Анри Пуанкаре – Теорема века. Мир с точки зрения математики (страница 25)
В оптических теориях вводятся два вектора, из которых один рассматривается как скорость поступательного движения, другой – как вихрь (tourbillon). Это – пример безразличной гипотезы, так как те же самые выводы получаются и при обратном предположении; поэтому здесь согласие с опытом не может доказать, что действительно первый вектор есть поступательная скорость; оно подтверждает лишь, что величина, о которой идет речь, есть действительно вектор, – а это и есть единственная гипотеза, фактически введенная в число предпосылок. Мы рассматриваем этот вектор либо как скорость, либо как вихрь просто потому, что ограниченность нашего ума вынуждает нас облекать наши представления в некоторую конкретную форму. Пусть нам необходимо обозначить этот вектор буквой
Этого рода безразличные гипотезы никогда не представляют опасности, лишь бы только природа их была ясно понимаема. Они могут быть полезными то в качестве вычислительного приема, то как некоторая конкретная опора для нашей мыслительной способности. Поэтому нет оснований их осуждать.
Гипотезы третьей категории являются обобщениями в настоящем смысле слова. Дело опыта – подтвердить их или опровергнуть. Как в том, так и в другом случае они являются плодотворными; но, по изложенным мною основаниям, это имеет место лишь при условии ограниченности их числа.
Происхождение математической физики. Пойдем дальше, займемся более пристальным рассмотрением обстоятельств, обусловивших развитие математической физики. Прежде всего мы обнаруживаем, что усилия ученых всегда были направлены к тому, чтобы разложить сложное явление, данное непосредственно в опыте, на весьма большое число элементарных явлений.
Это осуществляется тремя различными способами. Сначала о разложении во времени: вместо того чтобы охватывать последовательное развитие явления в его целостности, стараются установить связь каждого момента с моментом, непосредственно предшествующим. Так, например, допускают, что нынешнее состояние мира полностью обусловливается его ближайшим прошлым, что на него, если можно так выразиться, прямо не влияет воспоминание об отдаленном прошлом. Благодаря этому постулату вместо непосредственного изучения всей последовательности явлений можно ограничиться составлением их «дифференциального уравнения», на место законов Кеплера становится закон Ньютона.
Далее стремятся расчленить явление по отношению к пространству. Опыт дает нам запутанную совокупность фактов, происходящих в пространстве некоторого объема. Надо постараться распознать в ней элементарное явление, которое, напротив, было бы локализовано в пределах весьма малой части пространства.
Несколько примеров, быть может, помогут лучше понять мою мысль. Никогда не достиг бы цели тот, кто захотел бы прямо изучить сложное распределение температур в охлаждающемся теле. Но все упрощается, если принять во внимание, что ни одна точка тела не может непосредственно передавать теплоту удаленной точке; теплота будет передаваться лишь точкам, лежащим в непосредственном соседстве; лишь постепенно тепловой поток достигнет других точек тела. Здесь элементарным явлением служит обмен теплоты между двумя смежными точками; этот процесс заключен в тесные пространственные пределы и является относительно простым, если ввести естественное допущение, что на него не влияет температура частиц, лежащих на заметном расстоянии.
Другой пример. Я сгибаю стержень; он принимает весьма сложную форму, прямое изучение которой было бы невозможно; я смогу приступить к ее исследованию, если замечу, что сгибание стержня является результатом деформации весьма малых элементов стержня и что деформация каждого из них зависит исключительно от сил, непосредственно к нему приложенных, а не от сил, действующих на другие элементы.
В этих примерах, которые можно было бы множить без труда, заключено допущение, что не существует действия на расстоянии (по крайней мере на значительном расстоянии). Это – гипотеза; она не всегда является верной – примером служит закон тяготения; поэтому ее надлежит подвергнуть проверке; если она подтверждается хотя бы приближенно, то она ценна, потому что она позволит нам обосновать математическую физику по крайней мере путем последовательных приближений.
