Алексей Лосев – Диалектические основы математики (страница 156)

Итак, в сложении и вычитании ударение лежит на числах, поскольку они даны в своем внутреннем инобытии и самостоятельны – при внешнем противостоянии (отсюда их равноправие), в умножении же и делении ударение лежит на числах, поскольку они даны во взаимновнешнем инобытии (отсюда существенное неравноправие множимого и множителя). Можно сказать и так, что если сложение и вычитание есть некий тезис, то умножение и деление есть антитезис. В первой паре операций мы имеем дело с внутренним инобытием и его внешним сопряжением, во второй – с внешним инобытием чисел, вступающих в некоторое внутреннее взаимоопределение, т.е. в условиях внутреннего роста одного из таких чисел. Еще можно сказать и так. Поскольку внутреннее инобытие числа и само число есть одно и то же (так как внутреннее содержание числа и есть само число), то в сложении и вычитании имеется в виду энергия числа самого по себе, взятого именно как число (если брать сумму); в умножении же и делении, где смысловое ударение переходит на внешнее инобытие, т.е. на число в его внешне-[ино]бытийном воплощении и существовании, имеется в виду не энергия числа самого по себе, но энергия числа в его внешнем инобытии. В такой формулировке совершенно ясным становится то, что умножение и деление есть диалектический антитезис сложению и вычитанию.

В умножении происходит воспроизведение числа в окружающем его инобытии и отождествление воспроизведенных его форм, как и в сложении происходит отождествление различенных форм числа, хотя и различенных уже в другом смысле, не в смысле внешнего воспроизведения, но в смысле внешнего противоположения. В делении же происходит сведение данного числа к тому, в результате внешнего воспроизведения которого появилось данное число, и различение определенного количества этих воспроизведений. Не зная точного количества этих воспроизведений, нельзя было бы произвести и вышеуказанное сведение, как и в вычитании, не зная определенной формы различения в пределах данного числа, невозможно получить и самих различенных чисел, т.е. от уменьшаемого перейти к разности.

a) Произведя это общее описание действий умножения и деления, попробуем применить сюда структурный принцип § 115, п. 4.

Прежде всего, каков категориальный принцип этих действий? Раз у нас шла речь о воспроизведении числа в его инобытии, то ясно, что мы тут оперируем с категорией движения. Как только число двинется со своего места, так это и будет значить, что оно воспроизводится в своем инобытии. Но конечно, это не значит, что движение тут происходит без всякой остановки. Воспроизводясь в своем инобытии, число где-то и перестает воспроизводиться, и достигнутый результат становится стабильным. Поэтому выше мы и формулировали категориальный принцип обоих действий как такое взаимоотношение двух становлений, когда они переходят друг в друга в порядке категории подвижного покоя.

Теперь перейдем к структурному принципу. Что такое бытие упомянутого подвижного покоя двух или нескольких отрезков становления? Это есть самое воспроизведение множимого или дробление делимого. Что такое его инобытие? Это переход от процесса воспроизведения (или низведения) к воспроизведенному. Становление сосчитывает в нем единицы, а ставшее дает стабильный результат – произведение или частное. Выразительно-эманативная энергия умножения есть [знак] ×, и она же деления есть [знак] :.

b) Отсюда и формулы.

Умножение есть смысловая энергия разных становлений, переходящих одно в другое в порядке подвижного покоя в целях взаимовоспроизведения.

Деление есть смысловая энергия разных становлений, переходящих одно в другое в порядке подвижного покоя в целях воспроизведения одного в пределах другого.

В сложении и вычитании все представители созерцаемого бытия даны в готовом виде, и мы только должны их фиксировать, созерцая, как они сплетаются или расплетаются в разные единства. В умножении и делении мы являемся свидетелями того, как рождается само число, как оно воспроизводится, как оно внутренно растет. Тут дано только одно число; и мы созерцаем, как оно переходит в инобытие и там, в этом инобытии, растет и увядает. В умножении не даются готовые числа, как в сложении. Наоборот, само умножение есть операция воспроизведения числа и его нового рождения. В умножении число выходит из самого себя, из своей чисто внутренней самораздельности и, забывая себя, свою внутреннюю раздельность, устремляется вдаль как целое, как таковое, в своей целостной субстанции, покамест внешнее инобытие, обусловившее этот переход, само же не поставит предела этому устремлению. Сложение и вычитание – пассивно-зрительны; они как бы картина вещи, умственное представление вещей. Умножение и деление активны. Эти операции не зрительны и не картинны, но активно-мускульны, они нечто утверждают, твердо полагают, устанавливают. В сложении и вычитании субстанции чисел мыслятся уже данными, их кто-то установил и формулировал, и остается только посмотреть картину их совместного существования. В умножении и делении дано только одно число, и больше ничего не дано; и мы не видим, а как бы мускульно осязаем напор и силу новых утверждений и полаганий этого числа и присутствуем при его первичном зарождении в инобытийной пустоте. В умножении и делении не остается незыблемой субстанция чисел, как в сложении и вычитании, не остается неподвижным тот экран и фон, на котором выступают фиксируемые нами числа.

