[4]
Если количество товара, проданного бизнесменом i, обозначить как Qi(t), а совокупный размер сбережений у потребителя j в момент времени t – ICj(t), то динамика параметров модели частично описывается совокупностью соотношений (1) – (4).
Количество проданного бизнесменом i товара ограничено количеством товара, который был произведен:
Здесь в правой части представлена производственная функция Кобба – Дугласа с коэффициентами эластичности по труду и по капиталу, равными ½. Номер самого малообеспеченного индивида из купивших товар i определяется как
Накопленные средства работника j изменяются согласно правилу
Прибыль бизнесмена i в момент t равна
Совокупный ВВП страны i – GDPi(t) в момент времени t определяется суммарной стоимостью проданного товара и равен
Основной процесс выполнения алгоритма (рисунок 1) определяется последовательным повторением процедур найма бизнесменами работников для производства товаров (реализации выбранных бизнесменами задач), выплаты зарплаты работникам после выпуска товара в соответствии с ценностью их должности и продажи товаров на рынке. Деньги от продажи товаров используются бизнесменами для производства следующей партии. Каждый тип товара (реализованной задачи) характеризуется уровнем качества zi(t), зависимым от компетентности работников, выполнивших данную работу. ВВП на душу населения на каждом временном такте определяется как Di = GDPi/|Ei ∪ Bi| (суммарная стоимость проданного товара в стране i, разделенная на число индивидов в данной стране). Далее, поскольку величина |Ei ∪ Bi| остается постоянной для всех стран, то величины GDPi и Di всегда отличаются в фиксированное число раз. Значит, все результаты измерений для GDPi иллюстрируют соотношение значений Di в имитационной модели.
Рис. 1. Схема имитационной модели
Подробное описание алгоритма можно найти в конце книги, в Приложении. Далее остановимся на формализации понятия задачи, качества товара и рассмотрим ограничение сверху на ВВП в стране.
Формализация задач, типы задач
Предположим, что для реализации задачи tki(t) необходимо n специалистов. Будем считать, что успешность решения задачи (или уровень качества продукта) зависит только от квалификации решающих ее специалистов (работников), которая оценена числами: x1, …, xn, xj ≥ 0, j ∈ {1, …, n}. Тогда успешность решения задачи (или качество произведенного продукта) задается в виде функции z = ftk(x1, …, 'xn) от компетентностей принятых специалистов и представима в виде:
(6) z = g(x1, …, xr)·I(xr+1, …, xn), 1 ≤ r ≤ n,
где: g(x1, …, xr) – уровень качества продукта (потенциально неограниченный сверху), обеспеченного людьми, занимающимися задачами открытого типа успешности (Ушаков, 2011), функция монотонна по каждой из своих переменных; x1, …, xr – компетентности людей, назначенных на задачи открытого типа, xj ≥ 0, j ∈ {1, …, r}; I (xr+1, …, xn) – уровень качества продукта (потенциально ограниченный сверху Imax), обеспеченного людьми, занимающимися задачами порогового (закрытого) типа успешности (там же), функция монотонна по каждой из своих переменных; xr+1, …, xn – компетентности людей, назначенных на задачи порогового типа, xj ≥ 0, j ∈ {r + 1, …, n}.
Если в (6) r = 0, то z = I (x1, …, xn). То есть эта задача требует только выполнения работ закрытого типа. Если же в (6) r = n, то z = g(x1, …, xn). То есть эта задача требует только выполнения работ открытого типа.
Рассмотрим частный случай зависимости (6) качества произведенного продукта от компетентностей работников:
где: αi – числовая оценка важности уровня компетентности xi работника; θi – минимальный порог для компетентности xi работника, необходимый для успешного выполнения им своей задачи:
I(xi ≥θi) = θi, если xi ≥θi, и
I(xi ≥θi) = 0, если xi < θi.
Задача поиска максимального ввп
Для анализа зависимости ВВП от среднего уровня компетенций в стране нам понадобится максимально возможный ВВП, который может быть достижим в данной стране. Найдем условия, при которых значения GDP(t) из (5) будет максимально в модели.
Определение 1. Назовем распределением совокупного размера сбережений потребителей в момент t вектор N(t) натуральных чисел (N1, N2, …, Ns), соответствующий убывающей величине размера сбережений потребителей IC1 > IС2 > … > ICs. Каждое из значений Ni есть число потребителей с указанным размером сбережений:
Ni = #{j ≥E|ICj(t) = ICi(t)}.
То есть имеется N1 потребителей с величиной сбережений IC1 (самые обеспеченные), N2 потребителей с величиной сбережений IC2, и т. д., с убыванием значения IC. Как следует из определения, N1 + N2 + … + Ns равно общему числу потребителей в E.
