся текстах встречаются существенные разночтения.

Самый древний пергамент, воспроизводящий сочинения Архимеда, найден и прочтен последним. Греческий текст, написанный на нем, по-видимому в X веке, был смыт невежественным монахом, которому понадобился пергамент для переписки богословского трактата. Сложные современные методы позволили прочитать на этом пергаменте не только изложенные по-гречески труды Архимеда, известные до того лишь в латинских переводах XII века, но и одно из его величайших произведений, ранее совершенно неизвестное и открывшее нам еще одну из сторон личности Архимеда, величайшего механика и математика…

…Перед гением Архимеда преклоняемся не только мы, далекие потомки. Ему платили дань уважения современники. Он достиг таких высот в механике и математике, что, несмотря на низкое происхождение, на зависть коллег, его достижения, невероятные, необъяснимые уровнем знаний того времени, внушали почтение и даже страх. Он ошеломил современников своими удивительными находками в геометрии. Это Архимед нашел, что поверхность шара в четыре раза больше площади его большого круга; поверхность шарового сегмента равна площади круга, радиус которого — прямая, соединяющая вершину сегмента с одной из точек окружности круга, служащего основанием сегмента, цилиндр, основание которого равно большому кругу шара, а высота диаметру шара, сам по объему в полтора раза больше этого шара, а его поверхность (включая площади верхнего и нижнего оснований) в полтора раза больше поверхности шара.

«Разумеется, — пишет Архимед своему коллеге Досифею, — эти свойства были присущи этим телам всегда, но они остались неизвестными всем геометрам; ни один из них не заметил даже, что эти тела соизмеримы между собой… Каждый, кто понимает в этом деле, может проверить правильность моих открытий».

Но, кто бы ни пробовал это проверить, не достигал результата. А свой метод решения Архимед не открывал — держал его в тайне.

Архимед поддерживал переписку со многими учеными и, по обычаю того времени, посылал им для доказательства свои новые теоремы. Тогда, как и много позже, в XVII–XVIII веках, ученые знакомили друг друга с условиями доказанных ими теорем, прежде чем опубликовать доказательства для общего сведения. Это считалось данью уважения к равному или старшему, и лишь молодым математикам было принято посылать новые теоремы вместе с доказательством. Свои теоремы Архимед отправлял Эратосфену, Конону, этим наиболее серьезным ученым того времени, но, судя по различным источникам, ни Конон, ни Эратосфен не смогли повторить открытий Архимеда, не сумели справиться с теми задачами, которые решил он.

«Я посылал тебе мои открытия, чтобы ты сам попытался найти их доказательства, — писал он Эратосфену. — Ты этого не сделал. Я, конечно, могу теперь без дальнейших рассуждений прислать мои решения, но от этого большой пользы не будет. Ты серьезный ученый и философ и хороший математик, поэтому не обижайся за правду».

Обижался ли Эратосфен? Попробуйте представить себя на его месте…

Наверно, математики жестоко завидовали Архимеду и удивлялись его все новым и новым потрясающим, необъяснимым победам.

Вот что писал Плутарх:

«Во всей геометрии нельзя найти более трудных и серьезных задач, которые были бы притом изложены в более простой и наглядной форме, чем это сделано в сочинениях Архимеда».

У Плутарха даже не возникает вопроса о том, как находить сами решения. Это область профессиональных математиков, сфера гения, в которую даже наиболее образованный эллин не отваживался вступить.

Вопреки мнению Плутарха, для профессионального математика труды Архимеда вовсе не представлялись столь ясными. Наоборот.

Сложность задач, рассматриваемых Архимедом, казалась непреодолимой. Даже зная решение, трудно доказать его справедливость — так сложны и хитроумны необходимые построения и силлогизмы. Архимед зачастую опускал часть выкладок, которые считал второстепенными. Опираясь на свои или чужие результаты, он обычно не дает точных ссылок, указывая лишь: «Как это было доказано в Началах» (т. е. у Евклида) или: «Как это было доказано ранее» (то есть им самим), полагая, что читатель досконально знает как «Начала», так и его собственные работы, и обладает достаточной квалификацией, чтобы отыскать в них нужное.