Тут затрагивается судьба самой этой субстанции числа; и ставится вопрос о том, как она будет внутренно вести себя, если ее перевести со старого и привычного ее экрана на новый экран и на новый фон, во внешнее, совершенно чуждое ей инобытие. В сложении и вычитании числа лежат, как готовые шары на столе, и нужно только их пересчитать; в умножении же и делении дан только один шар и дано определенное количество материала (напр., дерева, глины и пр.), из которого можно сделать еще несколько таких шаров; и вот – мы делаем эти шары, тождественные с данным шаром; и уже потом сосчитываем все полученные шары, когда данный материал будет исчерпан. Там шары делали не мы, не тот, кто складывает и вычитает, и притом шары эти были совершенно разные, из разного материала и разной величины. Здесь же шары делаем именно мы, т.е. тот, кто умножает и делит; они создаются в процессе самой этой операции умножения и деления; и создаются они как точнейшая копия, и качественно и количественно, первоначального шара, так что здесь нужно говорить, собственно, не о разных шарах, но о воспроизведении одного и того же шара в данном (и притом количественно определенном данном) инобытийном материале. Это и значит, что умножение и деление, есть энергия числа в его внешне-инобытийном существовании, отождествление и различение его внешне-инобытийных воспроизведений, но так, что при этом растет и убывает внутреннее содержание данного числа.

Можно в результате всего двояко формулировать диалектическую антитетику сложения и вычитания, с одной стороны, и умножения и деления – с другой.

Можно, во-первых, признать, что в первой паре арифметических действий даны внешне-инобытийные (в идейном смысле) друг в отношении друга числа, и ищется такое число, в котором они сливаются в одно внутренно-единое содержание и идею нового числа. Тогда умножение и деление будут предполагать одно и единственное число, которое будет так или иначе внутренно меняться в зависимости от его внешнего воспроизведения. Значит, в этом толковании антитезы сложение и вычитание есть нечто внутреннее, идея, а умножение и деление есть нечто внешнее, инобытие и факт, воспроизведение идеи.

Но можно, во-вторых, сложение и вычитание понимать как нечто фактически внешнее, упирая на внешнюю взаимо-инобытийность слагаемых. Тогда умножение и деление окажутся чем-то внутренним, поскольку речь идет тут о росте одного и того же (по факту) числа или об убыли (делении) одного и того же числа. По существу это – одна и та же антитеза, выраженная различно – только с разных точек зрения. В первом случае дано внутри-идейное различие (слагаемые) и оно исчезает в общем тождестве, также идейном (сумма), и тогда умножение и деление есть уже переход от идеи к факту, к инобытию идеи, к фактическому воспроизведению идеи. Во втором случае даются сначала внешне различные субстанции, факты и сливаются они в нечто единое, тоже фактическое (сумма), но тогда умножение и деление необходимо интерпретировать как идейное наполнение и убыль одной и той же субстанции.

Различие этих толкований ничего особенного собою не представляет. Раз в диалектике две категории связаны диалектическо-антиномически, то их всегда можно взаимно переставить. Если есть бытие и есть инобытие, то ровно ничего не изменится, если мы инобытие будем трактовать как бытие, а бытие – как инобытие.

§ 118.

Возведение в степень, извлечение корня и логарифмирование

Всякая вещь есть некий факт, и всякая вещь имеет некий смысл, или идею. Она есть осмысленный факт и осуществленная идея. Если отнять у вещи факт, она превратится в чистую идею и, следовательно, перестанет существовать; и если отнять у вещи ее идею, смысл, она перестанет быть самой собой и превратится в бессмысленный хаос неизвестно чего, т.е. тоже перестанет существовать. Конкретное бытие есть единство и тождество идеи и факта, сущности и явления, сознания и бытия. Эта элементарная диалектика должна быть применима и к числу, поскольку она применима решительно ко всякому виду и типу бытия. Предыдущие рассуждения показали нам, что в сложении и вычитании превалирует, скажем, идея и сущность, факт же и сущность, фактическая субстанция числа остается нетронутой, неподвижной; о ее судьбах ничего не слышно, и о ней не ставится никакого вопроса. В умножении и делении, наоборот, мы переходим в сферу явления, факта, субстанции, внешне-фактического инобытия, ибо как раз ставится вопрос о внешнем воспроизведении числа, о его инобытийной судьбе. Внешнее инобытие, или внешний материал, здесь появляется впервые, и пока ему даны только чисто инобытийные же, чисто материальные функции, функции внешне оформлять, воспроизводить, давать материал для воспроизведения. Отсюда вытекает два фундаментальных вывода.