Алексей Лосев – Диалектические основы математики (страница 68)

2) метрика в смысле аксиом конгруэнтности есть результат измерения геометрической фигуры, когда она сама для себя является внешним инобытием, т.е. измерение фигуры при помощи ее же самой;

3) метрика в смысле аксиом непрерывности есть результат такого измерения геометрической фигуры, когда она сама квалифицируется как нечто внешнее к чему-то более внутреннему (а именно к ее эйдосу), т.е. это оказывается измерением эйдоса фигуры при помощи самой фигуры; и, наконец, метрика в смысле аксиом едино-раздельности есть не что иное, как результат отождествления измерения эйдоса с его первоначальным конструированием.

Сначала мы просто конструируем общее понятие фигуры и еще неизвестно, будет ли оно реальным предметом математических созерцаний, построений и обследований, потом мы накладываем на нее внешние меры, и – начинаем видеть, что она существует не только в мысли, но и «реально» (т.е. непрерывно). Потом мы меряем эту реальную фигуру: оказывается, она совпадает сама с собой или не совпадает, т.е. раньше непрерывность касалась ее первого гипостазирования, теперь же касается самой ее структуры. Непрерывность фигуры в смысле ее структуры и есть конгруэнтность. Далее, мы измеряем уже таким образом сформированную структуру тоже внешними мерами, т.е. непрерывность теперь начинает касаться не самой структуры, но возможного ее гипостазирования во внешности уже как таковой, не в смысле только эйдоса (что было бы только превращением эйдоса фигуры в самую фигуру, т.е. первым получением самой реальной фигуры), но в смысле гипостазирования самой реальной фигуры, так что здесь непрерывность превращается в «однородность» пространства (и, значит, в «неединородность»). Можно сказать еще и так. Геометрическая метрика основана или на идеально-смысловой внутренно-эйдетической непрерывности (непрерывность эйдоса фигуры), или на реальной внешне-эйдетической (непрерывность самой фигуры, ее факта и непрерывность ее структуры), или на выразительно-инобытийной эманативной непрерывности ([непрерывность] чисто алогического пространства). Метрических операций столько же, сколько основных диалектических моментов фигуры вообще. И после всего этого расчленения предмета вопрос о том, что именно называть геометрической метрикой, является уже второстепенным, и тут возможны разные вкусы.

Теперь выясняется отношение конгруэнтности к равенству и к подобию. Если проводить четкую постановку вопроса и здесь, то необходимо произвести расчленение соответственно основному диалектическому ряду. Прежде всего, мы имели (в супра-акте)

1) абсолютную единичность, или тождество, которое в смысловой сфере превратилось в

2) относительное тождество.

Когда отождествляемые моменты не суть чисто смысловые, но становящиеся, т.е. когда они стремятся перейти в факт, мы получаем вместо тождества – равенство. Равенство есть тождество осуществляемого, или смысловое тождество в условиях фактически-субстанционального противостояния, в то время как в чистом тождестве это последнее еще не намечено.

Если становление останавливается и мы получаем возможность обсуждать уже полученную структуру, то наше общее тождество трех структур, структурное тождество, есть конгруэнция.

И наконец, когда структура сама переходит в новое становление, то мы получаем при условии тождества тождество структуры при наличии новых инобытийных ее свойств. Так получаются треугольники, тождественные по структуре, но – различные в смысле абсолютных размеров. Это есть подобие, которое оказывается, таким образом, выразительно-эманативной формой тождества.

Итак, существует:

1) абсолютное тождество (единичность),

2) относительное тождество (в эйдосе),

3) становящееся тождество (равенство),

4) ставшее тождество (конгруэнция),

5) выразительное, энергийное, эманативное тождество (подобие).

Так выясняется с предельной четкостью сущность и диалектическое место конгруэнции.

Теперь мы можем сформулировать и соответствующие геометрические аксиомы.

a) Аксиома конгруэнтности, следовательно, должна указывать на постоянное самотождество ставшего. В арифметике, где становление было арифметической операцией, а ставшее было результатом этой операции, аксиома конгруэнтности свелась на учение о само-тождестве результата операции в условиях варьирования самого становления, т.е. в условиях перемены формальной структуры самих операций. Это и дало «законы счета». В геометрии мы имеем дело не со счетом, но с построением. Требуется, следовательно, утвердить самотождество результата построения, т.е. самотождество фигуры (точнее, ее структуры, поскольку речь идет о ставшем в условиях изменения формальной структуры самих построений). Имеется фигура, например, прямая. Мы ее построили определенным образом, например соединили две разные точки. Переменим структуру этого построения. Сделать это в отношении столь простого геометрического образования, как прямая, можно только путем обратного процесса, соединения не точки A с точкой B, но B с A. Если при этом прямая не изменится, значит, действует аксиома конгруэнтности. Везде тут фигура как ставшее будет тождественна сама себе, как бы мы ни вели себя в сфере становления, в результате которого появилось наше ставшее.

