Алексей Савватеев – Математика для гуманитариев. Живые лекции (страница 6)

Слушатель: Положение этих пятиугольников, оно тоже определено?

А.С.: Нет. Можно их все сцепить в одном месте. Только получится сильно искривленная форма. Лучше пятиугольники разнести. Пятиугольники отвечают за искривление. А что такое искривление? Беру Земной шар и рисую на нём треугольник (рис. 24).

На Земном шаре есть где развернуться. Одну из вершин возьмем на Северном полюсе, две другие — на экваторе. А сторонами треугольника, как и положено в геометрии, будем считать отрезки двух меридианов и отрезок экватора (ведь по ним измеряется кратчайшее расстояние между точками на земной поверхности!).

Рис. 24. Сейчас мы заколдуем этот треугольник на сфере, и у него все три угла будут прямыми.

Вот и получился у нас равнобедренный треугольник, у которого оба угла при основании прямые. А угол при Северном полюсе — любой. Так давайте возьмем его тоже прямым!!!

У нарисованного нами треугольника все углы прямые. Такого не бывает на плоскости. Это геометрия шара, поверхности шара, и вот с этой геометрией связан рассматриваемый нами факт. Он открывает очень глубокую теорию — дифференциальную геометрию, а также теорию римановых многообразий. Вернемся к футбольному мячу, состоящему из х шестиугольников и у пятиугольников, и к нашей «неожиданной теореме».

Слушатель: Кратен ли х чему-нибудь?

А.С «x» может быть равен чему угодно. А вот «у» обязательно равен 12.

Слушатель: То есть четное, нечетное — не важно.

А.С.: Абсолютно.

Слушатель: То есть мы можем сделать шар из 130 шестиугольников и 12 пятиугольников, или из 131 и 12?

А.С.: Да, надо подумать и аккуратненько вклеить эти наши 12 пятиугольников.

Слушатель: А связано ли это с количеством сторон в пятиугольнике и в шестиугольнике?

А.С.: Безусловно. Терпение, доказывать этот факт мы будем позже. Пока что нам нужна подготовительная работа, проделанная математиком Эйлером. Леонард Эйлер обнаружил следующий факт. Что такое многогранник каждый понимает. Любой многогранник это как бы изломанная поверхность шара. Эйлер нарисовал многогранник на шаре: спроецировал ребра и вершины многогранника, лежащего внутри шара, на поверхность шара. (Слово «спроецировал» означает следующую процедуру: расположил внутри стеклянного шара макет многогранника, сделанный из проволочек, и зажег в центре шара маленькую лампочку. На поверхности шара будут видны тени от ребер это и есть проекции ребер.)

Рис. 25. Повторяя путь Эйлера, нарисуем на шаре многогранник.

И с помощью этого приема доказал замечательную теорему с совершенно удивительной формулировкой. Называется теорема «Формула Эйлера для многогранника».

Пусть у многогранника будет: В — количество вершин, Р — количество ребер, Г — количество граней. Эти количества можно непосредственно подсчитать, глядя на модель многогранника. Тогда обязательно будет

В − Р + Г = 2.

Независимо от того, какой мы взяли многогранник. Теорема верна и для куба, и для тетраэдра (рис. 26), и для любого другого многогранника, имеющего границей «изломанную поверхность шара». Всегда это выражение будет равно 2.

Рис. 26. Слева куб (невидимые линии не изображены), справа — тетраэдр из проволоки.

Тетраэдр это любая треугольная пирамида. Раньше в такой форме делали молочные пакеты. Давайте посчитаем у молочного пакета количество вершин, ребер и граней. Сколько вершин у молочного пакета?

Слушатель: 4.

А.С.: В = 4. Сколько ребер у нашего тетраэдра?

Слушатели: 6.

А.С.: Без сомнения. А граней?

Слушатели: 4.

А.С.: Верна формула? 4–6 + 4 = 2. Верна.

А теперь рассмотрю другую пирамиду — четырехугольную (рис. 27).

Рис. 27. Схема 4-угольной пирамиды.

У нее 5 вершин, 8 ребер и 5 граней. Формула верна: 5–8 + 5 = 2.

Слушатель: А количество вершин и граней всегда совпадает?

А.С.: Нет, ни в коем случае не всегда. Давайте посмотрим на куб (рис. 26, слева).

У обычного куба — 8 вершин, 12 ребер и 6 граней. (Бывают еще и необычные кубы… например, 4-мерные.)

Снова получаем два: 8 − 12 + 6 = 2.

Никуда от этой формулы не денешься. Думаю, что до Эйлера эту закономерность тоже кто-то замечал, но важно не первым заметить, а громко об этом заявить. Так сказать, довести до сведения широких масс.

Не буду сегодня ничего больше доказывать. Вместо этого я расскажу о некоторых великих математических загадках прошлого.

Давайте вспомним формулу для решения квадратного уравнения с коэффициентами а, b, c:

На самом деле не очень важно, как конкретно она выглядит. Важно то, что это — универсальный метод решения квадратного уравнения. Какие бы они ни были, эти а, b и с, если действие произвести, вы получите какое-то число.

