Алексей Лосев – Диалектические основы математики (страница 77)

d) Наконец, тот же Пуанкаре еще в одной старой работе[35] дал простейшее и яснейшее представление об основных «квадратичных» геометриях, под которыми он понимает геометрии, рассматриваемые с точки зрения основной поверхности второго порядка. Если этой основной поверхностью второго порядка является обыкновенный шар, то эта сферическая геометрия и есть геометрия Римана при условии понимания больших кругов в качестве прямых линий. Геометрию Римана мы получаем и на эллипсоиде. При двуполом гиперболоиде в качестве основной поверхности мы имеем геометрию Лобачевского, а при эллиптическом параболоиде – геометрию Эвклида. Можно поставить вопрос и о геометрии на однополом параболоиде, если отказаться от предрассудков, которые часто мешают геометрам серьезно отнестись к тем или другим пространствам. Пуанкаре говорит, что для геометрии однополого гиперболоида нужно признать,

что: 1) расстояние двух точек, лежащих на одной и той же прямой на производящей основной поверхности, равняется нулю;

что 2) никаким движением нельзя превратить эллиптические диаметральные сечения в гиперболические (то и другое принимается за прямые);

что 3) невозможно совместить прямую с самой собой путем вращения около одной из ее точек (как у Эвклида совмещается сама собой прямая при вращении на 180°).

Словом, сколько существует поверхностей второго порядка, столько можно себе представить и квадратичных геометрий.

В заключение, возвращаясь к трем видам выразительной аксиоматики в геометрии, формулированным в п. 3, дадим общую характеристику выразительного пространства.

Выразительное пространство есть такое внешнее пространство, по которому видно внутреннее. Внутренним, или идеальным, пространством является чистая фигурность как таковая, в той форме, как она выведена на основании аксиом едино-раздельности, непрерывности и конгруэнции. Внешним, реальным, инобытийным пространством является абсолютно-внефигурное становление, противостоящее всякой фигуре. Когда рождается выразительное пространство, то тем самым прекращается раздельное бытие обоих абстрактных пространств и возникает их абсолютное тождество как символ. Этот символ есть перво-принцип выразительного пространства.

Пространство как символ, как символическое пространство сначала понимаем непосредственно, как простую положенность, как тезис. Это значит, что идеальная фигурность просто и целиком воплощена на темном поле инобытийно-бесконечного пространства. Но воплотиться идее – значит целиком присутствовать ей везде, мгновенно охватывать всю длительность пространства. Другими словами, идея, уходя вовне, там же вовне и встречает себя, вечно пребывая, таким образом, в нерушимом круговороте себя самой. Это опознание себя в инобытии, эта встреча с самой собою, когда всякая точка сразу двигается от себя самой во всех возможных направлениях и тем самым отовсюду приближается к себе самой, – вот это пространство как символ, как тезис символа, как принцип символа и есть сферическое пространство Римана. Оно бесконечно, но его бесконечность не расплывается до безразличия, а собрана в себе; она есть система выразительной кривизны, обозримая уже на конечных масштабах. Да бесконечность и не нуждается в отсутствии границ. Истинно бесконечное – оформленно, определенно и в этом смысле конечно. Или, выражаясь бессмертными словами Римана в его общеизвестной вступительной лекции о гипотезах в геометрии, оно – безгранично, но не бесконечно.

Но вот, символ переходит в свое инобытие; он отрицает себя. Пространство, в котором каждая точка возвращалась к себе и которое было сконструировано так, что был обеспечен круговорот бытия геометрической идеи в себе и невозможно было этому бытию иметь другие пути для перемещения фигур, – это пространство вдруг бросается в бездну бесконечной тьмы, забывает себя, отчуждается себя, перестает быть собою. Раньше оно было вечным возвратом себя, теперь же оно – антитезис этого возврата, т.е. теперь оно – уход от себя без возврата к себе, не круговорот, а истечение в неведомую мглу. Положительная кривизна сферического пространства распрямляется и превращается в прямизну. Пространство уже не обеспечивает предмет[ы] такого движения, чтобы оно приводило их к самим же себе. Наоборот, пространство сконструировано здесь так, что если вещь уходит от некоторой точки, то она уходит всерьез и уже никогда не вернется к исходному месту. Таково пространство Эвклида.

Но всякая идея, даже уходя в абсолютное инобытие, даже забывая себя, все же остается самой собой. Если бы раз навсегда идея перестала быть самой собой, то она никогда не смогла бы воскреснуть и вновь. Смысл не может перестать быть смыслом, хотя его и можно забыть. Пребывая в инобытии, она есть она, ибо если ее уже нет, то что же тогда и пребывает в инобытии? Если нет того, что в инобытии, то нет и самого инобытия. Однако где же в Эвклидовом пространстве этот возврат смысла к себе, этот идеальный круговорот точки в себе, из отрицания которого родилось и само Эвклидово пространство? Мы утверждаем, что в инобытии идея теряет себя, забывает себя, становится чем-то не в себе и не для себя, но для иного. Что-то иное фиксирует ее, как ее, а она себя не фиксирует, как себя, она себя теряет, как себя. И действительно, точка, уходя в бесконечную точку инобытия, сама вовсе не значит того, что она уходит именно в бесконечность. Сколько бы точка ни двигалась в том или ином направлении, неизвестно, где же именно наступает здесь бесконечность. Как бы ни удлинялась данная прямая в Эвклидовом пространстве и как бы фактически она ни уходила в бесконечность, никакая точка ее никогда не обнаружит того, что она перестала быть конечной точкой отрезка и превратилась в точку бесконечно удаленную. Вот это и значит, что геометрическая идея бросилась здесь в бесконечность стремглав, вслепую, что она вовсе не знает того, где она находится, что она не может отличить конечного от бесконечного.

