Асват Дамодаран – Инвестиционная оценка. Инструменты и методы оценки любых активов (страница 28)

Влияние исполнения на стоимость базового актива. Модель Блэка-Шоулза основывается на предположении о том, что исполнение опциона не влияет на стоимость базового актива. Это может быть истиной для биржевых фондовых опционов, но для некоторых видов опционов это отнюдь не так. Например, исполнение варрантов повышает число акций компании, находящихся в обращении, и вливает свежую кровь в фирму. При этом оба этих фактора оказывают воздействие на цену акций[33]. Ожидаемое отрицательное влияние (вследствие «разбавления») исполнения опциона понизит стоимость других варрантов, которые аналогичны опционам на покупку. Поправка на разбавление, оказывающее влияние на цену акции, в модели Блэка-Шоулза достаточно проста. Цена акции корректируется с поправкой на ожидаемое разбавление, являющееся следствием исполнения опциона. В случае варрантов, например:

Поправка на разбавление S = (S ns + W nw)/(n + nw),

где S = текущая стоимость акции;

nw = число варрантов в обращении;

W = стоимость варрантов в обращении; ns = количество акций в обращении.

При исполнении варрантов число акций в обращении повысится, что приведет к сокращению цены акций. Числитель отражает рыночную стоимость собственного капитала, включая и акции, и варранты в обращении. Сокращение S уменьшит стоимость опциона колл.

В этом анализе есть что-то вроде замкнутого круга, поскольку для оценки поправки на разбавление S требуется знать стоимость варранта, а для его оценки необходимо иметь поправку на разбавление S. Данную проблему можно разрешить, начиная процесс расчета с предположения по поводу стоимости варранта (например, цены исполнения или текущей рыночной стоимости варранта). Это даст необходимую нам величину доходности варранта, и полученную величину можно использовать в качестве входного параметра для переоценки его стоимости, откуда можно начинать требуемый процесс расчета.

ОТ МОДЕЛИ БЛЭКА-ШОУЛЗА К БИНОМИАЛЬНОЙ МОДЕЛИ

Процесс преобразования применяемой в модели Блэка-Шоулза непрерывной дисперсии в биномиальное дерево довольно прост. Предположим, что у нас есть актив, продающийся в данный момент по цене 30 долл., а оценка стандартного отклонения стоимости актива, приведенного к годовому масштабу, дала значение в 40 %. Безрисковая ставка в годовом выражении – 5 %. Для упрощения предположим, что срок жизни опциона, подлежащего оценке, равен 4 годам, а период равен 1 году. Для оценки цен к окончанию каждого года мы сначала оценим движения вверх и вниз по биномиальной схеме:

На основе этих оценок мы можем получить цены для оконечности первого узла дерева (завершение первого года):

Повышающаяся цена = 30 долл. (1,4477) = 43,43 долл.

Понижающаяся цена = 40 долл. (0,6505) = 19,52 долл.

Продвигаясь через оставшуюся часть дерева, мы получим следующие цифры:

Модель Блэка-Шоулза для оценки опционов пут. Стоимость пут-опциона можно вывести из колл-опциона с той же самой ценой исполнения и тем же самым сроком действия:

С – Р = S – K × e-rt,

где С = стоимость опциона колл;

Р = стоимость опциона пут.

Связь между стоимостью опционов колл и пут называется «пут – колл паритетом», и любое отклонение от него инвесторы могут использовать для получения прибыли без всякого для себя риска. Чтобы объяснить, почему возникает пут – колл паритет, рассмотрим продажу колл-опциона и покупку пут-опциона с ценой исполнения К и сроком истечения t; при этом одновременно покупается базовый актив по текущей цене S. Выплаты по этой позиции – безрисковые и всегда приносят К в момент истечения срока t. Чтобы убедиться в этом, предположим, что цена исполнения к моменту срока истечения опциона равна S*. Выплаты на каждую позицию в портфеле представлены ниже:

Эта позиция со всей определенностью приносит сумму К, а издержки на создание этой позиции должны равняться текущей стоимости К при безрисковой ставке Ke-rt.

S + Р – C = Ke-rt,

С – Р = S – Ke-rt.

Подставив стоимость опциона колл, полученного по модели Блэка-Шоулза, мы получим:

Таким образом, создается портфель-имитатор путем продажи без покрытия [1 -N(d1)] акций и инвестирования Ke-rt[1 -N(d2)] в безрисковый актив.

Модель оценки опционов при скачкообразном процессе

Если изменения цены остаются большими, когда временные периоды в биномиальной модели сокращаются, то уже нельзя предполагать, что цены меняются непрерывно. Когда изменения цен остаются значительными, процесс ценообразования, допускающий возможность скачков, представляется более реалистичным. Кокс и Росс (Cox and Ross, 1976) оценивали опционы в условиях скачкообразного процесса ценообразования, где скачки могут быть только положительными. То есть в очередном интервале цена акции либо совершит скачок в сторону повышения с определенной вероятностью, либо поползет вниз с определенной скоростью.