Определение 2. Назовем распределением количества товара по группам качества в момент t вектор M(t) натуральных чисел (M1, M2, …, Mp) соответствующий убывающей величине уровня качества товара z1(t) > z2(t) > … > zp(t). Каждое из значений Mi есть количество товара с указанным уровнем качества:
То есть имеется товара в количестве M1 с уровнем качества z1(t) (самый качественный товар), товара в количестве M2 с уровнем качества z2(t) и т. д., с убыванием значения z. Как следует из определения, M1 + M2 + … + Mp равно общему количеству товара, произведенному в текущем такте.
Пусть p ≥ s, тогда примем следующее определение.
Определение 3. Будем говорить, что распределение количества товара по группам качества сегментировано, если для соответствующего ему вектора (M1, M2, …, Mp) и вектора распределения совокупного размера сбережений потребителей (N1, N2, …, Ns) выполнено условие:
M1 = N1, M2 = N2, …, Ms = Ns.
Теорема. При фиксированном распределении совокупного размера сбережений потребителей N(t) значение GDP(t) в (5) достигает максимума тогда и только тогда, когда распределение количества товара по группам качества M(t) сегментировано.
Схема доказательства
Для удобства доказательства далее будем представлять сумму (5) как сумму ненулевых слагаемых, упорядоченных по убыванию, где каждое слагаемое соответствует цене IC, которую заплатил отдельный потребитель. Число слагаемых очевидно равно числу потребителей и фиксированно.
Необходимость. Предположим, что M(t) не сегментировано и GDP(t) достигает своего максимального значения. Тогда существует i, 1 ≤ i ≤ s такой, что M1 = N1, …, Mi ≠ Ni. Рассмотрим два случая:
Mi < Ni
В данном случае число слагаемых в (5) со значением ICi меньше, чем для случая сегментированного M(t) (если бы Mi = Ni). В то же время число слагаемых со значениями IC > ICi такое же, а слагаемых со значениями IC < ICi больше – при одном и том же общем числе слагаемых. Следовательно, значение (5) в указанном случае меньше, чем в случае сегментированного M(t).
Mi > Ni
В данном случае слагаемые в (5) со значением ICi не встретятся, вместо этого будет большее число слагаемых с IC < ICi. При фиксированном числе слагаемых значение (5) меньше, чем в случае сегментированного M(t).
Достаточность. Пусть M(t) сегментировано. В соответствии с алгоритмом покупки товара и в силу сегментированности M(t), в сумме (5) будет N1 слагаемых с максимальным возможным значением IC1 (число таких слагаемых уже нельзя увеличить, а можно только уменьшить, уменьшив общую сумму), N2 слагаемых со значением IC2 (их число также нельзя увеличить) и т. д. до Ns слагаемых с значением ICs. Таким образом, получается, что сумма (5) принимает максимально возможное для себя значение.
Результаты работы имитационной модели
Сравнение результатов модели и предметных данных
Для соотнесения результатов имитационной модели и данных по странам проведем нормировку показателей средней компетентности Ii в стране i и ВВП на душу населения Di для результатов, полученных с помощью имитационной модели и данных из работы (Lynn, Vanhanen, 2002):
На рисунке 2 проиллюстрированы два набора данных после нормировки:
• данные по реальным странам (слева), полученные из (Lynn, Vanhanen, 2002);
• данные имитационной модели (справа), полученные в момент модельного времени t = 25, когда характер зависимости, изображенной на рисунке 2, не меняется в течение более 10 тактов. Ниже, при расчетах параметров модели, рассматриваются данные на этом такте времени.
Визуально на рисунке 2 мы можем отметить наличие роста мат. ожидания и дисперсии Di при росте значения Ii. Оценим статистически степень влияния фактора Ii на Di отдельно по данным для стран из (Lynn, Vanhanen, 2002) и отдельно по данным, полученным в имитационной модели.
Рис. 2. Иллюстрация данных Ii и Di, полученных из (Lynn, Vanhanen, 2002) (слева) и имитационной модели (справа)
Для оценки степени влияния Ii на Di посредством однофакторного дисперсионного анализа проверим наличие статистической зависимости показателя Di от уровней фактора Ii (групп различных значений) (Кобзарь, 2006). Разобьем значения Ii на три равные непересекающиеся группы (три уровня фактора Ii: «низкий», «средний» и «высокий»), сформируем три выборки значений Di для соответствующего уровня фактора Ii. Рассчитаем уровень значимости p гипотезы Н0:
«Все три выборки принадлежат одной генеральной совокупности или разным генеральным совокупностям с равными средними арифметическими» (если гипотеза H0 неверна, то параметр Ii оказывает существенное влияние на Di).