Но об этом знает кто-то иной. Именно, оказывается, что на прямой Эвклида существует только одна бесконечно удаленная точка, что на плоскости Эвклида существует только одна бесконечно удаленная прямая, что трехмерное пространство Эвклида достигает только одной бесконечно удаленной плоскости. Что это значит? А это значит, что безразлично, куда двигаться точке по данной прямой, направо или налево. Она все равно придет в одну и ту же бесконечно удаленную точку. Но знает ли об этом сама точка, т.е. несет ли она с собою тот смысл, по которому можно было бы судить, находится ли она в конечной области или в бесконечности? Конечно, нет. Точка знает, что в одном направлении путь положительный, а в другом – отрицательный; для нее существует безусловное различие направлений движения. А того, что она придет в одну и ту же точку независимо от направления движения, – этого она не знает; и это с трудом усваивают даже те, кто учился геометрии. Точно так же она, как сказано, не знает различия конечного и бесконечного, ибо она вознамерилась двигаться по конечной прямой или во всяком случае конечными интервалами, а ни из каких конечных отрезков невозможно никогда получить бесконечную прямую. Итак, в Эвклидовом пространстве точка тоже возвращается к себе из бесконечности, как и в сферическом пространстве Римана, но она не знает ни того, что она возвращается к себе, ни того, что она возвращается к себе из бесконечности (подобно тому как в топологии линия не знает, прямая она или кривая). Идеальная фигурность (точка, прямая и пр.), или, короче, идея, перешла тут в инобытие, как и у Римана, но она, кроме того, забыла себя, погрузилась в инобытие вслепую, без всякой надежды на возвращение к себе. И вот почему к данной прямой через данную точку возможна только одна параллельная; и вот почему две параллельных встречаются одна с другою в одной-единственной вещественной бесконечно удаленной точке. Об этой встрече они ничего не знают, ибо практически они никогда ее достигнуть не могут. Так с полной ясностью рисуется перед нашими глазами диалектика параболического пространства: оно есть прямая, непосредственная, в самом буквальном смысле диалектическая антитеза сферического пространства Римана.

Но самозабвение в инобытии не абсолютно. Движение и становление не всегда безразлично и слепо. Очень долго длится становление, и – не получается никакого нового результата. Но наступает момент, одна капля дальнейшего становления вдруг переносит всю систему на новые рельсы, и начинается становление уже совсем новое, в неожиданном и небывалом смысле. Так сферическое пространство, распрямляя все больше и больше свою кривизну, вдруг превращается в пространство параболическое. И так это последнее, продолжая этот процесс все дальше и дальше, вдруг совершает скачок и становится пространством Лобачевского, гиперболическим.

Что же это за процесс и что это за скачок? Когда идеальная фигурность ушла от себя и забыла себя, то что может произойти дальше? Дальше может быть только продолжение этого ухода от себя, ибо диалектический процесс всегда идет только вперед. Но уйти еще дальше от себя – это значит не просто вечно двигаться дальше и дальше, но закрепить самый факт этого вечного движения, осесть и окопаться в инобытии не в смысле простого становления, но в смысле субстанции. А это возможно только тогда, когда в наших руках находится вся бесконечность, когда она пройдена вся целиком, а не просто точка движется по ней в неопределенную даль. Конечно, слепота остается и здесь, потому что и здесь нет никакой встречи точки с собой, самой собой, после ее возвращения из бесконечности и встречи обозримой на конечном расстоянии (ибо это только и есть символ как тождество конечного и бесконечного). Но раз пройдена вся бесконечность, то, значит, пройдено и все инобытие; а если пройдено все инобытие, значит, прекращено забвение смысла, значит, покинутый смысл вновь возвращается и вновь начинает мыслиться. Правда, одной мысленности вечной встречи с самим собою мало. Но ничего иного гиперболическое пространство обеспечить не может. Оно гарантирует мнимую встречу точки, уходящей в бесконечность, с самой собой, в то время как в параболическом пространстве хотя эта встреча и была вещественной, но она была вне смысла встречающихся элементов, она была для иного, о ней не заявляли самые встречающиеся элементы. В гиперболическом же пространстве, как это мы яснейшим образом видели на толкованиях Пуанкаре и Кэли – Клейна, происходит встреча прямых за пределами бесконечно удаленной области вполне ощутимо и сознательно, хотя и мнимо. Или, выражаясь точнее, она здесь начинает мыслиться как необходимость. Эта встреча есть уже не для иного, не вне себя, но для себя; это встреча, так сказать, в сознании; точка тут начинает вспоминать, что она может и должна сойтись с собою, обойдя всю бесконечность.