Мертон (Merton, 1976) рассмотрел распределение, где ценовые скачки накладываются на непрерывный ценовой процесс. Он определил скорость, с которой совершаются скачки (λ), и средний размер скачка (k), выраженный в процентах от цены акции. Модель оценки, основывающейся на данном процессе, называется моделью диффузионных скачков (jump diffusion model). В ней стоимость опциона определяется пятью переменными, установленными в модели Блэка-Шоулза, а также параметрами скачкообразного процесса (λ, k). К сожалению, оценки параметров скачкообразного процесса связаны со столь большими помехами для большинства фирм, что любые преимущества использования более реалистичной модели перестают в реальности что-либо значить. Это обуславливает ограниченность использования этих моделей на практике.

ДОПОЛНИТЕЛЬНО ОБ ОЦЕНКЕ ОПЦИОНОВ

Все модели оценки опционов, описанные до сих пор – биномиальная модель, модель Блэка-Шоулза, модель скачкообразного процесса (jump process model), – предназначены для оценки опционов с ясно определенными сроками исполнения и степенью зрелости базовых активов, обращающихся на рынке. Однако опционы, с которыми мы сталкиваемся в инвестиционном анализе или при оценке, часто основываются на реальных, а не на финансовых активах. Реальные активы могут принимать куда более усложненные формы. В данном разделе рассмотрены некоторые из этих вариаций.

Опционы колл с верхним пределом и барьерные опционы

В случае простого колл-опциона отсутствуют какие-либо предопределенные верхние границы прибыли, которые могут быть созданы покупателем опциона. Цена актива (по крайней мере, в теории) может свободно расти, пропорционально повышая выплаты. Однако в случае некоторых опционов покупатель имеет право получать прибыль только до определенной цены, но не выше. Рассмотрим колл-опцион с ценой исполнения К1 по активу. В случае непокрытого колл-опциона выплата по этому опциону будет повышаться по мере роста цен базового актива сверх величины Kj. Предположим, что по достижении цены К2 выплаты урезаются до величины (K2 – Kj). Диаграмма выплат этого опциона показана на рисунке 5.5.

Данный вид опциона называют опционом колл с верхним пределом, или опционом кэп (capped option). Следует заметить, что как только цена достигает K2, временная премия опциона исчезает, поэтому опцион будет исполнен. Опционы колл с верхним пределом относятся к семейству опционов, которые называют барьерными опционами (barrier option), отличающимися тем, что выплаты и срок жизни опционов зависят от того, достигла ли цена базового актива определенного уровня в течение определенного периода времени.

Стоимость опциона колл с верхним пределом всегда ниже, чем стоимость аналогичного колл-опциона, у которого отсутствуют границы выплат. Простое приближение для стоимости такого опциона можно получить путем оценки колл-опциона дважды: первый раз – при данной цене исполнения, а второй раз – при цене исполнения, соответствующей границе, после чего следует найти разницу между двумя значениями стоимости. В предыдущем примере стоимость колл-опциона с ценой исполнения K и границей на уровне К2 можно записать следующим образом:

Стоимость опциона колл с верхним пределом = стоимость колл-опциона (К = К1 – стоимость колл-опциона (К = К2).

Барьерные опционы могут принимать разнообразные формы. В случае опциона выбытия (knockout option) опцион прекращает свое существование, если базовый актив достигает определенной цены. В случае колл-опциона цена выбытия устанавливается ниже цены исполнения, и этот опцион называется опционом с нижней границей (down-and-out option). В случае пут-опциона цена выбытия устанавливается выше цены исполнения, и его называют опционом с верхней границей (up-and-out option). Подобно колл-опционам с верхним пределом, эти опционы стоят меньше, чем их собратья, не имеющие подобных ограничений. Многие реальные опционы обладают ограничениями, связанными с потенциалом движения цены актива вверх, или может наблюдаться условие выбытия. Игнорирование таких ограничений может привести к завышению стоимости этих опционов.

Составные опционы

Стоимость некоторых опционов является производной не базовых активов, а других опционов. Подобные опционы называются составными, или сложными опционами (compound option). Составные опционы могут принять любую из четырех форм: колл-опцион на основе колл-опциона, пут-опцион на основе пут-опциона, колл-опцион на основе пут-опциона или пут-опцион на основе колл-опциона. Геске (Geske, 1979) разработал аналитическую формулировку для оценки составных опционов, заменив при вычислении стандартное нормальное распределение для оценки составных опционов, используемое в простых моделях, двумерным нормальным распределением.