Алексей Лосев – Диалектические основы математики (страница 136)

Наконец, третий ряд, как это тоже нетрудно заметить, существенно останавливает поток становления, зародившийся во втором ряду, преграждая его дальнейшее развитие и полагая ему границу. Нуль есть такая граница в ее принципиальной положенности; бесконечность развертывает эту границу во всей ее инобытийной мощи; мнимость синтезирует то и другое в некую конечную перспективную структуру числа. Если мы, по примеру общей теории (§ 21), назовем этот диалектический момент «фактом», «ставшим», «наличным бытием», «инфра-актом», то, очевидно, мы будем правы.

e) Отсюда сама собой получается и та руководящая нить, которую мы искали для конструирования дальнейших типов числа, а вместе с тем и гарантия того, что мы не пропустим какого-нибудь основного типа числа в будущем. Именно, за «фактом», или «ставшим», общая диалектика требует категории выражения, энергии (в смысловом отношении), или эманации. Стало быть, мы должны конструировать теперь такой тип числа, который по самой своей структуре содержал бы стадию энергийного выражения, или числовой эманации.

Что же это за число? Сначала обрисуем его общее понятие, а потом уже будем рассматривать его математические построения.

a) Вспомним, как мы понимали «выражение» в общей теории числа (§ 31) и как пользовались этой категорией при случае (напр., в § 35). Выражение есть соотнесенность с инобытием в условии субстанционального отсутствия самого этого инобытия. Выражение поэтому всегда по меньшей мере двупланово. Один слой в нем – отвлеченно-смысловой, образовавшийся в результате превращения эйдоса через становление в некую ставшую структуру; и второй слои в нем – это перекрытость его теми или другими инобытийными самосоотношениями. В другом месте (§ 69) нам пришлось также поставить «выражение» в существенную связь с «пониманием», которое в отличие от «мышления» также предполагает некую определенную смысловую двуплановость предмета.

b) Итак, число должно отобразить в себе свое инобытие. Оно должно быть предображением всех своих инобытийных судеб. На нем, без перехода в фактическое его инобытие, мы уже должны видеть, что с ним вообще может случиться в этом инобытии. Оно есть идеальный прообраз всякого своего возможного инобытия. Правда, в теории комплексного числа мы уже столкнулись с такой инобытийной соотнесенностью числа. Но там мы имели эту инобытийную соотнесенность как таковую, перспективу как таковую. Здесь же мы имеем самое число, его субстанцию вместе со всем перспективным строением. И так как здесь не чистая перспектива сама по себе, взятая вне своей носимости тем или иным числовым фактом, но именно самый этот факт, набухший от вмещения в себе своих инобытийных судеб, то тут уже лучше говорить не о перспективе, т.е. о чем-то уходящем в глубину плоскости, но именно об энергии, об эманации, т.е. о чем-то как бы выпуклом, набухшем, о каких-то смысловых энергиях, изливающихся вовне, но еще неотделимых от самой фактической сущности числа, еще не отрывающихся от своего исходного лона.

c) Энергия, или выражение, есть синтетическое единство внутреннего и внешнего. Но тождество внутреннего и внешнего мы уже находили в рациональном, иррациональном и мнимом числе. Поэтому сейчас мы должны точнейшим образом разграничить эти два вида внутренно-внешнего тождества.

Прежний вид этого тождества был тождеством невыразительным, до-выразительным. Ведь еще до выражения, в сфере чистого смысла, есть свое внутреннее и свое внешнее. Эйдос отличается от логоса тем, что он предполагает некое инобытие, некую «умную» материю, которая, оформляясь через логос, и создает смысловую фигурность эйдоса. Однако это еще не есть выражение. Для выражения нужен переход за пределы самого эйдоса. Если раньше было некое внутреннее и внешнее, то теперь это совокупное внутренно-внешнее само оказывается внутренним для некоей новой внешней инобытийности. Эта новая внешность внешня даже в отношении прежней внешности, которая, как ни внешня в отношении прежнего внутреннего, все же в отношении нового внешнего оказывается уже внутренним.

d) Это нетрудно заметить на функционировании категорий внутреннего и внешнего в последовательности: рациональное, иррациональное, мнимое число. В рациональном числе дано тождество внутреннего и внешнего как тезис, или, что то же, внешняя инобытийность подчинена тут внутреннему бытию; отсюда – внутренняя соизмеримость числа с самим собою. В иррациональном числе это тождество перешло в свое отрицание, или, что то же, внешняя инобытийность подчинила себе внутреннее бытие; отсюда – внешняя несоизмеримость числа с самим собою. В мнимом числе рассматриваемое тождество прошло через отрицание своего отрицания, т.е. вернулось из инобытия снова к себе, но зато стало развернутым, фигурно-положенным, перспективно оконтуренным. Сама по себе мнимость есть поэтому уже некая выраженность (равно как и рациональность и иррациональность). Однако это есть, собственно говоря, внутренно-внешнее тождество на стадии своей ставшести.

Можно сказать, что

· в рациональном числе тождество внутреннего и внешнего дано как тезис, как акт полагания,

· в иррациональном – как антитезис, как становящийся акт полагания, и

· в мнимом – как синтез, как ставший акт полагания.