Аксиома ставшего числового бытия в геометрии: геометрическое построение имеет своим основанием тождество направлений своего становления. Другими словами, геометрическое построение зависит только от своей чисто пространственной структуры при любом инобытийном воспроизведении ее элементов.

b) В свете этой общей аксиомы, полученной чисто диалектическим путем, будет понятным и многое из того, что рассказывается в математической литературе об аксиомах конгруэнтности. Нужно сказать, что математика и здесь не выдерживает ясного принципа, то объединяя конгруэнцию с предыдущими аксиомами, то ее им противопоставляя. Гильберт, например, формулирует[32] аксиому линейной и плоскостной конгруэнтности и не формулирует конгруэнтности для пространства, выводя ее из сочетания линейно-плоскостной конгруэнтности с аксиомами сочетания и порядка, что, конечно, a priori невозможно, так как аксиомы сочетания и порядка играют в пространственной конгруэнтности ровно ту же роль, что в линейной и в плоскостной. Это можно было бы утверждать, если бы пространственная фигура вообще ничего оригинального в себе не содержала бы по сравнению с линией и плоскостью. Если применение конгруэнтности к одним из элементов, построенных на основании аксиом едино-раздельности, требует аксиоматического закрепления, то это закрепление необходимо и ко всем другим из них. Поэтому для начала лучше вообще не говорить об отдельных фигурах, а нужно говорить о фигуре вообще.

Самой общей и отвлеченной аксиомой ставшего бытия, выраженной в геометрических терминах, может служить такая.

1. Каждая геометрическая фигура конгруэнтна самой себе.

Обыкновенно говорят об отрезке, который равен самому себе, где бы мы его ни откладывали. Но, снижая это суждение до наибольшей внутренней краткости, можно сказать, что каждая геометрическая фигура просто конгруэнтна сама себе, так как для установления конгруэнтности достаточно эту линию (как выяснялось выше, в п. 2c) отложить на ней же самой (для большей ясности это можно сделать с ее другого конца).

Этот общий геометрический принцип можно детализировать, как детализировали мы в § 65 аксиомы счета. Тогда его можно заменить рядом аксиоматических утверждений, из которых наиболее важны такие два.

2. Две или несколько геометрических фигур конгруэнтны между собою, если соответственно конгруэнтны их элементы.

Эта аксиома, во-первых, может являться аналогией для коммутативного и ассоциативного закона в арифметике. Если имеется линия и на ней точка, делящая эту линию в том или другом отношении, то безразлично, какую из этих обеих частей сначала откладывать на новой прямой; сумма их все равно будет конгруэнтна данной линии (коммутативный закон). Также, имея линию, разделенную на несколько частей, можно в любом порядке откладывать эти части; сумма от него не изменится (ассоциативный закон). Не требует пояснений и геометрический аналог дистрибутивного закона. Эта же аксиома охватывает и аксиому Гильберта III 2:

«Пусть AB и BC – два отрезка на прямой a без общих точек; далее, пусть A′B′ и B′C′ – два отрезка на той же или на другой прямой a′ тоже без общих точек. Если при этом AB конгруэнтна A′B′ и BC, то всегда также AC конгруэнтна A′C′».

3. Две фигуры, конгруэнтные третьей, конгруэнтны между собою.

Нет нужды пояснять полнейшую аналогию этой аксиомы с общей идеей арифметической конгруэнтности, формулированной выше, в § 65.2a. Ее считает нужным ввести в число своих аксиом конгруэнтности и Гильберт.

c) Наконец, эти общие аксиомы геометрической конгруэнтности могут быть распространены и на отдельные фигуры, если иметь в виду соответствующие аксиомы едино-раздельности. Таковы аксиомы:

1. Каждый отрезок может быть однозначно определенным образом отложен по любую сторону на любой прямой от любой точки.

2. Каждый угол может быть однозначно определенным образом отложен в любой плоскости по любую сторону при любом луче.

3. Каждое тело может быть однозначно определенным образом построено в любом пространстве при соответствующих координатных данных.