Алексей Лосев – Диалектические основы математики (страница 53)

Или: множество всегда содержит в себе свой тип.

Последний термин «тип» математики ввели в теорию множеств недаром. Правда, обычное употребление этого слова исключительно формально-логично. Когда говорят «два типа карандашей», «три типа построек» и проч., то «тип» равносилен термину «вид» или «род». В теории множеств, однако, этот термин приобретает совсем другое содержание, возвращающее нас к античности, и, в частности, к греческому языку. «Тип» – от греческого глагола τιπτω – «бью», «выбиваю»; «тип» – то, что выбито, высечено, – например барельеф. В теории множеств тип есть наглядно данная фигурность числа, специфически выраженная целостность числа. Хотя сами математики большею частью и не отдают себе в этом отчета, но уже с самого начала ясно, что именно такого рода интуиции были здесь направляющим принципом.

Достаточно указать на то, как определяется «тип» в теории множеств. Тип, говорят, есть то, что обще множествам, подобным между собою. Это определение очень характерно. Поскольку подобие вытекает из возможности взаимоналожения, а взаимоналожение предполагает одинаковость распределения, одинаковую упорядоченность элементов данных множеств, то, разумеется, общее между двумя одинаково внутренне распределенными множествами может быть только сама же эта, в общих случаях тождественная, распределенность. Я в этих случаях говорю проще: тип есть просто какая-нибудь определенная числовая фигурность. Элементы расположены так, что они, вместе взятые, образуют некую фигурность, хотя она и не геометрическая, но чисто числовая же, и это-то и есть тип множества. Ведь не обязательно гипостазировать идею порядка чисто пространственно. Абстрактно-числовые акты полагания тоже могут быть различным образом взаимо-распределенными. Эту чисто числовую взаимо-распределенность элементов и изучает теория множеств под видом учения о типах.

Итак, всякое множество принципиально содержит в себе свой тип. Всякое множество принципиально всегда есть результат некоего специфического упорядочения. Если аксиома подвижного покоя требовала, чтобы всякое множество мыслилось как вполне упорядоченное множество, то аксиома определенности бытия требует, чтобы результатом этого упорядочения была определенная фигурность множества, которая и есть настоящий закон определенности множества, т.е. правило его конструирования из элементов.

§ 57.

Аксиома определенности (бытия) в теории вероятностей

Что касается теории вероятностей, то трудно себе представить здесь аналогию к предыдущим аксиомам определенности, или бытия. Ясно и без дальнейшего, что здесь должна идти речь об определенных операциях и о результате этих операций. Математическая вероятность есть именно результат этих операций. После вышесказанного в этом не может быть сомнения. Весь вопрос, следовательно, только в том, какие именно операции надо иметь здесь в виду. И при этом вопрос не о разных видах этих операций (которые должны быть формулированы, как это мы указываем в § 62.1d, только при помощи привлечения еще дальнейшей аксиомы становления), но вопрос касается специфического типа этих операций, зависящего от природы теории вероятностей.

В отличие от предыдущих наук эта наука существенно связана с понятием факта, события, или случая. В то время как там определенность бытия достигается чисто смысловыми операциями, здесь она принимает в себя стихию вне-смысловой, случайной действительности. Раньше мы видели в аксиоме определенности, что определенность достигается здесь путем установления структуры из числовых элементов. Здесь мы находим, что хотя устанавливается и числовая структура, но относится она уже к вне-числовым моментам, к бытию случайному.

Аксиома определенности (бытия) в теории вероятностей: математическая вероятность есть результат операций над теми или другими вне-смысловыми совокупностями, или – числовая структура бытия случайного.

Позже в аксиомах о непрерывности мы встретимся и с реальными видами теоретико-вероятностных операций. Сейчас выведена только их общая категория.

§ 58.

Общий результат аксиом идеальной едино-раздельности числа

В § 35 были сформулированы аксиомы числа в наиболее общей форме, так, как они вытекают из общей теории числа, без всякой математической спецификации. Теперь, принявши во внимание уже чисто математический материал, мы поняли, в какую математическую форму воплощаются эти наиобщие аксиомы. Следовательно, можно сравнить наиобщую аксиому едино-раздельного бытия с полученными математическими результатами.