В то время математики не баловали коллег ясностью изложения. Математический обычай тех времен заключался в том, что автор, открывший, скажем, истину что 2X2 = 4, вовсе не обязан был доказывать это равенство. Он должен был доказать, что 2X2 не может быть ни больше, ни меньше четырех. Если он сумеет убедить слушателей или читателей, что иное решение ведет к абсурду, он выполнил свое назначение.

Приведение к абсурду — таков традиционный метод математиков в течение многих столетий.

И Архимед, боясь нарушить эту традицию и прослыть вольнодумцем, поступал, как все: скрывал ход своих решений, а доказательства оформлял в стиле приведения к абсурду.

Лукавство или мужество?

И все же труды Архимеда, выполненные в строгом соответствии с господствующим стилем изложения, яснее и понятнее математических трудов многих других авторов.

Знакомство с математическими трудами Архимеда показывает, что даже в пределах канонических доказательств он стремится дать в руки читателя не только формальное доказательство, но и конструктивный метод решения. Это очень не просто.

По сравнению с автором «Начал» Архимед делает не существенный, но, казалось бы, безупречный с формальной точки зрения шаг. Например, определяя площадь кривой, он не только вписывает в нее ступенчатую фигуру, но и описывает аналогичную фигуру снаружи кривой. Затем он, доводя разницу площадей до минимума (методом исчерпания), доказывает, что площадь вписанной фигуры всегда меньше некоторой величины, а площадь описанной фигуры всегда больше нее. Более того, он доказывает, что разность площадей этих ступенчатых фигур может быть сделана меньше любой заданной величины. Так он подводил читателя к понятию предела, учил его работать с величинами, стремящимися к пределу.

Позднейшие исследователи, сравнивая метод изложения Евклида и Архимеда, отдавали предпочтение Архимеду.

Особенно виртуозным и по исполнению и по объяснению является определение им площади замысловатой фигуры — раковинообразной спирали, которую потомки назвали в его честь спиралью Архимеда. Он определяет интересующую его спираль, как кривую, которую описывает точка, равномерно движущаяся по прямой, в то время как эта прямая равномерно вращается вокруг другой точки. В этом труде — «О раковинообразных линиях» — четко обнаруживается пристрастие Архимеда к механике. Впрочем, без механического подхода тогда и невозможно было справиться с такой задачей. В этом же труде Архимед дает ясное определение механических понятий — «равномерное прямолинейное движение» и «равномерное вращательное движение».

Это сочинение очень интересно не только по существу, но и для характеристики отношения Архимеда к деятельности ученого.

В одном из своих писем Конону Архимед в числе прочих теорем поставил перед ним две, о которых он думал, что доказал их. Впоследствии он установил, что доказательства ошибочны. Во второй части сочинения «О шаре и цилиндре» он приводит правильные теоремы.

Но вот что он пишет до этого в предисловии к книге «О раковинообразных линиях», составленном, как и в остальных трудах этого цикла, в виде письма к Досифею.

«Архимед желает здравствовать Досифею… Я перечислю здесь по порядку все теоремы, предложенные мною Канону, а особенно две из них, которые привели меня к неправильному выводу: пусть это будет устрашающим примером того, как люди, утверждающие, будто они умеют доказать все то, что они предлагают решить другим, но не прилагающие собственных решений этих вопросов, в конце концов принуждены убедиться, что они брались доказать то, что доказать невозможно». Он намекает на опасную возможность ошибок, связанную с громоздким многословием метода абсурда.

Далее, перечисляя свои теоремы, он, в соответствующем месте указывает: «Следующая теорема была неверной, а именно вот что…» и «Не верна также и последняя предложенная мною для доказательства теорема…» В этом же тексте Архимед указывает, где он в своей книге «О шаре и цилиндре» дал правильные доказательства этих теорем.

Неполнота дошедших до нас текстов сочинений Архимеда, их трудность, увеличивающаяся наличием разночтений между различными рукописными экземплярами, привели к тому, что в литературе существует иная точка зрения на две неверные задачи Архимеда, о которых говорилось выше.

Некоторые считают, что Архимед сознательно включил в число задач, посланных им Конону и, возможно, другим математикам, две неверные, чтобы, как сказано в одном из вариантов текста: «Тех, которые утверждают, что они все открыли, и не приводят никаких доказательств, открытого, можно было бы уличить и заставить согласиться с тем, что они открыли невозможное».