Тут есть две точки зрения на эту ситуацию. Если написана некоторая формула, то она может случайно оказаться верной для каких-то чисел а, b, c, то есть для какого-то квадратного трехчлена. Для одного случайно оказалась верной, для другого оказалась верной. Сколько раз нужно проверять, чтобы точно сказать, что она всегда верна? Бесконечное количество раз. Но можно сделать иначе. Можно взять эту формулу, подставить в исходное уравнение

ах² + bх + c = 0

и убедиться в том, что всё сократится, и вместо символов а, b, с слева возникнет ноль. Это и будет означать, если мы верим в язык символов, что формула верна. У нас всё сократилось, в любом случае, какие бы а, b, c мы ни взяли.

Слушатель: Простите, а для чего нужна эта формула?

А.С.: Для чего она нужна? Ну, я бы сказал так. Лично для меня ответ такой: для красоты. Для того, чтобы быть уверенным, что математика может дать какие-то универсальные рецепты вычислений. Сейчас, конечно, компьютеры решают задачи посложнее этого уравнения, но раньше она была нужна для быстрого вычисления.

Вы распределяете земельные участки, измеряете какие-то прямоугольные куски, у вас получается квадратное уравнение. Можно медленно прикидывать, как это сделать, а можно быстро получить ответ.

Слушатель: То есть практическое применение какое-то было?

А.С.: Ну, раньше — да. Дальше эта идея развивалась так. А что, если я напишу уравнение:

ax³ + bх² + сх + d = 0?

Могу я написать универсальную формулу, с помощью которой можно вычислить x? При этом разрешается складывать, вычитать, умножать, делить и даже извлекать корни, причем любой степени. Но больше ничего не разрешается.

Слушатель: От куба и дальше такого сделать нельзя.

А.С.: Можно; но эту формулу не изучают в школе. Формула для кубического случая была придумана в первой половине XVI века. Несколько математиков работали над этой проблемой одновременно. Сейчас формула носит имя Джироламо Кардано, но он не придумал ее, а опубликовал метод другого математика (т. е. «громко об этом заявил»).

Чтобы выписать эту формулу, мне понадобится целая доска, поэтому я не буду этого делать. Как только поняли механизм решения кубического уравнения, сразу придумали формулу для решения уравнения четвертой степени. Она была еще страшнее. Вывел ее ученик Кардано, по фамилии Феррари. Всё это происходило в XVI веке, когда математики уже свободно обращались с буквами, поэтому был сформулирован самый общий вопрос. Можно ли написать формулу для решения уравнения произвольной степени:

a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 +… + a₀ = 0

(a_n, a_n-1…. — известные числа. Так обозначают для удобства. А то вдруг не хватит букв алфавита для их обозначения?)

Пусть она займет 10 досок, пусть она займет 100 досок. Погоня за этой формулой продолжалась до конца XVIII века. А в самом начале XIX века прозрение спустилось на несколько человек сразу, из которых самым главным я считаю французского математика Эвариста Галуа (хотя первым ситуацию в общих чертах осознал Жозеф Луи Лагранж). Было доказано, что никакая конечная формула не может быть решением уравнения произвольной степени. Такой формулы не существует. Не потому, что люди еще глупые или не все формулы перебрали или, может быть, они не так ставили корни. Никакое выражение, содержащее плюс, минус, умножить, разделить и извлечь корень любой степени не может при подстановке в уравнение a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 +… + а₀ = 0 полностью сократиться. Это — математически строгий результат начала XIX века[9].

Еще очень известна теорема Ферма. Доказательство теоремы Ферма — это примерно 120 страниц трудного текста для очень посвященного человека.

Про нее мы поговорим потом, а сейчас просто запишем ее формулировку. Она очень простая.

Ни для каких целых чисел x, y, x, отличных от нуля, и никакого натурального n, большего 2, не может выполняться равенство:

хⁿ + уⁿ = zⁿ.

Эту теорему доказывали с 1637 по 1994 год. Впоследствии были решены еще две или три величайшие математические проблемы прошлых веков. Сейчас математика пожинает плоды всего своего существования.

Слушатель: Это сделано с помощью компьютеров?

А.С.: Нет. Единственное, что сделали с помощью компьютера — это так называемая «проблема четырех красок». XX век — прорыв в авиации, в космосе. Но самый большой прорыв в это время был в математике. В ней перевернули всё вверх дном: сняли кучу гипотез, превратили их в теоремы. На моей памяти сняли несколько проблем, которые стояли веками, если не тысячелетиями.

Слушатель: А это правда, что у теоремы Ферма нет практического применения?

А.С.: А кто его знает? Она (точнее, метод ее доказательства) может иметь некоторое отношение к физической модели мира. На самом деле, последнее, что интересно математику, это то, какое у теоремы практическое применение. Математика в каком-то смысле сродни настоящей религии. Это вещь в себе. Если она кому-то помогает, математиков это особо не интересует. Люди, которые занимаются прикладной математикой, имеют совершенно другое настроение. Это — другие люди. Как, например, разнятся между собой учителя и чиновники. То же самое с математиками. Человек, который формулу ищет, и человек, который хочет с помощью нее что-то сделать, — это два разных человека.