Если такая гипотеза не выдерживает проверки, следует искать что-либо аналогичное, ибо есть и другие средства дойти до элементарных явлений. Если несколько тел действуют вместе, то возможно, что их действия независимы и просто складываются друг с другом либо как векторы, либо как скалярные величины. В таком случае элементарным явлением будет действие отдельного тела. В иных случаях задачу сводят к малым движениям, или – более общо – к малым вариациям, которые подчинены известному закону суперпозиции. Наблюденное движение разложится тогда на простые движения, например звук – на гармонические тоны, белый свет – на монохроматические составляющие.
Какими же средствами можно уловить элементарное явление, после того как выяснилось, с какой стороны следует его искать?
Прежде всего, часто случается, что, для того чтобы его угадать или – лучше – чтобы угадать то, что есть в нем полезного для нас, вовсе нет необходимости проникать в самый механизм его; достаточно будет применить закон больших чисел. Обратимся опять к примеру распространения теплоты: каждая частица излучает по направлению к каждой соседней частице, но по какому закону – этого нам нет необходимости знать; всякое предположение относительно этого было бы гипотезой безразличной, а следовательно, бесполезной и не поддающейся проверке. В самом деле, благодаря свойствам средних величин и вследствие симметричности среды все различия сглаживаются и результат оказывается всегда одним и тем же, какая бы гипотеза ни была предложена.
Подобное имеет место в теории упругости и в теории капиллярных явлений: близкие друг к другу молекулы притягиваются и отталкиваются, но нам нет нужды знать, по какому закону. Достаточно того, что это притяжение действует только на малых расстояниях, что число частиц весьма велико, что среда симметрична, а далее остается лишь пустить в ход закон больших чисел.
В приведенных примерах простота элементарного явления таилась под сложностью непосредственно наблюдаемого результата; но эта простота в свою очередь является призрачной и скрывает за собою весьма сложный механизм.
Лучшим средством дойти до элементарного явления был бы, очевидно, опыт. С помощью искусных экспериментальных приемов нужно было бы разъединить ту сложную связанность, какую природа предоставляет нашему исследованию, а затем тщательно изучать найденные и доведенные до возможной степени чистоты составные элементы. Примером может служить разложение естественного белого луча призмой на монохроматические лучи и поляризатором – на поляризованные лучи.
К несчастью, это не всегда возможно и достаточно. Иногда необходимо, чтобы умозрение предшествовало опыту. Я ограничусь одним примером, который всегда поражал меня: разлагая белый свет, я могу выделить узкую полосу спектра, но, как бы мала она ни была, она будет иметь известную ширину. Точно так же естественные монохроматические источники света дают нам линию тонкую, но не до бесконечности. Кто-нибудь мог бы предположить, что, подвергая экспериментальному изучению эти естественные источники, употребляя все более и более тонкие спектральные линии и в конце концов переходя, так сказать, к пределу, удалось бы достигнуть знания свойств строго монохроматического света. Но это было бы неточно. Пусть мы имеем два луча, испускаемые одним и тем же источником; пусть мы сначала поляризуем их во взаимно перпендикулярных плоскостях, затем приведем к одной плоскости поляризации и, наконец, заставим интерферировать. Интерференция произошла бы, если бы свет был строго монохроматичен; но при наших лишь приближенно монохроматических источниках интерференция не произойдет, как бы узка ни была взятая спектральная линия; чтобы явление имело место, она должна была бы быть во много миллионов раз уже, чем самые тонкие известные нам линии.
Таким образом, в этом случае переход к пределу обманул бы нас; здесь теоретическая мысль должна была идти впереди опыта, и если она успела в этом, то лишь потому, что инстинктивно руководилась соображением простоты.
Знание элементарного факта позволяет нам сформулировать задачу в виде уравнения; отсюда путем некоторых комбинаций остается только вывести заключение о сложном факте, подлежащем наблюдению и проверке. Это – не что иное, как интегрирование, которое уже составляет дело математика.
Можно задать вопрос: почему в физических науках обобщение так охотно принимает математическую форму? Причина этого теперь понятна: она состоит не только в том, что приходится выражать числовые законы, но и в том, что наблюдаемое явление есть результат суперпозиции большого числа элементарных явлений, подобных друг другу: значит, здесь вполне естественно появиться дифференциальным уравнениям.