Следовательно, остается еще выраженное, энергийно-эманативное тождество внутреннего и внешнего. Это и есть те числа, к которым мы теперь переходим. В них будет играть роль не чистое выражение как таковое, но выраженная вещь, почему прежнее внутренно-внешнее окажется опять внутренним содержанием, которое при помощи своего осуществления на вещи перейдет теперь в новую внешность.

Это энергийно-эманативно выраженное число тоже может быть дано на разной степени своей диалектической зрелости.

a) Энергийно-эманативное число может быть дано снова как только еще голый принцип, как чистый акт полагания, как базис, т.е. как неразвернутое бытие. В этом виде оно содержит свое инобытие только лишь как потенцию, т.е. сама эманация числа оказывается пока только потенцией. Это – алгебраическое число.

b) Энергийно-эманативное число может существовать как некий акт полагания в его развитии, как становление акта полагания, как развернутое инобытие числа, энергийно вмещенное в лоно самого числа. Это – трансцедентное число.

c) Энергийно-эманативное число должно вернуться из стадии становления своего акта полагания и тем самым получить свое бытие как оформленное, фигурно осмысленное, как перспективно отработанное. Его инобытийные судьбы, которые оно должно вмещать в себе, пребывают в нем теперь не как потенция и не как инобытийная развернутая энергия, но как структурно-устойчивый эйдос, как некая эманативно развернутая картинность. Это – гиперкомплексное число.

К исследованию этих типов числа мы теперь и обратимся.

4. ЭНЕРГИЙНО-ЭМАНАТИВНОЕ ВЫРАЖЕНИЕ

§ 109.

Алгебраическое число

Под алгебраическим числом понимается корень уравнения

a₀xⁿ + a₁x^n–1 + … + a_n–1x + a_n = 0,

коэффициентами которого являются рациональные числа. После элементарного преобразования это уравнение может быть превращено в уравнение с целыми коэффициентами. Поэтому в определении алгебраического числа можно говорить и об уравнении с целыми коэффициентами. Если все коэффициенты уравнения суть числа целые, а коэффициент при xⁿ равен, кроме того, еще и единице, то корень такого уравнения называется целым алгебраическим числом; если нет этого второго условия, то мы имеем дробное алгебраическое число.

Как понять это математическое определение, которое, как вся математика, блещет чрезвычайно резким формализмом, не позволяющим философской мысли даже пошевельнуться? Если данное число удовлетворяет тому или иному уравнению, то что это значит? Что такое прежде всего само уравнение? Оно говорит нам о ряде действий, которые необходимо произвести над каким-нибудь числом, чтобы получить другое число. Какие же это действия? Уравнение показывает, что это прежде всего обычные четыре «арифметические» действия, а затем т.н. алгебраические действия, т.е. возведение в степень и извлечение корня (в которых, конечно, нет ничего алгебраического и которые относятся все к той же арифметике). Другими словами, левая часть уравнения есть попросту определенная арифметико-алгебраическая функция корней уравнения. Эта функция, оказывается, равняется целому (или, что то же, рациональному) числу. Другими словами, какие бы арифметико-алгебраические операции мы ни производили над целым числом, т.е. какую бы алгебраическую функцию ни брали от этого числа, мы можем прийти только к целому числу. Алгебраическое число есть такое число, любая алгебраическая функция которого есть целое число. Произведя любое из шести арифметико-алгебраических действий над данным числом, мы всегда можем получить целое число. Если даже мы имеем иррациональное число, мы всегда можем составить такое уравнение, т.е. произвести ряд таких действий над этой иррациональностью, чтобы прийти от этой иррациональности к целому числу.

Но что же это значит? Это и значит, что в данном случае мы рассматриваем число не само по себе, но как потенцию возможных действий над ним, как потенцию всех его инобытийных судеб. По данному числу, если оно алгебраическое, мы уже сразу видим, что над ним можно производить любые арифметико-алгебраические действия и оно не выйдет за пределы своей общей арифметико-алгебраической категории. Реально вовсе и не обязательно производить над ним эти действия, и потому в нем – только потенция его инобытийных судеб. Но эта потенция здесь вполне определенная; это потенция рациональности или даже целости. Всякое алгебраическое число, включая иррациональность, является потенциально целым числом. Если мы имели бы какой-нибудь √3, то стоит эту иррациональность возвысить в квадрат, как мы получаем самое обыкновенное целое число «3». Таким образом, даже иррациональность, если она – алгебраическая (а ниже мы увидим, что существуют и не алгебраические иррациональности), потенциально есть не что иное, как целое число. Правда, из всякого целого числа при помощи тех или иных арифметико-алгебраических операций можно, наоборот, получить иррациональные числа. Но тогда нужно сказать, что целость, рациональность и иррациональность представляют собою некую единую область, смысловая печать которой лежит на каждом числе, входящем в эту область. Каждое число несет с собою потенцию этой общеалгебраической области; и оно не может выйти за пределы той судьбы, которая уготована ему в этой области.