Наиобщая аксиома гласила: число есть едино-раздельный акт полагания. Что же мы получили теперь? Полученный результат тоже можно фиксировать в его наиобщей форме. Примем во внимание, что категория самотождественного различия в общем приводит к понятию совокупности и элемента. Также категория подвижного покоя определяет собою понятие порядка, упорядоченности. И наконец, категория бытия требует конструирования в числе его определенности, или фигурности. Объединяя все эти моменты вместе, мы можем сказать, что число есть фигурно упорядоченная совокупность изолированных элементов. Этот результат модифицируется по разным отделам математики. Его можно взять как отвлеченный принцип; тогда получится арифметическое учение. Фигурную упорядоченность, несомненно, мы находим в самом обыкновенном арифметическом числе, ибо уже натуральный ряд невозможен ни без идеи порядка, ни тем самым без идеи фигуры, хотя тут, конечно, специфическая фигурность и упорядоченность (как это и должно быть теоретически). Фигурная упорядоченность, далее, может быть взята в своей инобытийности, равно как и в синтезе своего бытия со своим инобытием; тогда получатся учения геометрические и теоретико-множественные. Однако это уже развитие нашего результата, самый же результат в его наиобщей форме гласит только то, что число есть фигурно упорядоченная совокупность изолированных элементов.

Сравнивая этот результат с наиобщей аксиомой § 35, мы можем сказать, что в нем для нас нет ровно ничего неожиданного, что он есть ближайшее и самое естественное следствие наиобщей аксиомы. Как возможен акт полагания, если его брать вне его простой и неразвитой сущности, но в его едино-раздельной множественности? То, что этот акт делается множественным и в то же время остается самим собою, не рассыпается в дискретную множественность, это обстоятельство возможно только как переход в упорядоченную фигурность, т.е. в фигурность вообще. Если акт раздробился и потерял свое единство, речь должна идти уже о разных актах, о дискретных и взаимно не связанных полаганиях. Но если акт превратился во множественность полагания и в то же время сохранился как такой, это значит, что он объединяет образовавшуюся множественность, т.е. превращает ее в фигурность. Диалектика фигуры строится на взаимодействии, точнее же сказать, на взаимопроникновении категорий единства и множества. Фигурность именно там, где единство превратилось во множество, не потерявши собственного бытия, и где множество целиком поддалось единству, не переставши быть множеством. Фигурность есть, таким образом, простейший диалектический синтез единства и множества.

Таким образом, получение числа как фигурно упорядоченной совокупности имманентно кроется уже в самом общем утверждении, что число есть раздельный акт полагания, и здесь требуется только самый элементарный диалектический шаг.

Может быть, важнее другая сторона полученного нами результата. Яснее всего она на арифметике и геометрии. Спросим себя: чего еще не хватает нам для того, чтобы иметь настоящую, действительную арифметику и геометрию? Можем ли мы просто что-нибудь вычислять или решать те задачи, которые обыкновенно именуются «арифметическими»? Собственно говоря, единственное, что мы получили до сих пор, можно назвать числом самим по себе. Мы просто определили число как совокупность. Можно ли, например, на этом основании производить арифметические действия? Строго говоря, мы не имеем на это никакого права. Мы еще не знаем, всегда ли, при всех ли обстоятельствах это число будет себя вести так, как мы его определили. Правда, мы уже коснулись понятия арифметического действия, но оно получено нами (в учении об определенности числа) в очень общей форме, и мы еще не знаем, какие возможны арифметические действия и как они возможны. Точно так же, получивши геометрическую фигурность, мы на основании только одних аксиом единораздельности еще не можем знать, что же нам, собственно говоря, надо делать с этими фигурами; и даже мы еще не знаем самих фигур, а только получили их абстрактное понятие. То же самое относится и к учению о множествах.

Ясно, что полученный результат, гласящий, что число есть фигурно-упорядоченная совокупность элементов, отличается чрезвычайно общим характером, все еще очень далеким от конкретной математической действительности. Надо посмотреть, как осуществляется такая едино-раздельная структура числа. Надо определить формы функционирования этого другого числа, уже отвлекаясь от его чисто внутренней структуры и переходя в область его внешних судеб и проявлений.

Но это значит, что число, изученное нами до сих пор, есть число идеальное, смысловое, что ему еще предстоит стать реальным и что для этой реализации требуется новое инобытие, в котором оно заново бы перевоплотилось.