Алексей Лосев – Диалектические основы математики (страница 152)

О прочих типах числа, хотя они непосредственно связаны с указанной «системой», говорится весьма неохотно и большею частью только там, где уже сам материал хватает математика за горло и требует введения новых чисел. Как возрадовались бы многие математики, если бы удалось выкинуть из низшей геометрии число π. Но, оказывается, без него невозможно решить почти ни одной задачи из теории круга и круглых тел. И вот волей-неволей вносят это π в геометрию. Но как вносят! Вносят, конечно, чисто вычислительно, не давая никакого представления о нем как именно об особом типе числа, а не просто о числе наряду с прочими – напр., иррациональными – числами. О e вяло говорят в низшей алгебре, немного больше – в анализе (потому что без него нельзя было бы понять многих самых элементарных форм дифференцирования). Но где же это e изучается как таковое? Математики не знают даже, в какую науку можно было бы отнести теорию этого e, не то в алгебру, не то в анализ. А то, что это есть чистейшая арифметика, большинство, пожалуй, даже удивится. Но вот без e и π никуда двинуться нельзя, а без остальных трансцедентностей можно двигаться очень далеко. И что же? Результат очень простой: нет почти никакой систематической теории трансцедентностей. О кватернионах я уж и совсем не говорю. Хотя это наиболее зрелый продукт числового типа вообще, они, можно сказать, крайне непопулярны в современной математике (несмотря на значительные удобства, которые они приносят с собою); и тоже неизвестно, арифметика ли это, алгебра или анализ.

Нечего и говорить о том, что предложенное выше диалектическое построение числовой типологии, вероятно, содержит много изъянов, недостатков и, может быть, даже просто ошибок. Однако это только первый опыт. После него другие смогут дать уже и более совершенные построения.

III.

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ

(СТАНОВЛЕНИЕ СУЩНОСТИ ЧИСЛА)

§ 115.

Основная дедукция

a) Натуральный ряд чисел есть энергийное становление (становление единицы). Тут все числа представляют собою по типу одно и то же число; и разница между ними не типовая, но количественная. «Количество» создает разницу в пределах одного и того же «качества», не затрагивая его как таковое. Когда еще не получено число со всеми выраженными количественными различиями, диалектический переход к типам числа невозможен. Но вот натуральный ряд дает числа с любым количественным значением, так что категория числа в этом отношении оказывается вполне исчерпанной. В таком случае дальнейшие диалектические противопоставления уже не могут быть чисто количественными. Дальнейшее противопоставление ведет уже к изменению самого типа, самой категории числа, как он дан в числе натурального ряда. И мы пришли к разным типам числа, отличающимся друг от друга уже не количественно, но категориально. В этом смысле все типы числа суть инобытие в отношении натурального ряда, где сконструированы числа при условии только чисто количественных различий. Возникает неизбежный вопрос о диалектическом объединении и отождествлении натурального ряда и этих типов. Рассмотрим этот синтез.

b) Натуральный ряд дает нам числа, бесконечно разнообразные по количеству, но числа, так сказать, в их статическом употреблении. Хотя натуральный ряд сам по себе и есть становление, но входящие в его состав числа даны отнюдь не в своем становлении. Они – статичны. Становление относится здесь к стихии самого порождения чисел, самого их возникновения. Но о становлении каждого числа в отдельности ровно ничего не говорится в понятии натурального ряда. Итак, эти числа статичны и взаимно изолированы. С другой стороны, типы числа, будучи связаны между собою диалектически, отнюдь не связаны между собою количественно. Они связаны диалектически, т.е. исключительно понятийно, категориально; они связаны как категории чисел, а не как числа с тем или другим количественным значением. В этом смысле они абсолютно изолированы. Итак, числа натурального ряда связаны между собою количественно (да и то в совершенно узком и специальном значении этого слова) и совершенно не связаны категориально (все они – одна и та же категория); и типы числа связаны между собою чисто категориально и совершенно не связаны количественно (ко всем ним применимы любые количества). Возникает диалектическая необходимость так объединить числа натурального ряда с типами чисел, чтобы отношения между числами натурального ряда были не только количественными, но и типовыми, а отношения между типами числа были не только типовыми, но и количественными. Короче говоря, необходим диалектический синтез того и другого.

c) Всякий синтез есть прежде всего становление. В процессе становления отождествляются такие бытийные и такие инобытийные моменты, которые – как тезис и антитезис – стоят абсолютно вне-положно друг в отношении друга. Следовательно, и здесь мы должны найти некое становление, в котором количественные различия превращались бы в типовые, а типовые получали бы качественное выражение. Это возможно в тех числовых процессах, которые именуются арифметическими действиями.

Что всякое арифметическое действие есть некое становление, это ясно само собой, ибо для осуществления сложения, вычитания и пр. необходимо, чтобы нечто произошло. Тут мало простого наличия статических и изолированных чисел; необходимо, чтобы они вошли в какое-то взаимное объединение и сплетение, чтобы они входили одно в другое и вообще были во всестороннем взаимоотношении. Итак, всякое арифметическое действие есть становление. Но какое это становление? Это именно такое становление, в котором происходит качественное изменение количественных установок. Пусть, напр., мы умножаем –2 на 5 и из полученного произведения извлекаем квадратный корень. Тут от двух типов числа (положительного и отрицательного) мы путем чисто количественных операций переходим совершенно к новому типу числа (к мнимому). Пусть мы имеем сумму 3+2 и делим ее на 2: из одного (или двух) типов числа (положительного и отрицательного) мы получаем опять третий (дробное число). И т.п. Ясно, что всякое арифметическое действие есть становление, и как раз становление в смысле диалектического синтеза чисел натурального ряда с теми или другими типами числа.

Таково диалектическое место самой категории арифметического действия.

Необходимо отметить следующее. Основное место арифметического действия есть то становление, которое есть синтез натурального ряда как бытия и типов числа как инобытия. Но это только основное место. Другими словами, здесь впервые рождается арифметическое действие как отвлеченная категория. Арифметическое действие само по себе, однако, не есть просто категория. Оно есть именно действие, и потому в нем всегда живет та или другая практически-жизненная сложность. Эта сложность для диалектика есть, конечно, опять-таки не что иное, как нераспутанный клубок многочисленных категорий. И если эта сложность действительно жизненная, то клубок категорий всегда в конце концов целесообразно распутывается, и запутанное предстает во всей своей смысловой ясности. Мы и тут применим наши обычные методы и попробуем поискать, не зарыта ли и в каждом отдельном действии та первообразная пентада, которую мы имели в общей теории числа.

Итак, формулируем перво-принцип арифметических действий, их принцип и их реальную структуру.

a) Перво-принцип арифметических действий, насколько последние вытекают из синтеза натурального ряда со всевозможными типами числа вообще, есть, очевидно, разноскомбинированное числовое становление. Натуральный ряд чисел, или, что то же, арифметический счет, в своем наиобщем виде есть простейшее и примитивнейшее становление чисел вообще. Он содержит в себе некую единонаправленную, монотонную энергию становления. Со вступлением в синтез с разными типами числа он начинает нарушать эту единую направленность становления, начинает вырывать из этой стихии числового становления отдельные куски, отдельные отрезки и начинает по-разному их комбинировать. Это и превращает счет вообще в то или иное арифметическое действие. Следовательно, перво-принцип арифметических действий есть разнонаправленное, разнокомбинируемое числовое становление, или, попросту, так или иначе кодифицированный счет.

Этот перво-принцип

1) требует наличия разных отрезков общечислового становления,

2) полагает их вместе один за другим как некую единую последовательность и

3) постулирует то или [иное] взаимоотношение, в которое должны вступить взятые отрезки.

Таковы функции перво-принципа.

Заметим, что если арифметическое действие есть синтез натурального ряда (счета) и числовых типов, то это значит, что здесь счет рассматривается для целей получения того или иного числа и число того или иного типа рассматривается с точки зрения происхождения его из операций счета. Но число того или иного типа в сравнении со счетом (который всегда есть процесс) является чем-то стабильным. Поэтому арифметическая операция, будучи процессом, должна быть ввиду своей синтетичности и чем-то стабильным. Она есть всегда и метод становления, и определенный результат различного методического комбинирования этого становления. Вот почему существует не только категория «плюс», но и «сумма», не только «минус», но и «вычитание» и пр. И вот почему перво-принцип арифметических действий обязательно требует сопоставления разных становлений и искания стабильных результатов этого сопоставления.